Péndulo (mecánica)

Cuerpo suspendido de balanceo libre

Animación de un péndulo que muestra los vectores velocidad y aceleración .

Un péndulo es un cuerpo suspendido de un soporte fijo de modo que oscila libremente hacia adelante y hacia atrás bajo la influencia de la gravedad. Cuando un péndulo se desplaza lateralmente desde su posición de equilibrio en reposo, está sujeto a una fuerza restauradora debida a la gravedad que lo acelerará de regreso a la posición de equilibrio. Cuando se suelta, la fuerza restauradora que actúa sobre la masa del péndulo hace que éste oscile alrededor de la posición de equilibrio, moviéndolo hacia adelante y hacia atrás. Las matemáticas de los péndulos son, en general, bastante complicadas. Se pueden hacer suposiciones simplificadoras que, en el caso de un péndulo simple, permiten resolver analíticamente las ecuaciones de movimiento para oscilaciones de ángulo pequeño.

Péndulo de gravedad simple

Un péndulo de gravedad simple ^[1] es un modelo matemático idealizado de un péndulo real. ^{[2] [3] [4]} Se trata de un peso (o pesa ) en el extremo de una cuerda sin masa suspendida de un pivote, sin fricción . Dado que en este modelo no hay pérdida de energía por fricción, cuando se le da un desplazamiento inicial, oscilará hacia adelante y hacia atrás con una amplitud constante . El modelo se basa en estos supuestos:

• La varilla o cuerda sobre la que se balancea la pesa no tiene masa, es inextensible y siempre permanece tensa.
• La masa es una masa puntual.
• El movimiento se produce sólo en dos dimensiones , es decir, la pesa no traza una elipse sino un arco .
• El movimiento no pierde energía por fricción o resistencia del aire .
• El campo gravitacional es uniforme.
• El soporte no se mueve.

La ecuación diferencial que representa el movimiento de un péndulo simple es

donde g es la magnitud del campo gravitacional , ℓ es la longitud de la varilla o cuerda y θ es el ángulo que forma la vertical con el péndulo.

Derivación de "fuerza" de ( Ec. 1 )

Figura 1. Diagrama de fuerzas de un péndulo de gravedad simple.

Considere la Figura 1 a la derecha, que muestra las fuerzas que actúan sobre un péndulo simple. Tenga en cuenta que la trayectoria del péndulo traza un arco de círculo. El ángulo θ se mide en radianes y esto es crucial para esta fórmula. La flecha azul es la fuerza gravitacional que actúa sobre la pesa y las flechas violetas son esa misma fuerza resuelta en componentes paralelas y perpendiculares al movimiento instantáneo de la pesa. La dirección de la velocidad instantánea de la pesa siempre apunta a lo largo del eje rojo, que se considera el eje tangencial porque su dirección siempre es tangente al círculo. Considere la segunda ley de Newton ,

$${\displaystyle F=ma}$$

donde F es la suma de fuerzas sobre el objeto, m es la masa y a es la aceleración. Como sólo nos interesan los cambios de velocidad y como la masa se ve obligada a permanecer en una trayectoria circular, aplicamos la ecuación de Newton únicamente al eje tangencial. La flecha violeta corta representa el componente de la fuerza gravitacional en el eje tangencial y se puede utilizar la trigonometría para determinar su magnitud. De este modo,

$${\displaystyle {\begin{aligned}F&=-mg\sin \theta =ma,\qquad {\text{so}}\\a&=-g\sin \theta ,\end{aligned}}}$$

donde g es la aceleración de la gravedad cerca de la superficie de la tierra. El signo negativo en el lado derecho implica que θ y a siempre apuntan en direcciones opuestas. Esto tiene sentido porque cuando un péndulo oscila más hacia la izquierda, esperaríamos que acelerara nuevamente hacia la derecha.

Esta aceleración lineal a a lo largo del eje rojo se puede relacionar con el cambio en el ángulo θ mediante las fórmulas de longitud de arco; s es la longitud del arco:

$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\ell \theta ,\\v&={\frac {ds}{dt}}=\ell {\frac {d\theta }{dt}},\\a&={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},\end{aligned}}}$$

de este modo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&=-g\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta &=0.\end{aligned}}}$$

Derivación del "par" de ( Ec. 1 )

La ecuación (1) se puede obtener utilizando dos definiciones de par.

