La morfología matemática ( MM ) es una teoría y técnica para el análisis y procesamiento de estructuras geométricas , basada en la teoría de conjuntos , la teoría de redes , la topología y las funciones aleatorias . La MM se aplica más comúnmente a imágenes digitales , pero también se puede emplear en gráficos , mallas de superficies , sólidos y muchas otras estructuras espaciales.
Los conceptos topológicos y geométricos del espacio continuo , como tamaño, forma , convexidad , conectividad y distancia geodésica , fueron introducidos por MM tanto en espacios continuos como discretos . MM también es la base del procesamiento de imágenes morfológicas , que consiste en un conjunto de operadores que transforman imágenes de acuerdo con las caracterizaciones anteriores.
Los operadores morfológicos básicos son erosión , dilatación , apertura y cierre .
El MM se desarrolló originalmente para imágenes binarias y luego se amplió a imágenes y funciones en escala de grises . La generalización posterior a redes completas se acepta ampliamente hoy como la base teórica del MM.
La morfología matemática fue desarrollada en 1964 gracias al trabajo colaborativo de Georges Matheron y Jean Serra , en la École des Mines de París , Francia . Matheron supervisó la tesis doctoral de Serra, dedicada a la cuantificación de las características minerales a partir de secciones transversales delgadas , y este trabajo dio como resultado un enfoque práctico novedoso, así como avances teóricos en geometría integral y topología .
En 1968, el Centre de Morphologie Mathématique fue fundado por la École des Mines de Paris en Fontainebleau , Francia, dirigido por Matheron y Serra.
Durante el resto de la década de 1960 y la mayor parte de la de 1970, MM se ocupó esencialmente de imágenes binarias , tratadas como conjuntos , y generó una gran cantidad de operadores y técnicas binarias: transformación de acierto o error , dilatación , erosión , apertura , cierre , granulometría , adelgazamiento , esqueletización , erosión última, bisectriz condicional y otras. También se desarrolló un enfoque aleatorio, basado en nuevos modelos de imágenes. La mayor parte del trabajo en ese período se desarrolló en Fontainebleau.
Desde mediados de los años 1970 hasta mediados de los años 1980, MM se generalizó también a funciones e imágenes en escala de grises . Además de extender los conceptos principales (como dilatación, erosión, etc.) a las funciones, esta generalización generó nuevos operadores, como los gradientes morfológicos , la transformada top-hat y la cuenca hidrográfica (el principal enfoque de segmentación de MM ).
En los años 1980 y 1990, el MM ganó un reconocimiento más amplio, ya que los centros de investigación en varios países comenzaron a adoptar e investigar el método. El MM comenzó a aplicarse a una gran cantidad de problemas y aplicaciones de imágenes, especialmente en el campo del filtrado no lineal de imágenes ruidosas.
En 1986, Serra generalizó aún más el MM, esta vez a un marco teórico basado en redes completas . Esta generalización aportó flexibilidad a la teoría, lo que permitió su aplicación a un número mucho mayor de estructuras, incluidas imágenes en color, vídeo, gráficos , mallas , etc. Al mismo tiempo, Matheron y Serra también formularon una teoría para el filtrado morfológico , basada en el nuevo marco de redes.
En las décadas de 1990 y 2000 también se produjeron más avances teóricos, incluidos los conceptos de conexiones y nivelaciones .
En 1993, se celebró el primer Simposio Internacional de Morfología Matemática (ISMM) en Barcelona , España. Desde entonces, los ISMM se organizan cada 2 o 3 años: Fontainebleau, Francia (1994); Atlanta , EE. UU. (1996); Ámsterdam , Países Bajos (1998); Palo Alto, CA , EE. UU. (2000); Sídney , Australia (2002); París , Francia (2005); Río de Janeiro , Brasil (2007); Groningen , Países Bajos (2009); Intra ( Verbania ), Italia (2011); Uppsala , Suecia (2013); Reykjavík , Islandia (2015); Fontainebleau, Francia (2017); y Saarbrücken , Alemania (2019). [1]
En la morfología binaria, una imagen se considera como un subconjunto de un espacio euclidiano o de la cuadrícula de números enteros , para alguna dimensión d .
