Métrica de Reissner-Nordström

Métrica esféricamente simétrica con carga eléctrica

En física y astronomía , la métrica de Reissner-Nordström es una solución estática de las ecuaciones de campo de Einstein-Maxwell , que corresponde al campo gravitacional de un cuerpo cargado, no giratorio y esféricamente simétrico de masa M. La solución análoga para un cuerpo cargado y giratorio viene dada por la métrica de Kerr-Newman .

La métrica fue descubierta entre 1916 y 1921 por Hans Reissner , ^[1] Hermann Weyl , ^[2] Gunnar Nordström ^[3] y George Barker Jeffery ^[4] de forma independiente. ^[5]

La métrica

En coordenadas esféricas , la métrica de Reissner-Nordström (es decir, el elemento de línea ) es ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2},}$

• ¿Dónde está la velocidad de la luz ? ${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle \tau }$Es el momento adecuado.
• ${\displaystyle t}$es la coordenada del tiempo (medida por un reloj estacionario en el infinito).
• ${\displaystyle r}$es la coordenada radial.
• ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$son los ángulos esféricos.
• ${\displaystyle r_{\text{s}}}$es el radio de Schwarzschild del cuerpo dado por

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$.

• ${\displaystyle r_{Q}}$es una escala de longitud característica dada por

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}.}$

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la constante eléctrica .

La masa total del cuerpo central y su masa irreducible están relacionadas por ^{[6] [7]} ${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {c^{2}}{G}}{\sqrt {\frac {r_{+}^{2}}{2}}}\ \to \ M={\frac {Q^{2}}{16\pi \varepsilon _{0}GM_{\rm {irr}}}}+M_{\rm {irr}}.}$

La diferencia entre y se debe a la equivalencia de masa y energía , lo que hace que la energía del campo eléctrico también contribuya a la masa total. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{\rm {irr}}}$

En el límite en el que la carga (o equivalentemente, la escala de longitud ) tiende a cero, se recupera la métrica de Schwarzschild . La teoría clásica newtoniana de la gravedad puede entonces recuperarse en el límite cuando la relación tiende a cero. En el límite en el que tanto y tienden a cero, la métrica se convierte en la métrica de Minkowski para la relatividad especial . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle r_{Q}}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$ ${\displaystyle r_{Q}/r}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$

En la práctica, la relación suele ser extremadamente pequeña. Por ejemplo, el radio de Schwarzschild de la Tierra es de aproximadamente 9  mm (3/8  de pulgada ), mientras que un satélite en una órbita geoestacionaria tiene un radio orbital que es aproximadamente cuatro mil millones de veces mayor, 42.164  km (26.200  millas ). Incluso en la superficie de la Tierra, las correcciones a la gravedad newtoniana son solo de una parte en mil millones. La relación solo se vuelve grande cerca de los agujeros negros y otros objetos ultradensos como las estrellas de neutrones . ${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$ ${\displaystyle r}$

Agujeros negros cargados

Aunque los agujeros negros cargados con r _Q  ≪ r _s son similares al agujero negro de Schwarzschild , tienen dos horizontes: el horizonte de eventos y un horizonte de Cauchy interno . ^[8] Al igual que con la métrica de Schwarzschild, los horizontes de eventos para el espacio-tiempo se ubican donde el componente métrico diverge; es decir, donde ${\displaystyle g_{rr}}$ $${\displaystyle 1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{g_{rr}}}=0.}$$

Esta ecuación tiene dos soluciones: $${\displaystyle r_{\pm }={\frac {1}{2}}\left(r_{\rm {s}}\pm {\sqrt {r_{\rm {s}}^{2}-4r_{\rm {Q}}^{2}}}\right).}$$

Estos horizontes de sucesos concéntricos se degeneran para 2 r _Q  = r _s , lo que corresponde a un agujero negro extremal . Los agujeros negros con 2 r _Q  > r _s no pueden existir en la naturaleza porque si la carga es mayor que la masa no puede haber un horizonte de sucesos físico (el término bajo la raíz cuadrada se vuelve negativo). ^[9] Los objetos con una carga mayor que su masa pueden existir en la naturaleza, pero no pueden colapsar en un agujero negro, y si pudieran, mostrarían una singularidad desnuda . ^[10] Las teorías con supersimetría generalmente garantizan que tales agujeros negros "superextremales" no pueden existir.