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}.}$$

Primero comience definiendo el torque en la masa del péndulo usando la fuerza debida a la gravedad.

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {l} \times \mathbf {F} _{\mathrm {g} },}$$

donde l es el vector longitud del péndulo y F _g es la fuerza debida a la gravedad.

Por ahora considere simplemente la magnitud del momento de torsión sobre el péndulo.

$${\displaystyle |{\boldsymbol {\tau }}|=-mg\ell \sin \theta ,}$$

donde m es la masa del péndulo, g es la aceleración de la gravedad, l es la longitud del péndulo y θ es el ángulo entre el vector longitud y la fuerza de la gravedad.

Luego reescribe el momento angular.

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =m\mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ).}$$

Nuevamente consideremos la magnitud del momento angular.

$${\displaystyle |\mathbf {L} |=mr^{2}\omega =m\ell ^{2}{\frac {d\theta }{dt}}.}$$

y su derivada temporal

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}|\mathbf {L} |=m\ell ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},}$$

Según τ =dl​/dt, podemos obtener comparando las magnitudes

$${\displaystyle -mg\ell \sin \theta =m\ell ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},}$$

de este modo:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,}$$

que es el mismo resultado que se obtiene mediante el análisis de fuerzas.

Derivación de "energía" de ( Ec. 1 )

Figura 2. Trigonometría de un péndulo de gravedad simple.

También se puede obtener mediante el principio de conservación de la energía mecánica : cualquier objeto que caiga una distancia vertical adquiriría energía cinética igual a la que perdió en la caída. En otras palabras, la energía potencial gravitacional se convierte en energía cinética. El cambio en la energía potencial está dado por ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle \Delta U=mgh.}$$

El cambio de energía cinética (el cuerpo partió del reposo) está dado por

$${\displaystyle \Delta K={\tfrac {1}{2}}mv^{2}.}$$

Como no se pierde energía, la ganancia en uno debe ser igual a la pérdida en el otro.

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}=mgh.}$$

El cambio de velocidad para un cambio dado de altura se puede expresar como

$${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}.}$$

Usando la fórmula de longitud de arco anterior, esta ecuación se puede reescribir en términos dedθ/dt:

$${\displaystyle {\begin{aligned}v=\ell {\frac {d\theta }{dt}}&={\sqrt {2gh}},\quad {\text{so}}\\{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {\sqrt {2gh}}{\ell }},\end{aligned}}}$$

donde h es la distancia vertical que cayó el péndulo. Mire la Figura 2, que presenta la trigonometría de un péndulo simple. Si el péndulo comienza su oscilación desde algún ángulo inicial θ ₀ , entonces y ₀ , la distancia vertical desde el tornillo, viene dada por

$${\displaystyle y_{0}=\ell \cos \theta _{0}.}$$

De manera similar, para y ₁ , tenemos

$${\displaystyle y_{1}=\ell \cos \theta .}$$

Entonces h es la diferencia de los dos

$${\displaystyle h=\ell \left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right).}$$

En términos dedθ/dtda

Esta ecuación se conoce como primera integral del movimiento , da la velocidad en términos de la ubicación e incluye una constante de integración relacionada con el desplazamiento inicial ( θ ₀ ). Podemos diferenciar, aplicando la regla de la cadena , con respecto al tiempo para obtener la aceleración

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {d}{dt}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}},\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\frac {d\theta }{dt}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,\end{aligned}}}$$

que es el mismo resultado que se obtiene mediante el análisis de fuerzas.

Aproximación de ángulo pequeño

Aproximación de ángulo pequeño para la función seno: Para θ ≈ 0 encontramos sin θ ≈ θ .

La ecuación diferencial dada anteriormente no se resuelve fácilmente y no existe una solución que pueda escribirse en términos de funciones elementales. Sin embargo, agregar una restricción al tamaño de la amplitud de la oscilación da una forma cuya solución se puede obtener fácilmente. Si se supone que el ángulo es mucho menor que 1  radianes (a menudo citado como menos de 0,1 radianes, aproximadamente 6°), o

$${\displaystyle \theta \ll 1,}$$

pecado θla ecuación. 1aproximación de ángulo pequeño

$${\displaystyle \sin \theta \approx \theta ,}$$

oscilador armónico

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\theta =0.}$$

El error debido a la aproximación es de orden θ ³ (de la expansión de Taylor para sen θ ).

