Teoría de Morse

Analiza la topología de una variedad estudiando funciones diferenciables en esa variedad.

En matemáticas , específicamente en topología diferencial , la teoría de Morse permite analizar la topología de una variedad mediante el estudio de funciones diferenciables en esa variedad. Según los conceptos básicos de Marston Morse , una función diferenciable típica en una variedad reflejará la topología de manera bastante directa. La teoría de Morse permite encontrar estructuras CW y manejar descomposiciones en variedades y obtener información sustancial sobre su homología .

Antes de Morse, Arthur Cayley y James Clerk Maxwell habían desarrollado algunas de las ideas de la teoría de Morse en el contexto de la topografía . Morse aplicó originalmente su teoría a las geodésicas ( puntos críticos de la energía funcional en el espacio de trayectorias). Estas técnicas se utilizaron en la prueba de Raoul Bott de su teorema de periodicidad .

El análogo de la teoría de Morse para variedades complejas es la teoría de Picard-Lefschetz .

Conceptos básicos

Un punto de silla de montar

Para ilustrarlo, considere una superficie de paisaje montañoso (más generalmente, una variedad ). Si es la función que da la elevación de cada punto, entonces la imagen inversa de un punto en es una línea de contorno (más generalmente, un conjunto de niveles ). Cada componente conectado de una línea de contorno es un punto, una curva cerrada simple o una curva cerrada con un punto doble . Las líneas de contorno también pueden tener puntos de orden superior (puntos triples, etc.), pero estos son inestables y pueden eliminarse por una ligera deformación del paisaje. Los puntos dobles en las líneas de contorno ocurren en los puntos de silla o pasos, donde el paisaje circundante se curva hacia arriba en una dirección y hacia abajo en la otra. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Líneas de contorno alrededor de un punto de silla de montar

Imaginemos que inundamos este paisaje con agua. Cuando el agua alcanza una altura , la superficie submarina es , los puntos con una altura o por debajo. Consideremos cómo cambia la topología de esta superficie a medida que el agua sube. Parece inalterada excepto cuando pasa la altura de un punto crítico , donde el gradiente de es (de manera más general, la matriz jacobiana que actúa como una función lineal entre espacios tangentes no tiene rango máximo ). En otras palabras, la topología de no cambia excepto cuando el agua (1) comienza a llenar una cuenca, (2) cubre una silla de montar (un paso de montaña ), o (3) sumerge un pico. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle M^{a}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,f^{-1}(-\infty ,a]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M^{a}}$

El toro

A estos tres tipos de puntos críticos —cuencas, pasos y picos (es decir, mínimos, sillas y máximos)— se les asocia un número llamado índice, el número de direcciones independientes en las que decrece a partir del punto. Más precisamente, el índice de un punto crítico no degenerado de es la dimensión del subespacio más grande del espacio tangente a en el que la hessiana de es definida negativa. Los índices de cuencas, pasos y picos son y respectivamente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0,1,}$ ${\displaystyle 2,}$

Considerando una superficie más general, supongamos que se trata de un toro orientado como en la figura, y que nuevamente se toma un punto a su altura sobre el plano. Se puede analizar nuevamente cómo cambia la topología de la superficie submarina a medida que aumenta el nivel del agua . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$

Un cilindro (arriba a la derecha), formado por cuando , es homotópicamente equivalente a una 1-célula unida a un disco (abajo a la izquierda). ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle f(q)<a<f(r)}$

Un toro con un disco eliminado (arriba a la derecha), formado por cuando , es homotópicamente equivalente a una 1-celda unida a un cilindro (abajo a la izquierda). ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle f(r)<a<f(s)}$

Partiendo de la base del toro, sean y los cuatro puntos críticos de índice y correspondientes a la cuenca, dos sillas y pico, respectivamente. Cuando es menor que entonces es el conjunto vacío. Después pasa el nivel de cuando entonces es un disco , que es homotópicamente equivalente a un punto (una celda 0) que ha sido "adherido" al conjunto vacío. A continuación, cuando excede el nivel de y entonces es un cilindro, y es homotópicamente equivalente a un disco con una celda 1 adherida (imagen de la izquierda). Una vez pasa el nivel de y entonces es un toro con un disco removido, que es homotópicamente equivalente a un cilindro con una celda 1 adherida (imagen de la derecha). Finalmente, cuando es mayor que el nivel crítico de es un toro, es decir, un toro con un disco (una celda 2) removido y vuelto a adherir. ${\displaystyle p,q,r,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 0,1,1,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(p)=0,}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle 0<a<f(q),}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle f(q)<a<f(r),}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle f(r)<a<f(s),}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle M^{a}}$

