El par de Tusi (también conocido como mecanismo de Tusi [1] [2] [3] ) es un dispositivo matemático en el que un círculo pequeño gira dentro de un círculo más grande cuyo diámetro es el doble del del círculo más pequeño. Las rotaciones de los círculos hacen que un punto de la circunferencia del círculo más pequeño oscile hacia adelante y hacia atrás en un movimiento lineal a lo largo de un diámetro del círculo más grande. El par de Tusi es un hipocicloide de 2 cúspides .
Diagrama de Tusi de la pareja Tusi, siglo XIII [7]Las dos inversiones mutuas de la pareja de Tusi. Nótese que, contrariamente a la descripción, los círculos en la animación inferior deben girar en la misma dirección.
La traducción de la copia de la descripción original de Tusi de su modelo geométrico alude al menos a una inversión del modelo que se puede ver en los diagramas:
Si se toman como tangentes internamente en un punto dos círculos coplanares, de diámetro uno igual a la mitad del diámetro del otro, y se toma un punto en el círculo más pequeño (y sea éste el punto de tangencia) y si los dos círculos se mueven con movimientos simples en dirección opuesta de tal manera que el movimiento del [círculo] más pequeño es el doble del del más grande, de modo que el más pequeño completa dos rotaciones por cada rotación del más grande, entonces se verá que ese punto se mueve sobre el diámetro del círculo más grande que pasa inicialmente por el punto de tangencia, oscilando entre los puntos finales. [8]
La descripción no es coherente y parece combinar arbitrariamente características de varias inversiones posibles e imposibles del modelo geométrico.
Algebraicamente, el modelo se puede expresar con números complejos como
Otros comentaristas han observado que el par de Tusi puede interpretarse como una curva rodante donde la rotación del círculo interior satisface una condición de no deslizamiento a medida que su punto tangente se mueve a lo largo del círculo exterior fijo.
Otras fuentes
La percepción de Copérnico sobre la pareja Tusi. "Los dos círculos se mueven... en direcciones opuestas".
El término "pareja de Tusi" es moderno, acuñado por Edward Stewart Kennedy en 1966. [9] Es uno de varios dispositivos astronómicos islámicos tardíos que tienen una sorprendente similitud con los modelos del De revolutionibus de Nicolás Copérnico , incluido su modelo de Mercurio y su teoría de la trepidación . Los historiadores sospechan que Copérnico u otro autor europeo tuvieron acceso a un texto astronómico árabe, pero aún no se ha identificado una cadena exacta de transmisión, [10] Se ha sugerido al científico y viajero del siglo XVI Guillaume Postel como un posible facilitador. [11] [12]
Dado que Copérnico utilizó el par de Tusi en su reformulación de la astronomía matemática, existe un creciente consenso sobre la idea de que de alguna manera se dio cuenta de esta idea. Se ha sugerido [13] [14] que la idea del par de Tusi puede haber llegado a Europa dejando pocos rastros manuscritos, ya que podría haber ocurrido sin la traducción de ningún texto árabe al latín. Una posible vía de transmisión puede haber sido a través de la ciencia bizantina ; Gregorio Chioniades tradujo algunas de las obras de al-Tusi del árabe al griego bizantino . Varios manuscritos griegos bizantinos que contienen el par de Tusi todavía existen en Italia. [15] Otra posibilidad es que se encontrara con el manuscrito del "Enderezamiento de las curvas" (Sefer Meyasher 'Aqov) mientras estudiaba en Italia. [16]
Existen otras fuentes que respaldan este modelo matemático para convertir los movimientos circulares en movimientos lineales alternativos. Se encuentra en el Comentario de Proclo al Primer Libro de Euclides [17] y el concepto era conocido en París a mediados del siglo XIV. En sus Questiones on the Sphere (escritas antes de 1362), Nicole Oresme describió cómo combinar movimientos circulares para producir un movimiento lineal alternativo de un planeta a lo largo del radio de su epiciclo. La descripción de Oresme no es clara y no es seguro si representa una invención independiente o un intento de abordar un texto árabe poco comprendido. [18]
Ejemplos posteriores
Aunque el par de Tusi se desarrolló dentro de un contexto astronómico, matemáticos e ingenieros posteriores desarrollaron versiones similares de lo que se denominó mecanismos de línea recta hipocicloide . El matemático Gerolamo Cardano diseñó un sistema conocido como movimiento de Cardan (también conocido como engranaje de Cardan ). [19] Los ingenieros del siglo XIX James White, [20] Matthew Murray , [21] así como diseñadores posteriores, desarrollaron aplicaciones prácticas del mecanismo de línea recta hipocicloide.
Modificación de Goodman del par Tusi, utilizando 3 engranajes rectos
Una versión práctica y mecánicamente sencilla del par Tusi, que evita el uso de un engranaje de borde externo, fue desarrollada en 2021 por John Goodman para proporcionar un movimiento lineal. [22] [ verificación fallida ] [ dudoso – discutir ] Utiliza 3 engranajes rectos estándar. Un brazo giratorio (azul) está montado en un eje central, al que está montado un engranaje fijo (amarillo). Un engranaje loco (rojo) en el brazo engrana con el engranaje fijo. Un tercer engranaje (verde) engrana con el loco. El tercer engranaje tiene la mitad del número de dientes del engranaje fijo. Un brazo (naranja) está fijado al tercer engranaje. Si la longitud del brazo es igual a la distancia entre los engranajes fijo y exterior = d, el brazo describirá una línea recta de recorrido = 2d. Una ventaja de este diseño es que, si se utilizan engranajes de módulo estándar que no proporcionan el recorrido requerido, el engranaje loco no tiene que ser colineal con los otros dos engranajes.
Una propiedad del par de Tusi es que los puntos del círculo interior que no están en la circunferencia trazan elipses . Estas elipses, y la línea recta trazada por el par de Tusi clásico, son casos especiales de hipotrocoides . [23]
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Referencias
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Ragep, FJ "Las dos versiones de la pareja Tusi", en From Deferent to Equant: A Volume of Studies in the History of Science in Ancient and Medieval Near East in Honor of ES Kennedy , ed. David King y George Saliba, Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York, 500. Academia de Ciencias de Nueva York, 1987. ISBN 0-89766-396-9 (pbk.)
Ragep, FJ "Memorias sobre astronomía" de Nasir al-Din al-Tusi, Fuentes en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, 12, 2 vols. Berlín/Nueva York: Springer, 1993. ISBN 3-540-94051-0 / ISBN 0-387-94051-0 .
Enlaces externos
Dennis W. Duke, Ancient Planetary Model Animations incluye dos enlaces de interés:
Una pareja Tusi interactiva
Modelos árabes para reemplazar la ecuación
George Saliba, "¿De quién es la ciencia árabe en la Europa del Renacimiento?", analiza el modelo de Nasir al-Din al-Tusi y las interacciones entre astrónomos árabes, griegos y latinos.