Sea el ángulo inicial θ ₀ . Si se supone que el péndulo se suelta con velocidad angular cero , la solución es

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{\ell }}}\,t\right)\quad \quad \quad \quad \theta _{0}\ll 1.}$

El movimiento es un movimiento armónico simple donde θ ₀ es la amplitud de la oscilación (es decir, el ángulo máximo entre la varilla del péndulo y la vertical). El período aproximado correspondiente del movimiento es entonces

${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\quad \quad \quad \quad \quad \theta _{0}\ll 1}$

lo que se conoce como ley de Christiaan Huygens para el período. Tenga en cuenta que bajo la aproximación de ángulo pequeño, el período es independiente de la amplitud θ ₀ ; ésta es la propiedad del isocronismo que descubrió Galileo .

Regla general para la longitud del péndulo

$${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$$

$${\displaystyle \ell ={\frac {g}{\pi ^{2}}}{\frac {T_{0}^{2}}{4}}.}$$

Si se utilizan unidades SI (es decir, se miden en metros y segundos), y suponiendo que la medición se realiza en la superficie de la Tierra, entonces g ≈ 9,81 m/s ² , ygramo/π ²≈ 1 m/s ² (0,994 es la aproximación a 3 decimales).

Por lo tanto, aproximaciones relativamente razonables para la duración y el período son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell &\approx {\frac {T_{0}^{2}}{4}},\\T_{0}&\approx 2{\sqrt {\ell }}\end{aligned}}}$$

T ₀dosl

Período de amplitud arbitraria

Figura 3. Desviación del período "verdadero" de un péndulo respecto de la aproximación del período en ángulo pequeño. El valor "verdadero" se obtuvo numéricamente evaluando la integral elíptica.

Figura 4. Errores relativos utilizando las series de potencias para el período.

Figura 5. Retrato de fase y energía potencial de un péndulo simple. Tenga en cuenta que el eje x , al ser un ángulo, se enrolla sobre sí mismo cada 2 π radianes.

Para amplitudes más allá de la aproximación de ángulo pequeño , se puede calcular el período exacto invirtiendo primero la ecuación de la velocidad angular obtenida del método de la energía ( Ec. 2 ),

$${\displaystyle {\frac {dt}{d\theta }}={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {1}{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}$$

$${\displaystyle T=t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}),}$$

$${\displaystyle T=2t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}),}$$

$${\displaystyle T=4t(\theta _{0}\rightarrow 0),}$$

$${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}.}$$

Tenga en cuenta que esta integral diverge cuando θ ₀ se acerca a la vertical

$${\displaystyle \lim _{\theta _{0}\to \pi }T=\infty ,}$$

Esta integral se puede reescribir en términos de integrales elípticas como

$${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}F\left({\frac {\pi }{2}},\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}$$

Fintegral elíptica incompleta de primer tipo

$${\displaystyle F(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.}$$

O más concisamente por la sustitución

$${\displaystyle \sin {u}={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}$$

θu

${\displaystyle T={\frac {2T_{0}}{\pi }}K(k),\qquad {\text{where}}\quad k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.}$ Ec. 3

Aquí K es la integral elíptica completa de primer tipo definida por

$${\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.}$$

Para comparar la aproximación a la solución completa, considere el período de un péndulo de 1 m de longitud en la Tierra ( g =9.806 65  m/s ² ) en un ángulo inicial de 10 grados es

$${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\ K\left(\sin {\frac {10^{\circ }}{2}}\right)\approx 2.0102{\text{ s}}.}$$

$${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\approx 2.0064{\text{ s}}.}$$

La diferencia entre ambos valores, inferior al 0,2%, es mucho menor que la provocada por la variación de g con la ubicación geográfica.

A partir de aquí existen muchas formas de proceder para calcular la integral elíptica.

Solución polinómica de Legendre para la integral elíptica

Dada la ecuación. 3 y la solución polinómica de Legendre para la integral elíptica:

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{n}\right)^{2}}$$

n !!factorial doble

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\cdots \right)\\&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left(\left({\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\cdot \sin ^{2n}{\frac {\theta _{0}}{2}}\right).\end{alignedat}}}$$

La Figura 4 muestra los errores relativos usando la serie de potencias. T ₀ es la aproximación lineal, y T ₂ a T ₁₀ incluyen respectivamente los términos hasta la 2.ª a la 10.ª potencia.

