Producto integral

Una integral que utiliza productos en lugar de sumas

Una integral de producto es cualquier contraparte basada en producto de la integral de suma habitual del cálculo . La integral de producto fue desarrollada por el matemático Vito Volterra en 1887 para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales . ^{[1] [2]}

Boceto informal

La integral clásica de Riemann de una función se puede definir mediante la relación ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\Delta x\to 0}\sum f(x_{i})\,\Delta x,}$

donde el límite se toma sobre todas las particiones del intervalo cuyas normas se aproximan a cero. Las integrales de producto son similares, pero toman el límite de un producto en lugar del límite de una suma . Se pueden considerar como versiones " continuas " de productos " discretos " . Se definen como ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {\big (}1+f(x_{i})\,\Delta x{\big )}.}$

Para el caso de , la integral del producto se reduce exactamente al caso de la integración de Lebesgue , es decir, al cálculo clásico. Por lo tanto, surgen los casos interesantes para funciones donde es algún álgebra conmutativa , como un cuerpo matricial de dimensión finita , o si es un álgebra no conmutativa . Las teorías para estos dos casos, los casos conmutativo y no conmutativo, tienen poco en común. El caso no conmutativo es mucho más complicado; requiere un ordenamiento de trayectoria adecuado para que la integral esté bien definida. ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:[a,b]\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Caso conmutativo

Para el caso conmutativo, tres definiciones distintas son comunes en la literatura, denominadas Tipo-I, Tipo-II o geométrica , y Tipo-III o bigeométrica . ^{[3] [4] [5]} Dichas integrales han encontrado uso en epidemiología (el estimador de Kaplan-Meier ) y dinámica de poblaciones estocásticas . La integral geométrica, junto con la derivada geométrica, es útil en el análisis de imágenes ^[6] y en el estudio de fenómenos de crecimiento/decaimiento ( por ejemplo , en crecimiento económico , crecimiento bacteriano y decaimiento radiactivo ). ^{[7] [8]} La integral bigeométrica, junto con la derivada bigeométrica, es útil en algunas aplicaciones de fractales , ^{[9] [10] [11] [12]} y en la teoría de la elasticidad en economía. ^{[3] [5] [13]}

Caso no conmutativo

El caso no conmutativo surge comúnmente en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos . El integrando es generalmente un operador que pertenece a algún álgebra no conmutativa . En este caso, se debe tener cuidado de establecer un orden de trayectorias al integrar. Un resultado típico es la exponencial ordenada . La expansión de Magnus proporciona una técnica para calcular la integral de Volterra. Los ejemplos incluyen la expansión de Dyson , las integrales que ocurren en la expansión del producto del operador y la línea de Wilson , una integral del producto sobre un campo de calibre. El bucle de Wilson es la traza de una línea de Wilson. La integral del producto también ocurre en la teoría de control , como la serie de Peano-Baker que describe las transiciones de estado en sistemas lineales escritos en una forma de tipo ecuación maestra .

Caso general (no conmutativo)

La integral de producto de Volterra es más útil cuando se aplica a funciones con valores matriciales o funciones con valores en un álgebra de Banach . Cuando se aplica a escalares que pertenecen a un cuerpo no conmutativo, a matrices y a operadores, es decir , a objetos matemáticos que no conmutan, la integral de Volterra se divide en dos definiciones. ^[14]

La integral del producto izquierdo es

${\displaystyle P(A,D)=\prod _{i=m}^{1}(\mathbb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i})=(\mathbb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})\cdots (\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})}$

Con esta notación de productos por la izquierda (es decir, productos normales aplicados desde la izquierda)

${\displaystyle \prod _{a}^{b}(\mathbb {1} +A(t)dt)=\lim _{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D)}$

La integralidad del producto adecuada

${\displaystyle P(A,D)^{*}=\prod _{i=1}^{m}(\mathbb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i})=(\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})\cdots (\mathbb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})}$

Con esta notación de productos rectos (es decir, aplicados desde la derecha)

${\displaystyle (\mathbb {1} +A(t)dt)\prod _{a}^{b}=\lim _{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D)^{*}}$

Donde es la matriz identidad y D es una partición del intervalo [a,b] en el sentido de Riemann, es decir , el límite está sobre el intervalo máximo en la partición. Nótese cómo en este caso el orden temporal se hace evidente en las definiciones. ${\displaystyle \mathbb {1} }$

La expansión de Magnus proporciona una técnica para calcular la integral del producto. Define una versión de tiempo continuo de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff .

La integral del producto satisface una colección de propiedades que definen un grupo continuo de un parámetro ; estas se establecen en dos artículos que muestran aplicaciones: la serie de Dyson y la serie de Peano-Baker .

Caso conmutativo

El caso conmutativo es mucho más simple y, como resultado, ha aparecido una gran variedad de notaciones y definiciones distintas. En la literatura, son populares tres estilos distintos. En esta subsección se adopta la notación de producto para la integración de productos en lugar de la integral (generalmente modificada por un símbolo de multiplicación superpuesto o la letra P) preferida por Volterra y otros. Se adopta una clasificación arbitraria de tipos para imponer cierto orden en el campo. ${\displaystyle \textstyle \prod }$ ${\displaystyle \textstyle \int }$

Cuando la función a integrar está valorada en números reales, entonces la teoría se reduce exactamente a la teoría de integración de Lebesgue .

Tipo I: Integral de Volterra

La integral del producto tipo I corresponde a la definición original de Volterra . ^{[2] [15] [16]} Existe la siguiente relación para funciones escalares : ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}=\exp \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right),}$

Tipo II: Integral geométrica

${\displaystyle \prod _{a}^{b}f(x)^{dx}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}=\exp \left(\int _{a}^{b}\ln f(x)\,dx\right),}$

que se denomina integral geométrica . El logaritmo está bien definido si f toma valores en números reales o complejos, o si f toma valores en un campo conmutativo de operadores de clase traza conmutativos . Esta definición de la integral del producto es el análogo continuo del operador de producto discreto (con ) y el análogo multiplicativo de la integral (normal/estándar/ aditiva ) (con ): ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=a}^{b}}$ ${\displaystyle i,a,b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}dx}$ ${\displaystyle x\in [a,b]}$

Es muy útil en estocástica , donde la verosimilitud logarítmica (es decir, el logaritmo de una integral del producto de variables aleatorias independientes ) es igual a la integral del logaritmo de estas ( infinitesimalmente muchas) variables aleatorias :

${\displaystyle \ln \prod _{a}^{b}p(x)^{dx}=\int _{a}^{b}\ln p(x)\,dx.}$

Tipo III: Integral bigeométrica

${\displaystyle \prod _{a}^{b}f(x)^{d(\ln x)}=\exp \left(\int _{\ln(a)}^{\ln(b)}\ln f(e^{x})\,dx\right),}$

La integral del producto tipo III se llama integral bigeométrica .

Resultados básicos

Para el caso conmutativo, los siguientes resultados son válidos para la integral del producto tipo II (la integral geométrica).

${\displaystyle \prod _{a}^{b}c^{dx}=c^{b-a},}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}x^{dx}={\frac {b^{b}}{a^{a}}}{\rm {e}}^{a-b},}$

${\displaystyle \prod _{0}^{b}x^{dx}=b^{b}{\rm {e}}^{-b},}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}\left(f(x)^{k}\right)^{dx}=\left(\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}\right)^{k},}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}\left(c^{f(x)}\right)^{dx}=c^{\int _{a}^{b}f(x)\,dx},}$

La integral geométrica (tipo II anterior) desempeña un papel central en el cálculo geométrico , ^{[3] [4] [17]} que es un cálculo multiplicativo. La inversa de la integral geométrica, que es la derivada geométrica , denotada como , se define utilizando la siguiente relación: ${\displaystyle f^{*}(x)}$

${\displaystyle f^{*}(x)=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}$

De esta manera se puede concluir lo siguiente:

El teorema fundamental

${\displaystyle \prod _{a}^{b}f^{*}(x)^{dx}=\prod _{a}^{b}\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx\right)={\frac {f(b)}{f(a)}},}$

Regla del producto

${\displaystyle (fg)^{*}=f^{*}g^{*}.}$

Regla del cociente

${\displaystyle (f/g)^{*}=f^{*}/g^{*}.}$

Ley de los grandes números

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{X_{1}X_{2}\cdots X_{n}}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\prod _{x}X^{dF(x)},}$

donde X es una variable aleatoria con distribución de probabilidad F ( x ).