La idea básica de la morfología binaria es sondear una imagen con una forma simple y predefinida, extrayendo conclusiones sobre cómo esta forma se ajusta o no a las formas de la imagen. Esta "sonda" simple se denomina elemento estructurante y es en sí misma una imagen binaria (es decir, un subconjunto del espacio o la cuadrícula).
A continuación se muestran algunos ejemplos de elementos estructurantes ampliamente utilizados (indicados por B ):
Las operaciones básicas son operadores invariantes al desplazamiento ( invariantes a la traducción ) fuertemente relacionados con la adición de Minkowski .
Sea E un espacio euclidiano o una cuadrícula de números enteros, y A una imagen binaria en E.
La erosión de la imagen binaria A por el elemento estructurante B se define por
donde B z es la traslación de B por el vector z , es decir, , .
Cuando el elemento estructurante B tiene un centro (p. ej., B es un disco o un cuadrado), y este centro está situado en el origen de E , entonces la erosión de A por B puede entenderse como el lugar geométrico de los puntos alcanzados por el centro de B cuando B se mueve dentro de A. Por ejemplo, la erosión de un cuadrado de lado 10, centrado en el origen, por un disco de radio 2, también centrado en el origen, es un cuadrado de lado 6 centrado en el origen.
La erosión de A por B también viene dada por la expresión .
Ejemplo de aplicación: Supongamos que hemos recibido un fax con una fotocopia oscura. Todo parece escrito con un bolígrafo que se destiñe. El proceso de erosión permitirá que las líneas más gruesas se vuelvan más delgadas y se detecte el agujero dentro de la letra "o".
La dilatación de A por el elemento estructurante B se define por
La dilatación es conmutativa, también dada por .
Si B tiene centro en el origen, como antes, entonces la dilatación de A por B puede entenderse como el lugar geométrico de los puntos recorridos por B cuando el centro de B se mueve dentro de A. En el ejemplo anterior, la dilatación del cuadrado de lado 10 por el disco de radio 2 es un cuadrado de lado 14, con esquinas redondeadas, centrado en el origen. El radio de las esquinas redondeadas es 2.
La dilatación también se puede obtener mediante , donde B s denota la simetría de B , es decir, .
Ejemplo de aplicación: la dilatación es la operación dual de la erosión. Las figuras que se dibujan muy ligeramente se vuelven gruesas cuando se las "dilata". La forma más fácil de describirlo es imaginar que el mismo fax/texto se escribe con un bolígrafo más grueso.
La apertura de A por B se obtiene por la erosión de A por B , seguida de la dilatación de la imagen resultante por B :
La apertura también viene dada por , lo que significa que es el lugar geométrico de las traslaciones del elemento estructurante B dentro de la imagen A . En el caso del cuadrado de lado 10, y un disco de radio 2 como elemento estructurante, la apertura es un cuadrado de lado 10 con esquinas redondeadas, donde el radio de las esquinas es 2.
Ejemplo de aplicación: Supongamos que alguien ha escrito una nota en un papel que no se moja y que parece como si la escritura tuviera pequeñas raíces peludas por todas partes. Al abrirlo, se eliminan básicamente las pequeñas "filas" externas y se restaura el texto. El efecto secundario es que las cosas se redondean. Los bordes afilados comienzan a desaparecer.
El cierre de A por B se obtiene por la dilatación de A por B , seguida de la erosión de la estructura resultante por B :
El cierre también se puede obtener mediante , donde X c denota el complemento de X con respecto a E (es decir, ). Lo anterior significa que el cierre es el complemento del lugar geométrico de las traslaciones del simétrico del elemento estructurante fuera de la imagen A .
A continuación se muestran algunas propiedades de los operadores morfológicos binarios básicos (dilatación, erosión, apertura y cierre):
En la morfología de escala de grises , las imágenes son funciones que asignan a un espacio o cuadrícula euclidiana E , donde es el conjunto de números reales , es un elemento mayor que cualquier número real y es un elemento menor que cualquier número real.
Los elementos estructurantes en escala de grises también son funciones del mismo formato, llamadas "funciones estructurantes".