Solución en serie de potencias para la integral elíptica

Se puede encontrar otra formulación de la solución anterior si se utiliza la siguiente serie de Maclaurin:

$${\displaystyle \sin {\frac {\theta _{0}}{2}}={\frac {1}{2}}\theta _{0}-{\frac {1}{48}}\theta _{0}^{3}+{\frac {1}{3\,840}}\theta _{0}^{5}-{\frac {1}{645\,120}}\theta _{0}^{7}+\cdots .}$$

^[5]

$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3\,072}}\theta _{0}^{4}+{\frac {173}{737\,280}}\theta _{0}^{6}+{\frac {22\,931}{1\,321\,205\,760}}\theta _{0}^{8}+{\frac {1\,319\,183}{951\,268\,147\,200}}\theta _{0}^{10}+{\frac {233\,526\,463}{2\,009\,078\,326\,886\,400}}\theta _{0}^{12}+\cdots \right),}$$

Enciclopedia en línea de secuencias enterasOEIS : A223067OEIS : A223068

Solución de media aritmético-geométrica para integral elíptica

Dada la ecuación. 3 y la solución media aritmético-geométrica de la integral elíptica:

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2M(1-k,1+k)}},}$$

M ( x , y )xy

Esto produce una fórmula alternativa y de convergencia más rápida para el período: ^{[6] [7] [8]}

$${\displaystyle T={\frac {2\pi }{M\left(1,\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}}{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}$$

La primera iteración de este algoritmo da

$${\displaystyle T_{1}={\frac {2T_{0}}{1+\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}.}$$

Esta aproximación tiene un error relativo de menos del 1% para ángulos de hasta 96,11 grados. ^[6] Dado que la expresión se puede escribir de manera más concisa como ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$

$${\displaystyle T_{1}=T_{0}\sec ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}}.}$$

La expansión de segundo orden de se reduce a ${\displaystyle \sec ^{2}(\theta _{0}/4)}$ ${\textstyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$

Una segunda iteración de este algoritmo da

$${\displaystyle T_{2}={\frac {4T_{0}}{1+\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}+2{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}}={\frac {4T_{0}}{\left(1+{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}\right)^{2}}}.}$$

Esta segunda aproximación tiene un error relativo de menos del 1% para ángulos de hasta 163,10 grados. ^[6]

Fórmulas aproximadas para el período del péndulo no lineal.

Aunque el período exacto se puede determinar, para cualquier rad de amplitud finita, evaluando la integral elíptica completa correspondiente , donde , esto a menudo se evita en las aplicaciones porque no es posible expresar esta integral en forma cerrada en términos de funciones elementales. Esto ha dado paso a la investigación de fórmulas aproximadas simples para el aumento del período del péndulo con amplitud (útiles en laboratorios de introducción a la física, mecánica clásica, electromagnetismo, acústica, electrónica, superconductividad, etc. ^[9] Las fórmulas aproximadas encontradas por diferentes autores pueden clasificarse de la siguiente manera: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$ ${\displaystyle K(k)}$ ${\displaystyle k\equiv \sin(\theta _{0}/2)}$

• Fórmulas de "ángulo no tan grande", es decir, aquellas que producen buenas estimaciones para amplitudes por debajo de rad (un límite natural para una masa en el extremo de una cuerda flexible), aunque la desviación con respecto al período exacto aumenta monótonamente con la amplitud, por lo que no son adecuadas. para amplitudes cercanas a rad. Una de las fórmulas más simples encontradas en la literatura es la siguiente de Lima (2006): , donde . ^[10] ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$ ${\displaystyle a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}}$
• Fórmulas de "ángulo muy grande", es decir, aquellas que aproximan asintóticamente el período exacto para amplitudes cercanas a rad, con un error que aumenta monótonamente para amplitudes más pequeñas (es decir, no adecuadas para amplitudes pequeñas). Una de las mejores fórmulas es la de Cromer, a saber: ^[11] . ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle T\approx {\frac {2}{\pi }}\,T_{0}\,\ln {(4/a)}}$

