Función elíptica de Weierstrass

Clase de funciones matemáticas

En matemáticas , las funciones elípticas de Weierstrass son funciones elípticas que adoptan una forma particularmente simple. Llevan el nombre de Karl Weierstrass . Esta clase de funciones también se conoce como funciones ℘ y generalmente se indican con el símbolo ℘, una escritura singularmente elegante p . Desempeñan un papel importante en la teoría de las funciones elípticas, es decir, funciones meromórficas que son doblemente periódicas . Una función ℘ junto con su derivada se puede utilizar para parametrizar curvas elípticas y generan el campo de funciones elípticas con respecto a una red de período determinada.

Símbolo de la función Weierstrass ${\displaystyle \wp }$

Modelo de Weierstrass -función ${\displaystyle \wp }$

Motivación

Una cúbica de la forma , donde hay números complejos con , no puede parametrizarse racionalmente . ^[1] Sin embargo, uno todavía quiere encontrar una manera de parametrizarlo. ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}}$ ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$

Para el cuádrico ; En el círculo unitario , existe una parametrización (no racional) utilizando la función seno y su derivada, la función coseno: debido a la periodicidad del seno y el coseno se elige como dominio, por lo que la función es biyectiva. ${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$ $${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

De manera similar se puede parametrizar mediante la función doblemente periódica (ver en la sección "Relación con curvas elípticas"). Esta parametrización tiene el dominio , que topológicamente es equivalente a un toro . ^[2] ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Hay otra analogía con las funciones trigonométricas. Considere la función integral. Se puede simplificar sustituyendo y : Eso significa . Entonces la función seno es una función inversa de una función integral. ^[3] $${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}$$ ${\displaystyle y=\sin t}$ ${\displaystyle s=\arcsin x}$ $${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.}$$ ${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}$

Las funciones elípticas son funciones inversas de las integrales elípticas . En particular, sea: Entonces la extensión de al plano complejo es igual a la función -. ^[4] Esta invertibilidad se utiliza en análisis complejos para proporcionar una solución a ciertas ecuaciones diferenciales no lineales que satisfacen la propiedad de Painlevé , es decir, aquellas ecuaciones que admiten polos como sus únicas singularidades móviles . ^[5] $${\displaystyle u(z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$$ ${\displaystyle u^{-1}}$ ${\displaystyle \wp }$

Definición

Visualización de la función -con invariantes y en la que el blanco corresponde a un polo, el negro a un cero. ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle g_{2}=1+i}$ ${\displaystyle g_{3}=2-3i}$

Sean dos números complejos que son linealmente independientes y sea la red de período generada por esos números. Entonces la función se define de la siguiente manera: ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

Esta serie converge localmente de manera uniforme y absoluta en el toro complejo . ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

Es común utilizar y en el semiplano superior como generadores de la red . Dividiendo por asigna la red isomórficamente a la red con . Porque se puede sustituir , sin pérdida de generalidad, podemos asumir y luego definir . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$ ${\textstyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$ ${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ ${\displaystyle -\tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$

Propiedades

• ${\displaystyle \wp }$es una función meromórfica con un polo de orden 2 en cada período en . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$
• ${\displaystyle \wp }$es una función par. Eso significa para todos , lo cual se puede ver de la siguiente manera: ${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}}$

La penúltima igualdad se cumple porque . Dado que la suma converge absolutamente, este reordenamiento no cambia el límite. ${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$

• La derivada de viene dada por: ^[6] ${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.}$$
• ${\displaystyle \wp }$y son doblemente periódicos con los periodos y . ^[6] Esto significa: Se sigue eso y para todos . ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$ ${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$ ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$

expansión de Laurent

Dejar . Entonces, la función -tiene la siguiente expansión de Laurent , donde se llaman series de Eisenstein . ^[6] ${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$ ${\displaystyle 0<|z|<r}$ ${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$$ $${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Ecuación diferencial

Establecer y . Entonces la función satisface la ecuación diferencial ^[6]. Esta relación se puede verificar formando una combinación lineal de potencias de y para eliminar el polo en . Esto produce una función elíptica completa que debe ser constante según el teorema de Liouville . ^[6] ${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$ ${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$ ${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle z=0}$

Invariantes

La parte real del invariante g ₃ en función del cuadrado del nomo q en el disco unitario.

La parte imaginaria del invariante g ₃ en función del cuadrado del nombre q en el disco unitario.

Los coeficientes de la ecuación diferencial anterior g ₂ y g ₃ se conocen como invariantes . Debido a que dependen de la red, pueden verse como funciones en y . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

La expansión en serie sugiere que g ₂ y g ₃ son funciones homogéneas de grado −4 y −6. Eso es ^[7] para . $${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$$ $${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$

Si y se eligen de tal manera que g 2 _y g 3 _puedan interpretarse como funciones en el semiplano superior . ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

Dejar . Uno tiene: ^[8] Eso significa que g ₂ y g ₃ solo se escalan haciendo esto. Las funciones Set y As de se denominan formas modulares. ${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ $${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),}$$ $${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$$ $${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$$ $${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).}$$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle g_{2},g_{3}}$

Las series de Fourier para y se dan de la siguiente manera: ^[9] donde es la función divisora ​​y es el nomo . ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}}$ $${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$$ $${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$$ $${\displaystyle \sigma _{a}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{\alpha }}$$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

discriminante modular

La parte real del discriminante en función del cuadrado del nombre q en el disco unitario.