Denotando una imagen por f ( x ), la función estructurante por b ( x ) y el soporte de b por B , la dilatación en escala de grises de f por b viene dada por
donde "sup" denota el supremo .
De manera similar, la erosión de f por b está dada por
donde "inf" denota el ínfimo .
Al igual que en la morfología binaria, la apertura y el cierre están dados respectivamente por
Es común utilizar elementos estructurantes planos en aplicaciones morfológicas. Las funciones estructurantes planas son funciones b ( x ) en la forma
dónde .
En este caso, la dilatación y la erosión se simplifican enormemente y se dan respectivamente por
En el caso discreto y acotado ( E es una cuadrícula y B está acotado), los operadores supremo e ínfimo pueden reemplazarse por los operadores máximo y mínimo . Por lo tanto, la dilatación y la erosión son casos particulares de filtros de estadística de orden , en los que la dilatación devuelve el valor máximo dentro de una ventana móvil (la simetría de la función de estructuración de soporte B ) , y la erosión devuelve el valor mínimo dentro de la ventana móvil B.
En el caso de elementos estructurantes planos, los operadores morfológicos dependen únicamente del orden relativo de los valores de los píxeles , independientemente de sus valores numéricos, y por lo tanto son especialmente adecuados para el procesamiento de imágenes binarias e imágenes en escala de grises cuya función de transferencia de luz no se conoce.
Combinando estos operadores se pueden obtener algoritmos para muchas tareas de procesamiento de imágenes, como detección de características , segmentación de imágenes , nitidez de imágenes , filtrado de imágenes y clasificación . En esta línea también se debe estudiar la morfología continua [2]
Los retículos completos son conjuntos parcialmente ordenados , donde cada subconjunto tiene un ínfimo y un supremo . En particular, contiene un elemento mínimo y un elemento máximo (también denominado "universo").
Sea una red completa, con ínfimo y supremo simbolizados por y , respectivamente. Su universo y elemento mínimo están simbolizados por U y , respectivamente. Además, sea una colección de elementos de L .
Una dilatación es cualquier operador que distribuye sobre el supremo y conserva el elemento menor, es decir:
Una erosión es cualquier operador que se distribuye sobre el ínfimo y preserva el universo. Es decir:
Las dilataciones y erosiones forman conexiones de Galois . Es decir, por cada dilatación existe una y sólo una erosión que satisface
Para todos .
De manera similar, para cada erosión hay una y sólo una dilatación que satisface la conexión anterior.
Además, si dos operadores satisfacen la conexión, entonces debe haber una dilatación y una erosión.
Los pares de erosiones y dilataciones que satisfacen la conexión anterior se denominan "adjunciones", y se dice que la erosión es la erosión adjunta de la dilatación, y viceversa.
Para cada adjunción , la apertura morfológica y el cierre morfológico se definen de la siguiente manera:
La apertura y el cierre morfológicos son casos particulares de apertura algebraica (o simplemente apertura) y cierre algebraico (o simplemente cierre). Las aperturas algebraicas son operadores en L que son idempotentes, crecientes y antiextensivos. Los cierres algebraicos son operadores en L que son idempotentes, crecientes y extensivos.
La morfología binaria es un caso particular de morfología reticular, donde L es el conjunto potencia de E (espacio euclidiano o cuadrícula), es decir, L es el conjunto de todos los subconjuntos de E , y es el conjunto inclusión . En este caso, el ínfimo es el conjunto intersección , y el supremo es el conjunto unión .
De manera similar, la morfología en escala de grises es otro caso particular, donde L es el conjunto de funciones que mapean E en , y , , y , son el orden puntual, el supremo y el ínfimo, respectivamente. Es decir, si f y g son funciones en L , entonces si y solo si ; el ínfimo está dado por ; y el supremo está dado por .
![{\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in B}[f(xy)+b(y)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c99b04c7f2e0432b415dd89b6457fba6193feaf)
![{\displaystyle (f\ominus b)(x)=\inf _{y\in B}[f(x+y)-b(y)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ac2f541bb4c9767c39311c40406482efcf996e)