Por supuesto, el aumento de con la amplitud es más evidente cuando , como se ha observado en muchos experimentos utilizando una varilla rígida o un disco. ^[12] Dado que actualmente se dispone de cronómetros y sensores precisos incluso en los laboratorios de iniciación a la física, los errores experimentales encontrados en experimentos de "ángulos muy grandes" ya son lo suficientemente pequeños para una comparación con el período exacto y una muy buena concordancia entre la teoría y los experimentos en Se ha encontrado que la fricción es despreciable. Dado que muchos instructores habían fomentado esta actividad, se buscó una fórmula aproximada simple para el período del péndulo válida para todas las amplitudes posibles, con la cual se pudieran comparar los datos experimentales. En 2008, Lima derivó una fórmula de promedio ponderado con esta característica: ^[9] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \pi /2<\theta _{0}<\pi }$

$${\displaystyle T\approx {\frac {r\,a^{2}\,T_{\text{Lima}}+k^{2}\,T_{\text{Cromer}}}{r\,a^{2}+k^{2}}},}$$

${\displaystyle r=7.17}$ ${\displaystyle \theta _{0}=95^{\circ }}$

Desplazamiento angular de amplitud arbitraria

La expansión en serie de Fourier viene dada por ^{[13] [14]} ${\displaystyle \theta (t)}$

$${\displaystyle \theta (t)=8\sum _{n\geq 1{\text{ odd}}}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {n/2}\right\rfloor }}{n}}{\frac {q^{n/2}}{1+q^{n}}}\cos(n\omega t)}$$

donde está el nomo elíptico y la frecuencia angular . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q=\exp \left({-\pi K{\bigl (}{\sqrt {\textstyle 1-k^{2}}}{\bigr )}{\big /}K(k)}\right),}$ ${\displaystyle k=\sin(\theta _{0}/2),}$ ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$

Si uno define

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}{1+{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}}}$$

${\displaystyle q}$

$${\displaystyle q=\varepsilon +2\varepsilon ^{5}+15\varepsilon ^{9}+150\varepsilon ^{13}+1707\varepsilon ^{17}+20910\varepsilon ^{21}+\cdots }$$

OEIS : A002103 ${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$ ${\displaystyle \varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$

De manera equivalente, el ángulo se puede dar en términos de la función elíptica de Jacobi con módulo ^[15] ${\displaystyle \operatorname {cd} }$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \theta (t)=2\arcsin \left(k\operatorname {cd} \left({\sqrt {\frac {g}{\ell }}}t;k\right)\right),\quad k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.}$$

Para , y , pequeños , la solución está bien aproximada mediante la solución dada en Péndulo (mecánica)#Aproximación de ángulo pequeño. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sin x\approx x}$ ${\displaystyle \arcsin x\approx x}$ ${\displaystyle \operatorname {cd} (t;0)=\cos t}$

Ejemplos

Las animaciones a continuación representan el movimiento de un péndulo simple (sin fricción) con cantidades crecientes de desplazamiento inicial de la masa o, de manera equivalente, una velocidad inicial creciente. El pequeño gráfico encima de cada péndulo es el diagrama del plano de fase correspondiente; el eje horizontal es el desplazamiento y el eje vertical es la velocidad. Con una velocidad inicial suficientemente grande, el péndulo no oscila hacia adelante y hacia atrás, sino que gira completamente alrededor del pivote.

• 
  Ángulo inicial de 0°, un equilibrio estable
• 
  Ángulo inicial de 45°
• 
  Ángulo inicial de 90°
• 
  Ángulo inicial de 135°
• 
  Ángulo inicial de 170°
• 
  Ángulo inicial de 180°, equilibrio inestable.
• 
  Péndulo con apenas suficiente energía para un movimiento completo
• 
  Péndulo con suficiente energía para un giro completo.

Péndulo amortiguado e impulsado

La discusión anterior se centra en una masa de péndulo sobre la que sólo actúa la fuerza de gravedad. En este caso, se supone que sobre el cuerpo actúan una fuerza amortiguadora, por ejemplo la resistencia del aire, así como una fuerza motriz sinusoidal. Este sistema es un oscilador amortiguado y accionado , y es caótico .

La ecuación (1) se puede escribir como

$${\displaystyle ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta }$$

(consulte la derivación del par de la ecuación (1) anterior).