El potencial electromagnético es $${\displaystyle A_{\alpha }=(Q/r,0,0,0).}$$

Si se incluyen los monopolos magnéticos en la teoría, entonces se obtiene una generalización para incluir la carga magnética P reemplazando Q ² por Q ² + P ² en la métrica e incluyendo el término P  cos  θ  dφ en el potencial electromagnético. ^{[ aclaración necesaria ]}

Dilatación del tiempo gravitacional

La dilatación del tiempo gravitacional en la proximidad del cuerpo central está dada por que se relaciona con la velocidad de escape radial local de una partícula neutra $${\displaystyle \gamma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}},}$$ $${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}.}$$

Símbolos de Christoffel

Los símbolos de Christoffel con los índices dan las expresiones que no desaparecen. $${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3}\ {\frac {g^{is}}{2}}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{sk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{s}}}\right)}$$ $${\displaystyle \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \theta ,\ \varphi \}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{tr}^{t}&={\frac {Mr-Q^{2}}{r(Q^{2}+r^{2}-2Mr)}}\\[6pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r^{5}}}\\[6pt]\Gamma _{rr}^{r}&={\frac {Q^{2}-Mr}{r(Q^{2}-2Mr+r^{2})}}\\[6pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-{\frac {r^{2}-2Mr+Q^{2}}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{r}&=-{\frac {\sin ^{2}\theta \left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\theta r}^{\theta }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\sin \theta \cos \theta \\[6pt]\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \theta }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}}$$

Dados los símbolos de Christoffel, se pueden calcular las geodésicas de una partícula de prueba. ^{[11] [12]}

Forma de tétrada

En lugar de trabajar en la base holonómica, se pueden realizar cálculos eficientes con una tétrada . ^[13] Sea un conjunto de formas unitarias con índice interno de Minkowski , tal que . La métrica de Reissner se puede describir mediante la tétrada ${\displaystyle {\bf {e}}_{I}=e_{\mu I}}$ ${\displaystyle I\in \{0,1,2,3\}}$ ${\displaystyle \eta ^{IJ}e_{\mu I}e_{\nu J}=g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\bf {e}}_{0}=G^{1/2}\,dt}$,

${\displaystyle {\bf {e}}_{1}=G^{-1/2}\,dr}$,

${\displaystyle {\bf {e}}_{2}=r\,d\theta }$

${\displaystyle {\bf {e}}_{3}=r\sin \theta \,d\varphi }$

donde . El transporte paralelo de la tétrada se captura mediante las formas unitarias de conexión . Estas tienen solo 24 componentes independientes en comparación con los 40 componentes de . Las conexiones se pueden resolver mediante inspección a partir de la ecuación de Cartan , donde el lado izquierdo es la derivada exterior de la tétrada y el lado derecho es un producto de cuña . ${\displaystyle G(r)=1-r_{s}r^{-1}+r_{Q}^{2}r^{-2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}=-{\boldsymbol {\omega }}_{JI}=\omega _{\mu IJ}=e_{I}^{\nu }\nabla _{\mu }e_{J\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ ${\displaystyle d{\bf {e}}_{I}={\bf {e}}^{J}\wedge {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{10}={\frac {1}{2}}\partial _{r}G\,dt}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{20}={\boldsymbol {\omega }}_{30}=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{21}=-G^{1/2}\,d\theta }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{31}=-\sin \theta G^{1/2}d\varphi }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{32}=-\cos \theta \,d\varphi }$

El tensor de Riemann se puede construir como una colección de dos formas mediante la segunda ecuación de Cartan , que nuevamente hace uso de la derivada exterior y el producto de cuña. Este enfoque es significativamente más rápido que el cálculo tradicional con ; tenga en cuenta que solo hay cuatro componentes distintos de cero en comparación con nueve componentes distintos de cero de . ${\displaystyle {\bf {R}}_{IJ}=R_{\mu \nu IJ}}$ ${\displaystyle {\bf {R}}_{IJ}=d{\boldsymbol {\omega }}_{IJ}+{\boldsymbol {\omega }}_{IK}\wedge {\boldsymbol {\omega }}^{K}{}_{J},}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

Ecuaciones de movimiento

^[14]