Esto ilustra la siguiente regla: la topología de no cambia excepto cuando pasa la altura de un punto crítico; en este punto, una celda se adjunta a , donde es el índice del punto. Esto no aborda lo que sucede cuando dos puntos críticos están a la misma altura, lo que se puede resolver mediante una ligera perturbación de En el caso de un paisaje o una variedad incrustada en el espacio euclidiano , esta perturbación podría simplemente inclinar ligeramente, rotando el sistema de coordenadas. ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f.}$

Hay que tener cuidado de que los puntos críticos no sean degenerados. Para ver qué puede plantear un problema, sean y sean Entonces es un punto crítico de pero la topología de no cambia cuando pasa El problema es que la segunda derivada es —es decir, la hessiana de se anula y el punto crítico es degenerado. Esta situación es inestable, ya que al deformar ligeramente a , el punto crítico degenerado se elimina ( ) o se divide en dos puntos críticos no degenerados ( ). ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f''(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}+\epsilon x}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \epsilon <0}$

Desarrollo formal

Para una función suave de valores reales en una variedad diferenciable, los puntos donde la diferencial de se anula se denominan puntos críticos de y sus imágenes bajo se denominan valores críticos . Si en un punto crítico la matriz de derivadas parciales segundas (la matriz hessiana ) no es singular, entonces se denomina ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$punto crítico no degenerado ; si el hessiano es singular entonceses un ${\displaystyle p}$punto crítico degenerado .

Para las funciones de a tiene un punto crítico en el origen si que es no degenerado si (es decir, tiene la forma ) y degenerado si (es decir, tiene la forma ). Un ejemplo menos trivial de un punto crítico degenerado es el origen de la silla de montar del mono . $${\displaystyle f(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\cdots }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b=0,}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+cx^{2}+\cdots }$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+dx^{3}+\cdots }$

El índice de un punto crítico no degenerado de es la dimensión del subespacio más grande del espacio tangente a en el que la hessiana es definida negativa . Esto corresponde a la noción intuitiva de que el índice es el número de direcciones en las que decrece. La degeneración y el índice de un punto crítico son independientes de la elección del sistema de coordenadas local utilizado, como lo demuestra la Ley de Sylvester . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$

Lema de Morse

Sea un punto crítico no degenerado de Entonces existe una carta en un entorno de tal que para todos y a lo largo de Aquí es igual al índice de en . Como corolario del lema de Morse, se ve que los puntos críticos no degenerados son aislados . (Con respecto a una extensión al dominio complejo, véase Lema de Morse complejo . Para una generalización, véase Lema de Morse-Palais ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f:M\to R.}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{i}(p)=0}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle f(x)=f(p)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\gamma }^{2}+x_{\gamma +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

Teoremas fundamentales

Una función de valor real suave en una variedad es una función de Morse si no tiene puntos críticos degenerados. Un resultado básico de la teoría de Morse dice que casi todas las funciones son funciones de Morse. Técnicamente, las funciones de Morse forman un subconjunto abierto y denso de todas las funciones suaves en la topología. Esto a veces se expresa como "una función típica es Morse" o "una función genérica es Morse". ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{2}}$

Como se indicó anteriormente, nos interesa la cuestión de cuándo cambia la topología a medida que varía. La mitad de la respuesta a esta pregunta la da el siguiente teorema. ${\displaystyle M^{a}=f^{-1}(-\infty ,a]}$ ${\displaystyle a}$

Teorema. Supongamos que es una función suave de valor real en es compacta y no hay valores críticos entre y Entonces es difeomorfa a y la deformación se retrae sobre ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle a<b,}$ ${\displaystyle f^{-1}[a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle M^{b},}$ ${\displaystyle M^{b}}$ ${\displaystyle M^{a}.}$

También es interesante saber cómo cambia la topología cuando pasa por un punto crítico. El siguiente teorema responde a esa pregunta. ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$

Teorema. Supóngase que es una función real suave en y es un punto crítico no degenerado de de índice y que Supóngase que es compacto y no contiene puntos críticos además de Entonces la homotopía es equivalente a con una celda adjunta. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle f(p)=q.}$ ${\displaystyle f^{-1}[q-\varepsilon ,q+\varepsilon ]}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle M^{q+\varepsilon }}$ ${\displaystyle M^{q-\varepsilon }}$ ${\displaystyle \gamma }$

Estos resultados generalizan y formalizan la “regla” enunciada en la sección anterior.