Ahora podemos agregar un término de amortiguamiento y un término de forzamiento al lado derecho para obtener

$${\displaystyle ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta -b{\frac {d\theta }{dt}}+a\cos(\Omega t)}$$

donde hemos asumido que el par de amortiguación es proporcional a la velocidad angular (esto es cierto para la resistencia del aire a baja velocidad, ver también Arrastre (física) ). y son constantes que definen la amplitud del forzamiento y el grado de amortiguación respectivamente. es la frecuencia angular de las oscilaciones impulsoras. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\textstyle \Omega }$

Ahora podemos simplificar dividiendo por y redefiniendo las constantes apropiadamente para obtener ${\textstyle ml^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+B{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {g}{l}}{\sin \theta }=A\cos(\Omega t).}$$

Esta ecuación exhibe un comportamiento caótico . El movimiento exacto de este péndulo sólo puede determinarse numéricamente y depende en gran medida de las condiciones iniciales, p. ej. la velocidad inicial y la amplitud inicial. Sin embargo, la aproximación de ángulo pequeño descrita anteriormente aún se puede utilizar en las condiciones requeridas para dar una solución analítica aproximada.

Péndulo compuesto

Un péndulo compuesto (o péndulo físico ) es aquel en el que la varilla no carece de masa y puede tener un tamaño extendido; es decir, un cuerpo rígido de forma arbitraria que se balancea mediante un pivote . En este caso el periodo del péndulo depende de su momento de inercia alrededor del punto de pivote. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle I_{O}}$

La ecuación de torque da:

$${\displaystyle \tau =I\alpha }$$

${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \tau }$

El par es generado por la gravedad, entonces: donde: ${\displaystyle \tau =-mgr_{\mathrm {CM} }\sin \theta }$

• ${\displaystyle m}$es la masa total del cuerpo ridig (varilla y masa)
• ${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$es la distancia desde el punto de pivote al centro de masa del sistema
• ${\displaystyle \theta }$es el ángulo desde la vertical

Por lo tanto, bajo la aproximación de ángulo pequeño , ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$

$${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}\approx -{\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}\theta }$$

${\displaystyle I_{O}}$ ${\displaystyle O}$

La expresión para tiene la misma forma que el péndulo simple convencional y da un período de ^[2] ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\mathrm {CM} }}}}}$$

y una frecuencia de

$${\displaystyle f={\frac {1}{T}}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}}}$$

Si se toma en consideración el ángulo inicial (para amplitudes grandes), entonces la expresión para queda: ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}=-{\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}\sin \theta }$$

$${\displaystyle T=4\operatorname {K} \left(\sin ^{2}{\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right){\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\mathrm {CM} }}}}}$$

integral elíptica completa de primera clase ${\displaystyle \theta _{\mathrm {max} }}$ ${\displaystyle \operatorname {K} (k)}$

Un concepto importante es la longitud equivalente , la longitud de un péndulo simple que tiene la misma frecuencia angular que el péndulo compuesto: ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {g}{\ell ^{\mathrm {eq} }}}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}\implies \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{gr_{\mathrm {CM} }}}}$

Considere los siguientes casos:

• El péndulo simple es el caso especial en el que toda la masa se encuentra en la masa que oscila a una distancia del pivote. Así, y , entonces la expresión se reduce a: . Observe , como se esperaba (la definición de longitud equivalente). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }=\ell }$ ${\displaystyle I_{O}=m\ell ^{2}}$ ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}={\frac {mg\ell }{m\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}}$ ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }=\ell }$
• Una varilla homogénea de masa y longitud que oscila desde su extremo tiene y , por lo que la expresión se reduce a: . Fíjate , una varilla homogénea oscila como si fuera un simple péndulo de dos tercios de su longitud. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {1}{2}}\ell }$ ${\displaystyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$ ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}={\frac {mg\,{\frac {1}{2}}\ell }{{\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}}={\frac {g}{{\frac {2}{3}}\ell }}}$ ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {2}{3}}\ell }$
• Un péndulo simple y pesado: combinación de una varilla homogénea de masa y longitud que oscila en su extremo y una masa en el otro extremo. Entonces el sistema tiene una masa total de , y los otros parámetros son y , por lo que la expresión se reduce a: ${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }+2m_{\mathrm {rod} }}}\ell }$ ${\displaystyle I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}$

