Ecuación de Monge-Ampère

Ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden de tipo especial

En matemáticas , una ecuación de Monge-Ampère (real) es una ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden de tipo especial. Una ecuación de segundo orden para la función desconocida u de dos variables x , y es de tipo Monge-Ampère si es lineal en el determinante de la matriz hessiana de u y en las derivadas parciales de segundo orden de u . Las variables independientes ( x , y ) varían en un dominio dado D de R ² . El término también se aplica a ecuaciones análogas con n variables independientes. Los resultados más completos hasta ahora se han obtenido cuando la ecuación es elíptica .

Las ecuaciones de Monge-Ampère surgen con frecuencia en geometría diferencial , por ejemplo, en los problemas de Weyl y Minkowski en geometría diferencial de superficies . Fueron estudiadas por primera vez por Gaspard Monge en 1784 ^[1] y luego por André-Marie Ampère en 1820. ^[2] Sergei Bernstein , Aleksei Pogorelov , Charles Fefferman y Louis Nirenberg obtuvieron resultados importantes en la teoría de las ecuaciones de Monge-Ampère . Más recientemente, Alessio Figalli y Luis Caffarelli fueron reconocidos por su trabajo sobre la regularidad de la ecuación de Monge-Ampère, y el primero ganó la Medalla Fields en 2018 y el segundo el Premio Abel en 2023. ^{[3] [4]}

Descripción

Dadas dos variables independientes x e y , y una variable dependiente u , la ecuación general de Monge-Ampère tiene la forma

${\displaystyle L[u]=A\,{\text{det}}(\nabla ^{2}u)+B\Delta u+2Cu_{xy}+(D-B)u_{yy}+E=A(u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^{2})+Bu_{xx}+2Cu_{xy}+Du_{yy}+E=0,}$

donde A , B , C , D y E son funciones que dependen únicamente de las variables de primer orden x , y , u , u _x y u _{y .}

Teorema de Rellich

Sea Ω un dominio acotado en R ³ y supongamos que en Ω A , B , C , D y E son funciones continuas de x e y únicamente. Consideremos el problema de Dirichlet para hallar u de modo que

${\displaystyle L[u]=0,\quad {\text{on}}\ \Omega }$

${\displaystyle u|_{\partial \Omega }=g.}$

Si

${\displaystyle BD-C^{2}-AE>0,}$

Entonces el problema de Dirichlet tiene como máximo dos soluciones. ^[5]

Resultados de elipticidad

Supongamos ahora que x es una variable con valores en un dominio en R ⁿ , y que f ( x , u , Du ) es una función positiva. Entonces la ecuación de Monge-Ampère

${\displaystyle L[u]=\det D^{2}u-f(\mathbf {x} ,u,Du)=0\qquad \qquad (1)}$

es una ecuación diferencial parcial elíptica no lineal (en el sentido de que su linealización es elíptica), siempre que se limite la atención a las soluciones convexas .

En consecuencia, el operador L satisface versiones del principio de máximo y, en particular, las soluciones al problema de Dirichlet son únicas, siempre que existan. ^{[ cita requerida ]}

Aplicaciones

Las ecuaciones de Monge-Ampère surgen de forma natural en varios problemas de geometría de Riemann , geometría conforme y geometría CR . Una de las aplicaciones más simples es el problema de la curvatura de Gauss prescrita . ^[6] Supongamos que se especifica una función de valor real K en un dominio Ω en R ⁿ , el problema de la curvatura de Gauss prescrita busca identificar una hipersuperficie de R ^{n +1} como un grafo z = u ( x ) sobre x ∈ Ω de modo que en cada punto de la superficie la curvatura de Gauss esté dada por K ( x ). La ecuación diferencial parcial resultante es

${\displaystyle \det D^{2}u-K(\mathbf {x} )(1+|Du|^{2})^{(n+2)/2}=0.}$

Las ecuaciones de Monge-Ampère están relacionadas con el problema de transporte de masa óptimo de Monge-Kantorovich , cuando el "funcional de costo" en el mismo está dado por la distancia euclidiana. ^[7]

Véase también

• Lista de ecuaciones diferenciales parciales no lineales
• Ecuación compleja de Monge-Ampère

Referencias

1. Monge, Gaspard (1784). "Mémoire sur le calcul intégral des équations aux différences partielles". Mémoires de l'Académie des Sciences . París, Francia: Imprimerie Royale. págs. 118-192.
2. Ampère, André-Marie (1819). Memoria contenida en la aplicación de la teoría expuesta en el XVII. e Cahier du Journal de l'École Polytechnique, à l'intégration des équations aux différentielles partielles du premier et du second ordre. París: De l'Imprimerie royale . Consultado el 29 de junio de 2017 .
3. "Cita larga de Figalli" (PDF) . Medallas Fields 2018 . Unión Matemática Internacional .
4. De Ambrosio, Martín. "A nivel de los grandes del siglo: Luis Caffarelli, el Messi de la matemática que ganó el equivalente al Nobel de la disciplina". LA NACIÓN . LA NACIÓN . Consultado el 22 de marzo de 2023 .
5. Courant y Hilbert 1962, pág. 324.
6. Gilbarg y Trudinger 2001.
7. Villani 2003; Villani 2009.

Referencias adicionales

• Aubin, Thierry (1998). Algunos problemas no lineales en geometría de Riemann . Springer Monographs in Mathematics. Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-662-13006-3. ISBN . 3-540-60752-8.MR  1636569.Zbl 0896.53003  .​
• Courant, R. ; Hilbert, D. (1962). Métodos de física matemática. Volumen II: Ecuaciones diferenciales parciales . Nueva York–Londres: Interscience Publishers . doi :10.1002/9783527617234. ISBN 9780471504399.MR  0140802.Zbl 0099.29504  .​
• Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Classics in Mathematics (Reimpresión de la edición de 1998). Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-61798-0. ISBN 3-540-41160-7.MR  1814364.Zbl 1042.35002  .​
• Spivak, Michael (1999). Introducción completa a la geometría diferencial: volumen cinco (tercera edición de la edición original de 1975). Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-74-8.MR  0532834.Zbl 1213.53001  .​
• Villani, Cédric (2003). Temas de transporte óptimo . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 58. Providence, RI: American Mathematical Society . doi :10.1090/gsm/058. ISBN. 0-8218-3312-X.MR 1964483.Zbl 1106.90001  . ​
• Villani, Cédric (2009). Transporte óptimo. Viejo y nuevo . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 338. Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-71050-9. ISBN 978-3-540-71049-3. Sr.  2459454. Zbl  1156.53003.

Enlaces externos

• "Ecuación de Monge-Ampère", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial de Monge-Ampère". MathWorld .