En matemáticas , el problema de Suslin es una cuestión sobre conjuntos totalmente ordenados planteada por Mikhail Yakovlevich Suslin (1920) y publicada póstumamente. Se ha demostrado que es independiente del sistema axiomático estándar de la teoría de conjuntos conocido como ZFC ; Solovay y Tennenbaum (1971) demostraron que la afirmación no puede probarse ni refutarse a partir de esos axiomas, suponiendo que ZF es consistente.
(Suslin también se escribe a veces con la transliteración francesa como Souslin , del cirílico Суслин ).
Un conjunto ordenado (lineal) sin sauts ni lacunes et tel que tout ensemble de ses intervaloles (contenant plus qu'un elemento) n'empiétant pas les uns sur les autres est au plus numerable, est-il nécessairement un continue linéaire (ordinaire) ?
¿Es un conjunto ordenado (linealmente) sin saltos ni espacios y tal que cada conjunto de sus intervalos (que contienen más de un elemento) que no se superponen entre sí es, como mucho, numerable, necesariamente un continuo lineal (ordinario)?
El enunciado original del problema de Suslin de (Suslin 1920)
El problema de Suslin pregunta: Dado un conjunto R totalmente ordenado no vacío con las cuatro propiedades
¿Es R necesariamente isomorfo en orden a la recta real R ?
Si el requisito de la condición de cadena contable se reemplaza por el requisito de que R contenga un subconjunto denso contable (es decir, R es un espacio separable ), entonces la respuesta es efectivamente sí: cualquier conjunto R es necesariamente isomorfo en orden a R (probado por Cantor ).
La condición para un espacio topológico de que toda colección de conjuntos abiertos disjuntos no vacíos sea como máximo contable se denomina propiedad de Suslin .
Cualquier conjunto totalmente ordenado que no sea isomorfo a R pero que satisfaga las propiedades 1 a 4 se conoce como línea de Suslin . La hipótesis de Suslin dice que no hay líneas de Suslin: que todo orden lineal completo denso sin extremos y condición de cadena contable es isomorfo a la línea real. Una afirmación equivalente es que todo árbol de altura ω 1 tiene una rama de longitud ω 1 o una anticadena de cardinalidad ℵ 1 .
La hipótesis generalizada de Suslin dice que para cada cardinal regular infinito κ, cada árbol de altura κ tiene una rama de longitud κ o una anticadena de cardinalidad κ. La existencia de líneas de Suslin es equivalente a la existencia de árboles de Suslin y de álgebras de Suslin .
La hipótesis de Suslin es independiente de ZFC. Jech (1967) y Tennenbaum (1968) utilizaron independientemente métodos de forzamiento para construir modelos de ZFC en los que existen líneas de Suslin. Jensen demostró posteriormente que las líneas de Suslin existen si se supone el principio del diamante , una consecuencia del axioma de constructibilidad V = L. (El resultado de Jensen fue una sorpresa, ya que anteriormente se había conjeturado que V = L implica que no existen líneas de Suslin, sobre la base de que V = L implica que hay "pocos" conjuntos). Por otro lado, Solovay y Tennenbaum (1971) utilizaron métodos de forzamiento para construir un modelo de ZFC sin líneas de Suslin; más precisamente, demostraron que el axioma de Martin más la negación de la hipótesis del continuo implica la hipótesis de Suslin.
La hipótesis de Suslin también es independiente tanto de la hipótesis generalizada del continuo (probada por Ronald Jensen ) como de la negación de la hipótesis del continuo . No se sabe si la hipótesis generalizada de Suslin es consistente con la hipótesis generalizada del continuo; sin embargo, dado que la combinación implica la negación del principio cuadrado en un cardinal límite fuerte singular —de hecho, en todos los cardinales singulares y todos los cardinales sucesores regulares— implica que el axioma de determinación se cumple en L(R) y se cree que implica la existencia de un modelo interno con un cardinal superfuerte .