Utilizando los dos resultados anteriores y el hecho de que existe una función Morse en cualquier variedad diferenciable, se puede demostrar que cualquier variedad diferenciable es un complejo CW con una celda para cada punto crítico de índice. Para hacer esto, se necesita el hecho técnico de que se puede disponer para tener un único punto crítico en cada nivel crítico, lo que generalmente se demuestra utilizando campos vectoriales tipo gradiente para reorganizar los puntos críticos. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n.}$

Desigualdades de Morse

La teoría de Morse se puede utilizar para demostrar algunos resultados sólidos sobre la homología de variedades. El número de puntos críticos del índice de es igual al número de celdas en la estructura CW en obtenida a partir de "escalada". Usando el hecho de que la suma alternada de los rangos de los grupos de homología de un espacio topológico es igual a la suma alternada de los rangos de los grupos de cadena a partir de los cuales se calcula la homología, entonces al usar los grupos de cadena celulares (ver homología celular ) está claro que la característica de Euler es igual a la suma donde es el número de puntos críticos del índice. También por homología celular, el rango del ^º grupo de homología de un complejo CW es menor o igual que el número de -celdas en Por lo tanto, el rango del ^º grupo de homología, es decir, el número de Betti , es menor o igual que el número de puntos críticos del índice de una función Morse en Estos hechos se pueden reforzar para obtener el ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle \chi (M)}$ $${\displaystyle \sum (-1)^{\gamma }C^{\gamma }\,=\chi (M)}$$ ${\displaystyle C^{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle b_{\gamma }(M)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M.}$Desigualdades de Morse : $${\displaystyle C^{\gamma }-C^{\gamma -1}\pm \cdots +(-1)^{\gamma }C^{0}\geq b_{\gamma }(M)-b_{\gamma -1}(M)\pm \cdots +(-1)^{\gamma }b_{0}(M).}$$

En particular, para cualquiera que tenga $${\displaystyle \gamma \in \{0,\ldots ,n=\dim M\},}$$ $${\displaystyle C^{\gamma }\geq b_{\gamma }(M).}$$

Esto proporciona una herramienta poderosa para estudiar la topología de variedades. Supongamos que en una variedad cerrada existe una función de Morse con precisamente k puntos críticos. ¿De qué manera la existencia de la función restringe ? El caso fue estudiado por Georges Reeb en 1952; el teorema de esfera de Reeb establece que es homeomorfo a una esfera El caso es posible solo en un pequeño número de dimensiones bajas, y M es homeomorfo a una variedad de Eells-Kuiper . En 1982, Edward Witten desarrolló un enfoque analítico para las desigualdades de Morse al considerar el complejo de De Rham para el operador perturbado ^{[1] [2]} ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{n}.}$ ${\displaystyle k=3}$ ${\displaystyle d_{t}=e^{-tf}de^{tf}.}$

Aplicación a la clasificación de 2-variedades cerradas

La teoría de Morse se ha utilizado para clasificar las 2-variedades cerradas hasta el difeomorfismo. Si está orientada, entonces se clasifica por su género y es difeomorfa con respecto a una esfera con asas: por lo tanto, si es difeomorfa con respecto a la 2-esfera; y si es difeomorfa con respecto a la suma conexa de 2-toros. Si no es orientable, se clasifica por un número y es difeomorfa con respecto a la suma conexa de espacios proyectivos reales . En particular, dos 2-variedades cerradas son homeomorfas si y solo si son difeomorfas. ^{[3] [4]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=0,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g>0,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g>0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}.}$

Homología de Morse

La homología de Morse es una forma particularmente fácil de entender la homología de variedades suaves . Se define utilizando una elección genérica de función de Morse y métrica de Riemann . El teorema básico es que la homología resultante es un invariante de la variedad (es decir, independiente de la función y la métrica) e isomorfa a la homología singular de la variedad; esto implica que los números de Morse y los números de Betti singulares concuerdan y dan una prueba inmediata de las desigualdades de Morse. Un análogo de dimensión infinita de la homología de Morse en geometría simpléctica se conoce como homología de Floer .

Teoría de Morse-Bott

La noción de función Morse se puede generalizar para considerar funciones que tienen variedades no degeneradas de puntos críticos.La función Morse-Bott es una función suave en una variedad cuyo conjunto crítico es una subvariedad cerrada y cuyo hessiano no es degenerado en la dirección normal. (Equivalentemente, el núcleo del hessiano en un punto crítico es igual al espacio tangente a la subvariedad crítica). Una función Morse es el caso especial donde las variedades críticas son de dimensión cero (por lo que el hessiano en los puntos críticos no es degenerado en ninguna dirección, es decir, no tiene núcleo).