Compárese con la ley estándar de grandes números :

${\displaystyle {\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\int X\,dF(x).}$

Caso conmutativo: integrales de producto de tipo Lebesgue

Cuando el integrando toma valores en números reales , entonces es fácil trabajar con los intervalos de producto mediante el uso de funciones simples . Al igual que en el caso de la versión de Lebesgue de las integrales (clásicas) , se pueden calcular integrales de producto aproximándolas con las integrales de producto de funciones simples . El caso de las integrales geométricas de tipo II se reduce exactamente al caso de la integración clásica de Lebesgue.

Tipo I: Integral de Volterra

Dado que las funciones simples generalizan funciones escalonadas , en lo sucesivo solo consideraremos el caso especial de funciones simples que son funciones escalonadas. Esto también facilitará la comparación de la definición de Lebesgue con la de Riemann .

Dada una función escalonada con una partición correspondiente y una partición etiquetada ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a=y_{0}<y_{1}<\dots <y_{m}}$

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b,\quad x_{0}\leq t_{0}\leq x_{1},x_{1}\leq t_{1}\leq x_{2},\dots ,x_{n-1}\leq t_{n-1}\leq x_{n},}$

Una aproximación de la "definición de Riemann" de la integral del producto tipo I viene dada por ^[18]

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left[{\big (}1+f(t_{k}){\big )}\cdot (x_{k+1}-x_{k})\right].}$

La integral del producto (tipo I) fue definida, en términos generales, como el límite de estos productos por Ludwig Schlesinger en un artículo de 1931. ^{[ ¿cuál? ]}

Otra aproximación de la "definición de Riemann" de la integral del producto tipo I se define como

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\exp {\big (}f(t_{k})\cdot (x_{k+1}-x_{k}){\big )}.}$

Cuando es una función constante , el límite del primer tipo de aproximación es igual al segundo tipo de aproximación. ^[19] Nótese que en general, para una función escalonada, el valor del segundo tipo de aproximación no depende de la partición, siempre que la partición sea un refinamiento de la partición que define la función escalonada, mientras que el valor del primer tipo de aproximación sí depende de la finura de la partición, incluso cuando sea un refinamiento de la partición que define la función escalonada. ${\displaystyle f}$

Resulta que ^[20] para cualquier función integrable por producto , el límite del primer tipo de aproximación es igual al límite del segundo tipo de aproximación. Dado que, para las funciones escalonadas, el valor del segundo tipo de aproximación no depende de la finura de la partición para particiones "suficientemente finas", tiene sentido definir ^[21] la "integral de producto de Lebesgue (tipo I)" de una función escalonada como ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=0}^{m-1}\exp {\big (}f(s_{k})\cdot (y_{k+1}-y_{k}){\big )},}$

donde es una partición etiquetada y nuevamente es la partición correspondiente a la función escalonada . (Por el contrario, la cantidad correspondiente no se definiría de manera inequívoca utilizando el primer tipo de aproximación). ${\displaystyle y_{0}<a=s_{0}<y_{1}<\dots <y_{n-1}<s_{n-1}<y_{n}=b}$ ${\displaystyle a=y_{0}<y_{1}<\dots <y_{m}}$ ${\displaystyle f}$

Esto se generaliza fácilmente a espacios de medida arbitrarios . Si es un espacio de medida con medida , entonces para cualquier función simple integrable por producto (es decir, una combinación cónica de las funciones indicadoras para algunos conjuntos medibles disjuntos ), su integral de producto de tipo I se define como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)}$ ${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots ,A_{m-1}\subseteq X}$

${\displaystyle \prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=0}^{m-1}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big )},}$

ya que es el valor de en cualquier punto de . En el caso especial donde , es la medida de Lebesgue , y todos los conjuntos medibles son intervalos , se puede verificar que esto es igual a la definición dada anteriormente para ese caso especial. De manera análoga a la teoría de las integrales de Lebesgue (clásicas) , la integral del producto de tipo I de cualquier función integrable por producto se puede escribir como el límite de una secuencia creciente de integrales del producto de Volterra de funciones simples integrables por producto. ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle f}$

Tomando los logaritmos de ambos lados de la definición anterior, se obtiene que para cualquier función simple integrable en producto : ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \ln \left(\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\right)=\ln \left(\prod _{k=0}^{m-1}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big )}\right)=\sum _{k=0}^{m-1}a_{k}\mu (A_{k})=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\iff }$

