Cierre (morfología)

El cierre de la forma azul oscuro (unión de dos cuadrados) por un disco, dando como resultado la unión de la forma azul oscuro y las áreas azul claro.

En morfología matemática , el cierre de un conjunto ( imagen binaria ) A por un elemento estructurante B es la erosión de la dilatación de ese conjunto,

${\displaystyle A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B,\,}$

donde y denotan la dilatación y la erosión, respectivamente. ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \ominus }$

En el procesamiento de imágenes , el cierre es, junto con la apertura , el caballo de batalla básico de la eliminación del ruido morfológico . Al abrir se eliminan los objetos pequeños, mientras que al cerrar se eliminan los pequeños agujeros.

Ejemplo

Realizar dilatación ( ): ${\displaystyle A\oplus B}$

Supongamos que A es la siguiente matriz de 11 x 11 y B es la siguiente matriz de 3 x 3:

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0  0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0  0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0  0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0  0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Para cada píxel de A que tenga un valor de 1, superponga B, con el centro de B alineado con el píxel correspondiente de A.

Cada píxel de cada B superpuesto está incluido en la dilatación de A por B.

La dilatación de A por B viene dada por esta matriz de 11 x 11.

${\displaystyle A\oplus B}$es dado por :

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 

Ahora, realice Erosión en el resultado: ( ) ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle \ominus B}$

${\displaystyle A\oplus B}$es la siguiente matriz de 11 x 11 y B es la siguiente matriz de 3 x 3:

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Suponiendo que el origen B está en su centro, para cada píxel superponga el origen de B, si B está completamente contenido por A, el píxel se conserva; de lo contrario, se elimina. ${\displaystyle A\oplus B}$

Por lo tanto, la erosión de B viene dada por esta matriz de 11 x 11. ${\displaystyle A\oplus B}$

( ) es dado por: ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle \ominus B}$

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Por lo tanto, la Operación de Cierre llena pequeños agujeros y suaviza el objeto llenando espacios estrechos.

Propiedades

• Es idempotente , es decir ,. ${\displaystyle (A\bullet B)\bullet B=A\bullet B}$
• Es creciente , es decir, si , entonces . ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle A\bullet B\subseteq C\bullet B}$
• Es extenso , es decir ,. ${\displaystyle A\subseteq A\bullet B}$
• Es invariante de traducción .

Ver también

• Morfología matemática
• Dilatación
• Erosión
• Apertura
• Transformación de sombrero de copa

Bibliografía

• Análisis de imágenes y morfología matemática de Jean Serra, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Análisis de imágenes y morfología matemática, volumen 2: avances teóricos de Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• Introducción al procesamiento de imágenes morfológicas por Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992) 

enlaces externos

• Introducción a la morfología matemática.