Debido a la simetría esférica de la métrica, el sistema de coordenadas siempre se puede alinear de manera que el movimiento de una partícula de prueba esté confinado a un plano, por lo que, por brevedad y sin restricción de generalidad, usamos θ en lugar de φ . En unidades naturales adimensionales de G  =  M  =  c  =  K  = 1, el movimiento de una partícula cargada eléctricamente con la carga q está dado por lo que se obtiene $${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-\sum _{j=0}^{3}\ \sum _{k=0}^{3}\ \Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}_{k}}}$$ $${\displaystyle {\ddot {t}}={\frac {\ 2(Q^{2}-Mr)}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {r}}{\dot {t}}+{\frac {qQ}{(r^{2}-2mr+Q^{2})}}\ {\dot {r}}}$$ $${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})(Q^{2}-Mr)\ {\dot {t}}^{2}}{r^{5}}}+{\frac {(Mr-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}+{\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})\ {\dot {\theta }}^{2}}{r}}+{\frac {qQ(r^{2}-2mr+Q^{2})}{r^{4}}}\ {\dot {t}}}$$ $${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {2\ {\dot {\theta }}\ {\dot {r}}}{r}}.}$$

Todas las derivadas totales son con respecto al tiempo propio . ${\displaystyle {\dot {a}}={\frac {da}{d\tau }}}$

Las constantes del movimiento se obtienen mediante soluciones a la ecuación diferencial parcial ^[15] después de sustituir las segundas derivadas dadas anteriormente. La métrica en sí misma es una solución cuando se escribe como una ecuación diferencial. ${\displaystyle S(t,{\dot {t}},r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},\varphi ,{\dot {\varphi }})}$ $${\displaystyle 0={\dot {t}}{\dfrac {\partial S}{\partial t}}+{\dot {r}}{\frac {\partial S}{\partial r}}+{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial \theta }}+{\ddot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}+{\ddot {r}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {r}}}}+{\ddot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}}$$ $${\displaystyle S_{1}=1=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,{\dot {t}}^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}.}$$

La ecuación separable produce inmediatamente el momento angular específico relativista constante, una tercera constante obtenida a partir de la cual es la energía específica (energía por unidad de masa en reposo) ^[16] $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2}{r}}{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0}$$ $${\displaystyle S_{2}=L=r^{2}{\dot {\theta }};}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2(Mr-Q^{2})}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}=0}$$ $${\displaystyle S_{3}=E={\frac {{\dot {t}}(r^{2}-2Mr+Q^{2})}{r^{2}}}+{\frac {qQ}{r}}.}$$

Sustituyendo y en se obtiene la ecuación radial ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ $${\displaystyle c\int d\,\tau =\int {\frac {r^{2}\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.}$$

Multiplicando bajo el signo integral por se obtiene la ecuación orbital ${\displaystyle S_{2}}$ $${\displaystyle c\int Lr^{2}\,d\theta =\int {\frac {L\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.}$$

La dilatación total del tiempo entre la partícula de prueba y un observador en el infinito es $${\displaystyle \gamma ={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2})}}.}$$

Las primeras derivadas y los componentes contravariantes de la 3-velocidad local están relacionados por lo que da las condiciones iniciales ${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$ ${\displaystyle v^{i}}$ $${\displaystyle {\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}},}$$ $${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {v_{\parallel }{\sqrt {r^{2}-2M+Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}}$$ $${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}.}$$

La energía orbital específica y el momento angular relativo específico de la partícula de prueba son magnitudes de movimiento que se conservan y son los componentes radial y transversal del vector de velocidad local. Por lo tanto, la velocidad local es $${\displaystyle E={\frac {\sqrt {Q^{2}-2rM+r^{2}}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}+{\frac {qQ}{r}}}$$ $${\displaystyle L={\frac {v_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$$ ${\displaystyle v_{\parallel }}$ ${\displaystyle v_{\perp }}$ $${\displaystyle v={\sqrt {v_{\perp }^{2}+v_{\parallel }^{2}}}={\sqrt {\frac {(E^{2}-1)r^{2}-Q^{2}-r^{2}+2rM}{E^{2}r^{2}}}}.}$$

Formulación alternativa de la métrica

La métrica se puede expresar en forma Kerr-Schild de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\\[5pt]f&={\frac {G}{r^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]\\[5pt]\mathbf {k} &=(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\right)\\[5pt]k_{0}&=1.\end{aligned}}}$$

Observe que k es un vector unitario . Aquí M es la masa constante del objeto, Q es la carga constante del objeto y η es el tensor de Minkowski .

