Transformación de sombrero de copa

Operación que extrae pequeños elementos y detalles de imágenes dadas.

En morfología matemática y procesamiento de imágenes digitales , una transformación de sombrero de copa es una operación que extrae pequeños elementos y detalles de imágenes determinadas . Existen dos tipos de transformación de sombrero de copa: la transformación de sombrero de copa blanca se define como la diferencia entre la imagen de entrada y su apertura mediante algún elemento estructurante , mientras que la transformación de sombrero de copa negra se define dualmente como la diferencia entre el cierre y la imagen de entrada. Las transformaciones de sombrero de copa se utilizan para diversas tareas de procesamiento de imágenes, como extracción de características , ecualización de fondo, mejora de imágenes y otras.

Definiciones matemáticas

Sea una imagen en escala de grises , que mapee puntos de un espacio euclidiano o una cuadrícula discreta E (como o ) en la línea real. Sea un elemento estructurante de escala de grises. ${\displaystyle f:E\mapsto \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle b(x)}$

Entonces, la transformada de sombrero de copa blanco de f viene dada por:

${\displaystyle T_{w}(f)=f-f\circ b}$,

donde denota la operación de apertura . ${\displaystyle \circ }$

La transformada de sombrero de copa negro de f (a veces llamada transformación de sombrero de abajo ^[1] ) viene dada por:

${\displaystyle T_{b}(f)=f\bullet b-f}$,

¿Dónde está la operación de cierre ? ${\displaystyle \bullet }$

Propiedades

La transformación de sombrero de copa blanco devuelve una imagen que contiene aquellos "objetos" o "elementos" de una imagen de entrada que:

• Son "más pequeños" que el elemento estructurante (es decir, lugares donde el elemento estructurante no encaja), y
• son más brillantes que su entorno.

El sombrero de copa negro devuelve una imagen que contiene los "objetos" o "elementos" que:

• Son "menores" que el elemento estructurante, y
• son más oscuros que su entorno.

El tamaño o ancho de los elementos que se extraen mediante las transformaciones de sombrero de copa se puede controlar mediante la elección del elemento estructurante . Cuanto mayor sea este último, mayores serán los elementos extraídos. ${\displaystyle b}$

Ambas transformaciones de sombrero de copa son imágenes que contienen solo valores no negativos en todos los píxeles.

Uno de sus usos más importantes en la segmentación de imágenes es ajustar condiciones de iluminación no uniformes en una imagen y proporcionar un mejor valor umbral para separar objetos.

Ejemplo

Supongamos que el usuario sólo está interesado en pequeñas manchas en la imagen y desea eliminar los objetos brillantes más grandes. En este caso, la transformación de sombrero de copa blanco puede eliminar objetos brillantes más grandes y retener pequeñas manchas seleccionando el tamaño del elemento estructurante que se encuentra entre los objetos eliminados y los objetos de interés. El radio de los seis objetos brillantes más grandes es de aproximadamente 50 a 100 píxeles, mientras que el radio de los objetos de interés es de aproximadamente 2 a 4 píxeles. Además, los objetos de interés son formas circulares, por lo que elegimos un elemento estructurante en forma de disco con radio 5. Sin embargo, seleccionar diferentes formas y tamaños para el elemento estructurante da como resultado diferentes imágenes dependiendo de si los objetos encajan en el elemento estructurante o no.

El otro ejemplo es una imagen con iluminación no uniforme, donde el usuario desea extraer objetos por separado del fondo. El método común para la segmentación de imágenes es establecer un umbral en la imagen de entrada según el valor de intensidad. Sin embargo, si la imagen está bajo una iluminación no uniforme, es posible que se presenten errores de segmentación, ya que algunos objetos en áreas más oscuras tienen valores de intensidad cercanos a los valores de intensidad del fondo y no se extraerían utilizando únicamente el método de umbral. En este caso, antes de aplicar el método de Otsu a la imagen de entrada, se debe implementar la transformación de sombrero de copa blanco para corregir la condición de iluminación no uniforme y hacer un contraste obvio entre el fondo y los objetos. Por lo tanto, los objetos se pueden extraer completamente del fondo sin errores de segmentación. Los valores de umbral son 0,5216 y 0,2 y están normalizados para la imagen original y la transformación de sombrero de copa blanco aplicada, respectivamente. ${\displaystyle [0,1]}$

Referencias

• Análisis de imágenes y morfología matemática de Jean Serra, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Análisis de imágenes y morfología matemática, volumen 2: avances teóricos de Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• Introducción al procesamiento de imágenes morfológicas por Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992) 
• Procesamiento práctico de imágenes morfológicas por Edward R. Dougherty y R. Lotufo, ISBN 0-8194-4720-X (2003) 

1. Tcheslavski, Gleb V. (2010). "Procesamiento de imágenes morfológicas: morfología en escala de grises" (PDF) . Consultado el 4 de noviembre de 2013 .

• Procesamiento de imágenes digitales ( Tercera edición ) por Rafael C. González y Richard E. Woods, ISBN 978-93-325-7032-0 (2008)