Lista de reglas de inferencia

Esta es una lista de reglas de inferencia , leyes lógicas que se relacionan con fórmulas matemáticas.

Introducción

Las reglas de inferencia son reglas de transformación sintáctica que se pueden utilizar para inferir una conclusión a partir de una premisa para crear un argumento. Se puede utilizar un conjunto de reglas para inferir cualquier conclusión válida si está completa, pero nunca se puede inferir una conclusión inválida si es sólida. Un conjunto de reglas sólido y completo no necesita incluir todas las reglas de la siguiente lista, ya que muchas de las reglas son redundantes y pueden probarse con las otras reglas.

Las reglas de descarga permiten inferir a partir de una subderivación basada en un supuesto temporal. A continuación, la notación

${\displaystyle \varphi \vdash \psi }$

indica tal subderivación del supuesto temporal a . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

Reglas para el cálculo proposicional

Reglas para negaciones

Reductio ad absurdum (o Introducción a la Negación )

${\displaystyle \varphi \vdash \psi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \lnot \psi }}}$

${\displaystyle \lnot \varphi }$

Reductio ad absurdum (relacionado con la ley del tercero excluido )

${\displaystyle \lnot \varphi \vdash \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \vdash \lnot \psi }}}$

${\displaystyle \varphi }$

Ex contradicción con el quodlibet

${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi }}}$

${\displaystyle \psi }$

Reglas para condicionales

Teorema de deducción (o Introducción condicional )

${\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \psi }}}$

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$

Modus ponens (o Eliminación Condicional )

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \quad }}}$

${\displaystyle \psi }$

Modo de peaje

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad \quad }}}$

${\displaystyle \lnot \varphi }$

Reglas para conjunciones

Adjunción (o Introducción a la Conjunción )

${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \ \ }}}$

${\displaystyle \varphi \land \psi }$

Simplificación (o eliminación de conjunciones )

${\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}}$

${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}}$

${\displaystyle \psi }$

Reglas para disyunciones

Introducción a la adición (o disyunción )

${\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \ \ }}}$

${\displaystyle \varphi \lor \psi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \ \ }}}$

${\displaystyle \varphi \lor \psi }$

Análisis de casos (o Prueba por Casos o Argumento por Casos o Eliminación de Disyunción )

${\displaystyle \varphi \rightarrow \chi }$

${\displaystyle \psi \rightarrow \chi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \lor \psi }}}$

${\displaystyle \chi }$

Silogismo disyuntivo

${\displaystyle \varphi \lor \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \varphi \lor \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \varphi }$

Dilema constructivo

${\displaystyle \varphi \rightarrow \chi }$

${\displaystyle \psi \rightarrow \xi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \lor \psi }}}$

${\displaystyle \chi \lor \xi }$

Reglas para bicondicionales

Introducción bicondicional

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \rightarrow \varphi }}}$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

Eliminación bicondicional

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \lnot \psi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \lnot \varphi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \lor \varphi }}}$

${\displaystyle \psi \land \varphi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \psi \lor \lnot \varphi }}}$

${\displaystyle \lnot \psi \land \lnot \varphi }$

Reglas del cálculo de predicados clásico

En las siguientes reglas, es exactamente igual excepto que tiene el término dondequiera que tenga la variable libre . ${\displaystyle \varphi (\beta /\alpha )}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \alpha }$

Generalización universal (o introducción universal )

${\displaystyle {\underline {\varphi {(\beta /\alpha )}}}}$

${\displaystyle \forall \alpha \,\varphi }$

Restricción 1: es una variable que no ocurre en . Restricción 2: no se menciona en ninguna hipótesis o supuestos no descargados. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \varphi }$
${\displaystyle \beta }$

Creación de instancias universal (o eliminación universal )

${\displaystyle \forall \alpha \,\varphi }$

${\displaystyle {\overline {\varphi {(\beta /\alpha )}}}}$

Restricción: Ninguna aparición libre de in cae dentro del alcance de un cuantificador que cuantifique una variable que ocurre en . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \beta }$

Generalización existencial (o introducción existencial )

${\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )}}}$

${\displaystyle \exists \alpha \,\varphi }$

Restricción: Ninguna aparición libre de in cae dentro del alcance de un cuantificador que cuantifique una variable que ocurre en . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \beta }$

Instanciación existencial (o eliminación existencial )

${\displaystyle \exists \alpha \,\varphi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )\vdash \psi }}}$

${\displaystyle \psi }$

Restricción 1: es una variable que no ocurre en . Restricción 2: No existe ninguna ocurrencia, libre o vinculada, de in . Restricción 3: no se menciona en ninguna hipótesis o supuestos no descargados. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \varphi }$
${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \psi }$
${\displaystyle \beta }$

Reglas de la lógica subestructural.

Los siguientes son casos especiales de generalización universal y eliminación existencial; Estos ocurren en lógicas subestructurales, como la lógica lineal .