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}={\frac {(m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} })g\,{\frac {m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }+2m_{\mathrm {rod} }}}\ell }{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {(m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} })^{2}}{(m_{\mathrm {bob} }+2m_{\mathrm {rod} })\left(m_{\mathrm {bob} }+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\right)}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {\left(1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)^{2}}{\left(1+2{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)\left(1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)}}}$. Tenga en cuenta que esta fórmula se puede particularizar en los dos casos anteriores estudiados simplemente considerando que la masa de la varilla o la masa es cero respectivamente. Observe también que la fórmula no depende de la masa de la pesa y de la varilla, sino de su relación . Se puede hacer una aproximación para : ${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}$ ${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1}$ ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}\approx {\frac {g}{\ell }}{\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}}\approx {\frac {g}{\ell }}\left(1-{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}+\cdots \right)}$

Observe cuán similar es a la frecuencia angular en un sistema masa-resorte con masa efectiva , y cómo aparece el valor de Rayleigh .

Interpretación física del período imaginario.

La función elíptica jacobiana que expresa la posición de un péndulo en función del tiempo es una función doblemente periódica con un período real y un período imaginario . El período real es, por supuesto, el tiempo que le toma al péndulo recorrer un ciclo completo. Paul Appell señaló una interpretación física del período imaginario: ^[16] si θ ₀ es el ángulo máximo de un péndulo y 180° − θ ₀ es el ángulo máximo de otro, entonces el período real de cada uno es la magnitud del período imaginario. período del otro.

Péndulo acoplado

Dos péndulos simples idénticos acoplados mediante un resorte que conecta las pesas.

Los péndulos acoplados pueden afectar el movimiento de cada uno, ya sea a través de una conexión de dirección (como un resorte que conecta las pesas) o mediante movimientos en una estructura de soporte (como una mesa). Las ecuaciones de movimiento para dos péndulos simples idénticos acoplados por un resorte que conecta las pesas se pueden obtener utilizando la mecánica lagrangiana .

La energía cinética del sistema es:

$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)}$$

${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

La energía potencial del sistema es:

$${\displaystyle E_{\text{p}}=mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})+{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$$

donde es la aceleración gravitacional y es la constante del resorte . El desplazamiento del resorte desde su posición de equilibrio asume la aproximación de ángulo pequeño . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L(\theta _{2}-\theta _{1})}$

El lagrangiano es entonces

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})-{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{1}+{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{2}-{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$$

Sumar y restar estas dos ecuaciones a su vez, y aplicar la aproximación de ángulo pequeño, da dos ecuaciones de oscilador armónico en las variables y : ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}(\theta _{1}+\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{1}-{\ddot {\theta }}_{2}+\left({\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}\right)(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}+\theta _{2}&=A\cos(\omega _{1}t+\alpha )\\\theta _{1}-\theta _{2}&=B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {g}{L}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {{\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}}}\end{aligned}}}$$

y , , , son constantes de integración . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Expresando las soluciones en términos de y solo: ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )+{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\\\theta _{2}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )-{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$$

Si los bobs no reciben un empujón inicial, entonces la condición requiere , lo que da (después de cierta reorganización): ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\theta _{1}(0)+\theta _{2}(0)\\B&=\theta _{1}(0)-\theta _{2}(0)\end{aligned}}}$$

Ver también

• Armonógrafo
• Péndulo cónico
• Péndulo cicloidal
• Péndulo doble
• Péndulo invertido
• El péndulo de Kapitza
• Péndulo de Rayleigh-Lorentz
• Péndulo elástico
• función de Mathieu
• Ecuaciones de péndulo (software)