El índice se considera más naturalmente como un par donde es la dimensión de la variedad inestable en un punto dado de la variedad crítica, y es igual a más la dimensión de la variedad crítica. Si la función de Morse-Bott es perturbada por una función pequeña en el lugar geométrico crítico, el índice de todos los puntos críticos de la función perturbada en una variedad crítica de la función no perturbada estará entre y $${\displaystyle \left(i_{-},i_{+}\right),}$$ ${\displaystyle i_{-}}$ ${\displaystyle i_{+}}$ ${\displaystyle i_{-}}$ ${\displaystyle i_{-}}$ ${\displaystyle i_{+}.}$

Las funciones de Morse-Bott son útiles porque es difícil trabajar con funciones de Morse genéricas; las funciones que se pueden visualizar y calcular fácilmente suelen tener simetrías. A menudo conducen a variedades críticas de dimensión positiva. Raoul Bott utilizó la teoría de Morse-Bott en su prueba original del teorema de periodicidad de Bott .

Las funciones redondas son ejemplos de funciones Morse-Bott, donde los conjuntos críticos son (uniones disjuntas de) círculos.

La homología de Morse también se puede formular para funciones de Morse-Bott; la diferencial en la homología de Morse-Bott se calcula mediante una secuencia espectral . Frederic Bourgeois esbozó un enfoque en el curso de su trabajo sobre una versión de Morse-Bott de la teoría de campos simpléctica, pero este trabajo nunca se publicó debido a importantes dificultades analíticas.

Véase también

• Teoría mín-máx de Almgren-Pitts
• Teoría Morse digital  : adaptación digital de la teoría Morse continua para datos de volumen escalar
• Teoría de Morse discreta
• Conjunto de Jacobi
• Grassmanniano lagrangiano  : espacio de subespacios lagrangianos de un espacio vectorial simpléctico fijoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Categoría de Lusternik-Schnirelmann  : invariante de homotopía de valores enteros de espacios; el tamaño de la cubierta abierta mínima que consiste en conjuntos contráctilesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Sistema Morse-Smale  : sistema dinámico suave cuyo conjunto no errante consta de un número finito de puntos de equilibrio hiperbólico y órbitas periódicas hiperbólicas y que satisface una condición de transversalidad en las variedades estables e inestables.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teorema del paso de montaña  : teorema matemático sobre una condición suficiente para la existencia de un punto de sillaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Lema de Sard  – Teorema en análisis matemáticoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teoría de Morse estratificada

Referencias

1. Witten, Edward (1982). "Supersimetría y teoría de Morse". J. Differential Geom. 17 (4): 661–692. doi : 10.4310/jdg/1214437492 .
2. Roe, John (1998). Operadores elípticos, topología y método asintótico . Pitman Research Notes in Mathematics Series. Vol. 395 (2.ª ed.). Longman. ISBN 0582325021.
3. Gauld, David B. (1982). Topología diferencial: una introducción . Monografías y libros de texto de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 72. Marcel Dekker. ISBN 0824717090.
4. Shastri, Anant R. (2011). Elementos de topología diferencial. CRC Press. ISBN 9781439831601.

Lectura adicional

• Bott, Raoul (1988). "Teoría de Morse indomable". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 68 : 99-114. doi :10.1007/bf02698544. S2CID  54005577.
• Bott, Raoul (1982). "Conferencias sobre la teoría de Morse, antigua y nueva". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . (NS). 7 (2): 331–358. doi : 10.1090/s0273-0979-1982-15038-8 .
• Cayley, Arthur (1859). "Sobre curvas de nivel y pendientes" (PDF) . The Philosophical Magazine . 18 (120): 264–268.
• Guest, Martin (2001). "La teoría de Morse en los años 1990". arXiv : math/0104155 .
• Hirsch, M. (1994). Topología diferencial (2.ª ed.). Springer.
• Kosinski, Antoni A. (19 de octubre de 2007). Variedades diferenciales . Dover Book on Mathematics (reimpresión de la edición de 1993). Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.OCLC 853621933  .
• Lang, Serge (1999). Fundamentos de geometría diferencial . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 191. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-98593-0.OCLC 39379395  .
• Matsumoto, Yukio (2002). Introducción a la teoría Morse .
• Maxwell, James Clerk (1870). "Sobre colinas y valles" (PDF) . The Philosophical Magazine . 40 (269): 421–427.
• Milnor, John (1963). Teoría de Morse . Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9.Una referencia clásica avanzada en matemáticas y física matemática.
• Milnor, John (1965). Lecciones sobre el teorema del h-cobordismo (PDF) .
• Morse, Marston (1934). El cálculo de variaciones en las grandes ecuaciones . Publicación del coloquio de la American Mathematical Society. Vol. 18. Nueva York.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Schwarz, Matías (1993). Homología Morse . Birkhäuser. ISBN 9780817629045.