Véase también

• Electrón de agujero negro

Notas

1. Reissner, H. (1916). "Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie". Annalen der Physik . 355 (9): 106-120. Código bibliográfico : 1916AnP...355..106R. doi : 10.1002/andp.19163550905. ISSN  0003-3804.
2. Weyl, Hermann (1917). "Zur Gravitationstheorie". Annalen der Physik . 359 (18): 117-145. Código bibliográfico : 1917AnP...359..117W. doi : 10.1002/andp.19173591804. ISSN  0003-3804.
3. Nordström, G. (1918). "Sobre la energía del campo gravitacional en la teoría de Einstein". Actas de Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen . 20 (2): 1238-1245. Código bibliográfico : 1918KNAB...20.1238N.
4. Jeffery, GB (1921). "El campo de un electrón en la teoría de la gravitación de Einstein". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico . 99 (697): 123–134. Bibcode :1921RSPSA..99..123J. doi : 10.1098/rspa.1921.0028 . ISSN  0950-1207.
5. Siegel, Ethan (13 de octubre de 2021). «Sorpresa: el Big Bang ya no es el comienzo del universo». Big Think . Consultado el 3 de septiembre de 2024 .
6. Thibault Damour : Agujeros negros: energética y termodinámica, págs. 11 y siguientes.
7. Qadir, Asghar (diciembre de 1983). "Repulsión de Reissner-Nordstrom". Physics Letters A . 99 (9): 419–420. Bibcode :1983PhLA...99..419Q. doi :10.1016/0375-9601(83)90946-5.
8. Chandrasekhar, Subrahmanyan (2009). La teoría matemática de los agujeros negros. Textos clásicos de Oxford sobre ciencias físicas (edición reimpresa). Oxford: Clarendon Press. p. 205. ISBN 978-0-19-850370-5. Y, por último, el hecho de que la solución de Reissner-Nordström tenga dos horizontes, un horizonte de eventos externo y un “horizonte de Cauchy” interno, proporciona un puente conveniente para el estudio de la solución de Kerr en los capítulos posteriores.
9. Andrew Hamilton: La geometría de Reissner Nordström (Casa Colorado)
10. Carter, Brandon (25 de octubre de 1968). "Estructura global de la familia Kerr de campos gravitacionales". Physical Review . 174 (5): 1559–1571. doi :10.1103/PhysRev.174.1559. ISSN  0031-899X.
11. Leonard Susskind : El mínimo teórico: geodésicas y gravedad ( Conferencia 4 sobre relatividad general , marca de tiempo: 34 min 18 s)
12. Hackmann, Eva; Xu, Hongxiao (2013). "Movimiento de partículas cargadas en los espacios-tiempos de Kerr-Newmann". Physical Review D . 87 (12): 124030. arXiv : 1304.2142 . doi :10.1103/PhysRevD.87.124030. ISSN  1550-7998.
13. Wald, Robert M. (2009). Relatividad general (edición revisada). Chicago: Univ. of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5.
14. Nordebo, Jonatan. "La métrica de Reissner-Nordström" (PDF) . diva-portal . Consultado el 8 de abril de 2021 .
15. Smith, BR (diciembre de 2009). "Ecuaciones diferenciales parciales de primer orden en dinámica clásica". American Journal of Physics . 77 (12): 1147–1153. Bibcode :2009AmJPh..77.1147S. doi :10.1119/1.3223358. ISSN  0002-9505.
16. Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald; Kaiser, David; et al. (2017). Gravitación . Princeton, NJ: Princeton University Press. págs. 656–658. ISBN 978-0-691-17779-3.OCLC 1006427790  .

Referencias

• Adler, R.; Bazin, M.; Schiffer, M. (1965). Introducción a la relatividad general. Nueva York: McGraw-Hill Book Company. págs. 395–401. ISBN 978-0-07-000420-7.
• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general. Chicago: The University of Chicago Press. pp. 158, 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8.

Enlaces externos

• Diagramas de espacio-tiempo, incluidos el diagrama de Finkelstein y el diagrama de Penrose , por Andrew JS Hamilton
• "Partícula moviéndose alrededor de dos agujeros negros extremos" por Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project .