Regla de debilitamiento (o monotonicidad de vinculación ) (también conocido como teorema de no clonación )

${\displaystyle \alpha \vdash \beta }$

${\displaystyle {\overline {\alpha ,\alpha \vdash \beta }}}$

Regla de contracción (o idempotencia de vinculación ) (también conocido como teorema de no eliminación )

${\displaystyle {\underline {\alpha ,\alpha ,\gamma \vdash \beta }}}$

${\displaystyle \alpha ,\gamma \vdash \beta }$

Tabla: Reglas de inferencia

Las reglas anteriores se pueden resumir en la siguiente tabla. ^[1] La columna " Tautología " muestra cómo interpretar la notación de una regla determinada.

Todas las reglas utilizan los operadores lógicos básicos. Una tabla de verdad muestra una tabla completa de "operadores lógicos" , que proporciona definiciones de todas las (16) funciones de verdad posibles de 2 variables booleanas ( p , q ):

donde T = verdadero y F = falso, y las columnas son los operadores lógicos :

• 0 , falso , contradicción ;
• 1 , NOR , NOR lógico ( flecha de Peirce );
• 2 , no implicación inversa ;
• 3 , ¬p , Negación ;
• 4 , No implicación material ;
• 5 , ¬q , Negación ;
• 6 , XOR , disyunción exclusiva ;
• 7 , NAND , NAND lógico ( trazo de Sheffer );
• 8 , Y , Conjunción lógica ;
• 9 , XNOR , si y sólo si , bicondicional lógico ;
• 10 , q , función de proyección ;
• 11 , si/entonces , material condicional ;
• 12 , p , función de proyección ;
• 13 , entonces/si, implicación inversa ;
• 14 , O , Disyunción lógica ;
• 15 , verdadero , Tautología .

Cada operador lógico se puede utilizar en una afirmación sobre variables y operaciones, mostrando una regla básica de inferencia. Ejemplos:

• El operador de la columna 14 (OR) muestra la regla de la suma : cuando p =T (la hipótesis selecciona las dos primeras líneas de la tabla), vemos (en la columna 14) que p ∨ q =T.

  Podemos ver también que, con la misma premisa, otras conclusiones son válidas: las columnas 12, 14 y 15 son T.

• El operador de la columna 8 (Y), muestra la regla de simplificación : cuando p ∧ q =T (primera línea de la tabla), vemos que p =T.

  Con esta premisa, también concluimos que q =T, p ∨ q =T, etc., como se muestra en las columnas 9 a 15.

• El operador de la columna 11 (SI/ENTONCES), muestra la regla del Modus ponens : cuando p → q =T yp = T sólo una línea de la tabla de verdad (la primera) satisface estas dos condiciones. En esta línea, q también es cierta. Por lo tanto, siempre que p → q sea verdadero y p sea verdadero, q también debe ser verdadero.

Las máquinas y las personas bien capacitadas utilizan este método de mirar tablas para hacer inferencias básicas y comprobar si se pueden obtener otras inferencias (para las mismas premisas).

Ejemplo 1

Considere las siguientes suposiciones: "Si llueve hoy, entonces no iremos en canoa hoy. Si no hacemos un viaje en canoa hoy, entonces iremos en canoa mañana. Por lo tanto (símbolo matemático de "por lo tanto" es ), si hoy llueve, mañana haremos un viaje en canoa". Para hacer uso de las reglas de inferencia de la tabla anterior, supongamos que la proposición "Si llueve hoy", "Hoy no iremos en canoa" y "Mañana haremos un viaje en canoa". Entonces este argumento es de la forma: ${\displaystyle \therefore }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow r}}\\\end{aligned}}}$

Ejemplo 2

Consideremos un conjunto más complejo de suposiciones: "Hoy no hace sol y hace más frío que ayer". "Iremos a nadar sólo si hace sol", "Si no vamos a nadar, haremos una barbacoa" y "Si vamos a hacer una barbacoa, estaremos en casa al atardecer" llevan a la conclusión " Estaremos en casa al atardecer". Prueba por reglas de inferencia: Sean la proposición "Hoy hace sol", la proposición "Hace más frío que ayer", la proposición "Iremos a nadar", la proposición "Haremos una barbacoa" y la proposición " Estaremos en casa al atardecer". Entonces las hipótesis se convierten en y . Usando nuestra intuición conjeturamos que la conclusión podría ser . Usando la tabla de Reglas de Inferencia podemos probar la conjetura fácilmente: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \neg p\wedge q,r\rightarrow p,\neg r\rightarrow s}$ ${\displaystyle s\rightarrow t}$ ${\displaystyle t}$

Ver también

• Portal de filosofía

• Lista de sistemas lógicos
• Modus ponendo peajes

Referencias

1. Kenneth H. Rosen: Matemáticas discretas y sus aplicaciones , quinta edición, p. 58.