Transformación de sombrero de copa

Operación que extrae pequeños elementos y detalles de imágenes dadas.

En morfología matemática y procesamiento de imágenes digitales , una transformación de sombrero de copa es una operación que extrae pequeños elementos y detalles de imágenes dadas . Existen dos tipos de transformación de sombrero de copa: la transformación de sombrero de copa blanca se define como la diferencia entre la imagen de entrada y su apertura por algún elemento estructurante , mientras que la transformación de sombrero de copa negra se define dualmente como la diferencia entre el cierre y la imagen de entrada. Las transformaciones de sombrero de copa se utilizan para varias tareas de procesamiento de imágenes, como extracción de características , ecualización de fondo, mejora de imágenes y otras.

Definiciones matemáticas

Sea una imagen en escala de grises que mapea puntos de un espacio euclidiano o una cuadrícula discreta E (como o ) en la línea real. Sea un elemento estructurante de la escala de grises. ${\displaystyle f:E\mapsto \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle b(x)}$

Entonces, la transformada de sombrero blanco de f viene dada por:

${\displaystyle T_{w}(f)=f-f\circ b}$,

donde denota la operación de apertura . ${\displaystyle \circ }$

La transformada de sombrero de copa negro de f (a veces llamada transformada de sombrero de copa inferior ^[1] ) viene dada por:

${\displaystyle T_{b}(f)=f\bullet b-f}$,

¿Dónde está la operación de cierre ? ${\displaystyle \bullet }$

Propiedades

La transformación del sombrero de copa blanco devuelve una imagen que contiene aquellos "objetos" o "elementos" de una imagen de entrada que:

• Son "más pequeños" que el elemento estructurante (es decir, lugares donde el elemento estructurante no encaja), y
• son más brillantes que su entorno.

El sombrero de copa negro devuelve una imagen que contiene los "objetos" o "elementos" que:

• Son "más pequeños" que el elemento estructurante, y
• son más oscuros que sus alrededores.

El tamaño o ancho de los elementos extraídos por las transformaciones top-hat se puede controlar mediante la elección del elemento estructurante . Cuanto más grande sea este último, más grandes serán los elementos extraídos. ${\displaystyle b}$

Ambas transformaciones de sombrero de copa son imágenes que contienen solo valores no negativos en todos los píxeles.

Uno de sus usos más importantes en la segmentación de imágenes es ajustar las condiciones de iluminación no uniformes en una imagen y proporcionar un mejor valor de umbral para separar objetos.

Ejemplo

Supongamos que el usuario solo está interesado en pequeñas manchas en la imagen y desea eliminar los objetos brillantes más grandes. En este caso, la transformación de sombrero de copa blanco puede eliminar objetos brillantes más grandes y conservar las manchas pequeñas seleccionando el tamaño del elemento estructurante que se encuentra entre los objetos eliminados y los objetos de interés. El radio de los seis objetos brillantes más grandes es de aproximadamente 50 a 100 píxeles, mientras que el radio de los objetos de interés es de alrededor de 2 a 4 píxeles. Además, los objetos de interés son formas circulares, por lo que elegimos un elemento estructurante en forma de disco con un radio de 5. Sin embargo, la selección de diferentes formas y tamaños para el elemento estructurante da como resultado diferentes imágenes según si los objetos encajan en el elemento estructurante o no.

El otro ejemplo es una imagen bajo una iluminación no uniforme, donde el usuario desea extraer objetos por separado del fondo. El método común para la segmentación de imágenes es establecer un umbral para la imagen de entrada en función del valor de intensidad. Sin embargo, si la imagen está bajo una iluminación no uniforme, es posible que se presenten errores de segmentación, ya que algunos objetos en el área más oscura tienen valores de intensidad cercanos a los valores de intensidad del fondo y no se extraerían utilizando solo el método de umbral. En este caso, antes de aplicar el método de Otsu a la imagen de entrada, se debe implementar la transformación de sombrero de copa blanco para corregir la condición de iluminación no uniforme y hacer un contraste obvio entre el fondo y los objetos. Por lo tanto, los objetos se pueden extraer completamente del fondo sin errores de segmentación. Los valores de umbral son 0,5216 y 0,2 y se normalizan para la imagen original y la transformación de sombrero de copa blanco aplicada, respectivamente. ${\displaystyle [0,1]}$

Referencias

• Análisis de imágenes y morfología matemática de Jean Serra, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Análisis de imágenes y morfología matemática, volumen 2: avances teóricos de Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• Introducción al procesamiento de imágenes morfológicas, de Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992) 
• Procesamiento práctico de imágenes morfológicas, de Edward R. Dougherty y R. Lotufo, ISBN 0-8194-4720-X (2003) 

1. Tcheslavski, Gleb V. (2010). "Procesamiento de imágenes morfológicas: morfología en escala de grises" (PDF) . Consultado el 4 de noviembre de 2013 .

• Procesamiento de imágenes digitales ( tercera edición ) de Rafael C. Gonzalez y Richard E. Woods, ISBN 978-93-325-7032-0 (2008)