Referencias

1. definido por Christiaan Huygens: Huygens, Christian (1673). "Horologium Oscillatorium" (PDF) . Matemáticas del siglo XVII . 17thcenturymaths.com . Consultado el 1 de marzo de 2009 ., Parte 4, Definición 3, traducido en julio de 2007 por Ian Bruce
2. Nave, Carl R. (2006). "Péndulo simple". Hiperfísica . Universidad Estatal de Georgia . Consultado el 10 de diciembre de 2008 .
3. Xue, Linwei (2007). "Sistemas de péndulo". Ver y tocar conceptos estructurales . Departamento de Ingeniería Civil, Univ. de Manchester, Reino Unido . Consultado el 10 de diciembre de 2008 .
4. Weisstein, Eric W. (2007). "Péndulo simple". El mundo de la ciencia de Eric Weisstein . Investigación Wolfram . Consultado el 9 de marzo de 2009 .
5. Nelson, Robert; Olsson, MG (febrero de 1986). "El péndulo: física rica a partir de un sistema simple". Revista Estadounidense de Física . 54 (2): 112-121. Código Bib : 1986AmJPh..54..112N. doi :10.1119/1.14703. S2CID  121907349.
6. Carvalhaes, Claudio G.; Suppes, Patrick (diciembre de 2008), "Aproximaciones para el período del péndulo simple basadas en la media aritmético-geométrica" ​​(PDF) , Am. J. Física. , 76 (12͒): 1150–1154, Bibcode :2008AmJPh..76.1150C, doi :10.1119/1.2968864, ISSN  0002-9505 , consultado el 14 de diciembre de 2013
7. Borwein, JM ; Borwein, PB (1987). Pi y la Asamblea General Anual . Nueva York: Wiley. págs. 1-15. ISBN 0-471-83138-7. SEÑOR  0877728.
8. Van Baak, Tom (noviembre de 2013). "Una nueva y maravillosa ecuación del período del péndulo" (PDF) . Boletín de ciencia relojera . 2013 (5): 22–30.
9. Lima, FMS (10 de septiembre de 2008). "'Fórmulas logarítmicas' simples para el movimiento pendular válidas para cualquier amplitud". Revista Europea de Física . 29 (5): 1091–1098. doi :10.1088/0143-0807/29/5/021. ISSN  0143-0807. S2CID  121743087: a través de revistas de IoP.
10. Lima, FMS; Arun, P. (octubre de 2006). "Una fórmula precisa para el período de un péndulo simple que oscila más allá del régimen de ángulo pequeño". Revista Estadounidense de Física . 74 (10): 892–895. arXiv : física/0510206 . Código Bib : 2006AmJPh..74..892L. doi :10.1119/1.2215616. ISSN  0002-9505. S2CID  36304104.
11. Cromer, Alan (febrero de 1995). "Muchas oscilaciones de una varilla rígida". Revista Estadounidense de Física . 63 (2): 112-121. Código bibliográfico : 1995AmJPh..63..112C. doi :10.1119/1.17966. ISSN  0002-9505.
12. Gil, Salvador; Legarreta, Andrés E.; Di Gregorio, Daniel E. (septiembre de 2008). "Medición de la anarmonicidad en un péndulo de gran amplitud". Revista Estadounidense de Física . 76 (9): 843–847. Código Bib : 2008AmJPh..76..843G. doi :10.1119/1.2908184. ISSN  0002-9505.
13. Lawden, Derek F. (1989). Funciones y aplicaciones de la elíptica . Springer-Verlag. pag. 40.ISBN​ 0-387-96965-9.Ec. 2.7.9: ${\textstyle -kk'\int \operatorname {sd} u\,\mathrm {d} u=\arcsin(k\operatorname {cd} u)+C}$
14. Reinhardt, WP; Walker, PL (2010), "Funciones elípticas jacobianas", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
15. "Una solución completa al péndulo no lineal". 4 de diciembre de 2021.
16. Appell, Paul (julio de 1878). "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique" [Sobre una interpretación de los valores del tiempo imaginarios en mecánica]. Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 87 (1).

Otras lecturas

• Panadero, Gregory L.; Blackburn, James A. (2005). El péndulo: un estudio de caso de física (PDF) . Prensa de la Universidad de Oxford.
• Ochs, Karlheinz (2011). "Una solución analítica integral del péndulo no lineal". Revista Europea de Física . 32 (2): 479–490. Código Bib : 2011EJPh...32..479O. doi :10.1088/0143-0807/32/2/019. S2CID  53621685.
• Sala, Kenneth L. (1989). "Transformaciones de la función de amplitud jacobiana y su cálculo mediante la media aritmético-geométrica". SIAM J. Matemáticas. Anal . 20 (6): 1514-1528. doi :10.1137/0520100.

enlaces externos

• Artículo de Mathworld sobre la función Mathieu