${\displaystyle \prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right),}$

donde usamos la definición de integral para funciones simples. Además, debido a que las funciones continuas como pueden intercambiarse con límites, y la integral del producto de cualquier función integrable por producto es igual al límite de las integrales del producto de funciones simples, se deduce que la relación ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)}$

se cumple en general para cualquier producto integrable . Esto generaliza claramente la propiedad mencionada anteriormente. ${\displaystyle f}$

La integral de tipo I es multiplicativa como función de conjunto , ^[22] lo que se puede demostrar utilizando la propiedad anterior. Más específicamente, dada una función integrable por producto, se puede definir una función de conjunto definiendo, para cada conjunto medible , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\cal {V}}_{f}}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$

${\displaystyle {\cal {V}}_{f}(B){\overset {def}{=}}\prod _{B}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{X}{\big (}1+(f\cdot I_{B})(x)\,d\mu (x){\big )},}$

donde denota la función indicadora de . Entonces, para dos conjuntos medibles disjuntos , se tiene ${\displaystyle I_{B}(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{1},B_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {V}}_{f}(B_{1}\sqcup B_{2})&=\prod _{B_{1}\sqcup B_{2}}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\\&=\exp \left(\int _{B_{1}\sqcup B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)+\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)\right)\exp \left(\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\prod _{B_{1}}(1+f(x)d\mu (x))\prod _{B_{2}}(1+f(x)\,d\mu (x))\\&={\cal {V}}_{f}(B_{1}){\cal {V}}_{f}(B_{2}).\end{aligned}}}$

Esta propiedad puede contrastarse con las medidas, que son funciones de conjunto sigma-aditivas .

Sin embargo, la integral de tipo I no es multiplicativa como funcional . Dadas dos funciones integrables por producto y un conjunto medible , generalmente sucede que ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \prod _{A}{\big (}1+(fg)(x)\,d\mu (x){\big )}\neq \prod _{A}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\prod _{A}{\big (}1+g(x)\,d\mu (x){\big )}.}$

Tipo II: Integral geométrica

Si es un espacio de medida con medida , entonces para cualquier función simple integrable en producto (es decir, una combinación cónica de las funciones indicadoras para algunos conjuntos medibles disjuntos ), su integral de producto de tipo II se define como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)}$ ${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots ,A_{m-1}\subseteq X}$

${\displaystyle \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}{\overset {def}{=}}\prod _{k=0}^{m-1}a_{k}^{\mu (A_{k})}.}$

Se puede considerar que esto generaliza la definición dada anteriormente.

Tomando logaritmos de ambos lados, vemos que para cualquier función simple producto integrable : ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \ln \left(\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}\right)=\sum _{k=0}^{m-1}\ln(a_{k})\mu (A_{k})=\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\iff \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right),}$

donde se utilizó la definición de la integral de Lebesgue para funciones simples. Esta observación, análoga a la que ya se hizo para las integrales de Tipo II anteriormente, permite reducir por completo la "teoría de Lebesgue de las integrales geométricas de Tipo II" a la teoría de Lebesgue de las integrales (clásicas). En otras palabras, debido a que las funciones continuas como y pueden intercambiarse con límites, y la integral del producto de cualquier función integrable por producto es igual al límite de alguna secuencia creciente de integrales del producto de funciones simples, se sigue que la relación ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right)}$

se cumple en general para cualquier producto integrable . Esto generaliza la propiedad de las integrales geométricas mencionada anteriormente. ${\displaystyle f}$

Véase también

• Medida del cabello
• Iteración de Picard
• Lista de derivadas e integrales en cálculos alternativos
• Producto indefinido
• Derivada logarítmica
• exponencial ordenada
• Derivada fractal

Referencias

1. V. Volterra, B. Hostinský, Opérations Infinitésimales Linéaires , Gauthier-Villars, París (1938).
2. A. Slavík, Integración de productos, su historia y aplicaciones, ISBN  80-7378-006-2 , Matfyzpress, Praga, 2007.
3. M. Grossman, R. Katz, Cálculo no newtoniano, ISBN 0-912938-01-3 , Lee Press, 1972. 
4. Michael Grossman. El primer sistema no lineal de cálculo diferencial e integral, ISBN 0977117006 , 1979. 
5. Michael Grossman. Cálculo bigeométrico: un sistema con una derivada libre de escala, ISBN 0977117030 , 1983. 
6. Luc Florack y Hans van Assen. "Cálculo multiplicativo en el análisis de imágenes biomédicas", Journal of Mathematical Imaging and Vision, doi :10.1007/s10851-011-0275-1, 2011.
7. Diana Andrada Filip y Cyrille Piatecki. "Una visión general del cálculo no newtoniano y sus posibles aplicaciones en economía", Applied Mathematics – A Journal of Chinese Universities, volumen 28, Sociedad China de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Springer, 2014.
8. Agamirza E. Bashirov, Emine Misirli, Yucel Tandogdu y Ali Ozyapici."Sobre el modelado con ecuaciones diferenciales multiplicativas", Applied Mathematics – A Journal of Chinese Universities, Volumen 26, Número 4, páginas 425–428, doi :10.1007/s11766-011-2767-6, Springer, 2011.
9. Marek Rybaczuk."Crecimiento crítico de patrones fractales en sistemas biológicos", Acta de Bioingeniería y Biomecánica, Volumen 1, Número 1, Universidad Tecnológica de Wroclaw, 1999.
10. Marek Rybaczuk, Alicja Kedzia y Witold Zielinski (2001) "El concepto de dimensión física y fractal II. El cálculo diferencial en espacios dimensionales", Chaos, Solitons, & Fractals Volumen 12, Número 13, octubre de 2001, páginas 2537–2552.
11. Aniszewska, Dorota (octubre de 2007). "Métodos multiplicativos de Runge-Kutta". Dinámica no lineal . 50 (1–2): 265–272. doi :10.1007/s11071-006-9156-3. S2CID  120404112.
12. Dorota Aniszewska y Marek Rybaczuk (2005) "Análisis del sistema multiplicativo de Lorenz", Chaos, Solitons & Fractals Volumen 25, Número 1, julio de 2005, páginas 79–90.
13. Fernando Córdova-Lepe. “La derivada multiplicativa como medida de elasticidad en economía”, TMAT Revista Latinoamericana de Ciencias e Ingeniería, Volumen 2, Número 3, 2006.
14. Cherednikov, Igor Olegovich; Mertens, Tom; Van der Veken, Frederik (2 de diciembre de 2019). Líneas de Wilson en la teoría cuántica de campos. ISBN 9783110651690.
15. Dollard, JD; Friedman, CN (1979). Integración de productos con aplicaciones a ecuaciones diferenciales . Addison Wesley. ISBN 0-201-13509-4.
16. Gantmacher, FR (1959). La teoría de matrices . Vol. 1 y 2.
17. AE Bashirov, EM Kurpınar, A. Özyapıcı. Cálculo multiplicativo y sus aplicaciones, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008.
18. A. Slavík, Integración de productos, su historia y aplicaciones, p. 65. Matfyzpress, Praga, 2007. ISBN 80-7378-006-2 . 
19. A. Slavík, Integración de productos, su historia y aplicaciones, pág. 71. Matfyzpress, Praga, 2007. ISBN 80-7378-006-2 . 
20. A. Slavík, Integración de productos, su historia y aplicaciones, pág. 72. Matfyzpress, Praga, 2007. ISBN 80-7378-006-2 . 
21. A. Slavík, Integración de productos, su historia y aplicaciones, pág. 80. Matfyzpress, Praga, 2007. ISBN 80-7378-006-2 
22. Gill, Richard D., Soren Johansen. "Un estudio de la integración de productos con vistas a su aplicación en el análisis de supervivencia". Annals of Statistics 18, núm. 4 (diciembre de 1990): 1501—555, pág. 1503.

Enlaces externos

• Sitio web sobre cálculo no newtoniano
• Richard Gill, Integración de productos
• Richard Gill, Símbolo integral del producto
• David Manura, Cálculo de productos
• Tyler Neylon, ¡Límites fáciles para n!
• Introducción al cálculo multidimensional (producto) y sin Dx
• Notas sobre la ecuación de Lax
• Antonín Slavík, Introducción a la integración de productos
• Integración de productos de Antonín Slavík, Henstock–Kurzweil y McShane