El discriminante modular Δ se define como el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación diferencial anterior: El discriminante es una forma modular de peso 12. Es decir, bajo la acción del grupo modular , se transforma como donde con anuncio  −  antes de Cristo = 1. ^[10] $${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$$ $${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$$ ${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$

Tenga en cuenta que ¿ dónde está la función Dedekind eta ? ^[11] ${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$ ${\displaystyle \eta }$

Para conocer los coeficientes de Fourier , consulte Función tau de Ramanujan . ${\displaystyle \Delta }$

las constantesmi1,mi2ymi3

${\displaystyle e_{1}}$, y generalmente se utilizan para indicar los valores de la función en los semiperíodos. Son distintos por pares y solo dependen de la red y no de sus generadores. ^[12] ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle e_{1}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle e_{2}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle e_{3}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle e_{1}}$, y son las raíces del polinomio cúbico y están relacionadas por la ecuación: Debido a que esas raíces son distintas, el discriminante no desaparece en el semiplano superior. ^[13] Ahora podemos reescribir la ecuación diferencial: Eso significa que los semiperíodos son ceros de . ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$ $${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.}$$ ${\displaystyle \Delta }$ $${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3}).}$$ ${\displaystyle \wp '}$

Las invariantes y se pueden expresar en términos de estas constantes de la siguiente manera: ^[14] , y están relacionadas con la función lambda modular : ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}}$ $${\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})}$$ $${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ $${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}},\quad \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}.}$$

Relación con las funciones elípticas de Jacobi

Para trabajos numéricos, suele ser conveniente calcular la función elíptica de Weierstrass en términos de las funciones elípticas de Jacobi .

Las relaciones básicas son: ^[15] donde y son las tres raíces descritas anteriormente y donde el módulo k de las funciones de Jacobi es igual y su argumento w es igual $${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$$ ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ $${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$$ $${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$$

Relación con las funciones theta de Jacobi

La función se puede representar mediante las funciones theta de Jacobi : donde es el nomo y es la relación del período . ^[16] Esto también proporciona un algoritmo muy rápido para la computación . ${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})}$ $${\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)}$$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\tau \in \mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \wp (z,\tau )}$

Relación con curvas elípticas

Considere la incrustación de la curva cúbica en el plano proyectivo complejo.

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \{\infty \}=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).}$

Para esta cúbica no existe parametrización racional, si . ^[1] En este caso también se le llama curva elíptica. Sin embargo existe una parametrización en coordenadas homogéneas que utiliza la función -y su derivada : ^[17] ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \wp '}$

${\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}}$

Ahora el mapa es biyectivo y parametriza la curva elíptica . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$es un grupo abeliano y un espacio topológico , equipado con la topología del cociente .

Se puede demostrar que cada cúbica de Weierstrass está dada de esa manera. Es decir que por cada par existe una red tal que ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$y . ^[18] ${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$

La afirmación de que las curvas elípticas pueden parametrizarse se conoce como teorema de modularidad . Este es un teorema importante en la teoría de números . Fue parte de la demostración de Andrew Wiles (1995) del último teorema de Fermat . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Teoremas de suma

Vamos , para que . Entonces se tiene: ^[19] ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z,w,z+w,z-w\notin \Lambda }$ $${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w).}$$

Así como la fórmula de duplicación: ^[19] $${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z).}$$

Estas fórmulas también tienen una interpretación geométrica, si se mira la curva elíptica junto con el mapeo como en la sección anterior. ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\varphi }:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

La estructura del grupo de se traduce en la curva y se puede interpretar geométricamente allí: ${\displaystyle (\mathbb {C} /\Lambda ,+)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

La suma de tres puntos diferentes por pares es cero si y sólo si se encuentran en la misma recta en . ^[20] ${\displaystyle a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$

Esto es equivalente a : donde y . ^[21] $${\displaystyle \det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0,}$$ ${\displaystyle \wp (u)=a}$ ${\displaystyle \wp (v)=b}$ ${\displaystyle u,v\notin \Lambda }$

Tipografía

La función elíptica de Weierstrass generalmente se escribe con una letra minúscula ℘ bastante especial, que fue la notación que el propio Weierstrass introdujo en sus conferencias de 1862-1863. ^{[nota al pie 1]}

En informática, la letra ℘ está disponible como \wpen TeX . En Unicode, el punto de código es U+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P ( ℘, ℘ ), con el alias más correcto de función elíptica weierstrass . ^{[nota al pie 2]} En HTML , se puede utilizar como escape .℘

Ver también

• Funciones de Weierstrass
• Funciones elípticas de Jacobi
• Funciones elípticas de lemniscata

Notas a pie de página

1. Este símbolo también se utilizó en la versión de las conferencias de Weierstrass publicadas por Schwarz en la década de 1880. La primera edición de Un curso de análisis moderno de ET Whittaker en 1902 también lo utilizó. ^[22]
2. El Consorcio Unicode ha reconocido dos problemas con el nombre de la letra: la letra es, de hecho, minúscula y no es una letra de clase "escrita", como U+1D4C5 𝓅 SCRIPT MATEMÁTICO SMALL P , sino la letra de la función elíptica de Weierstrass. Unicode agregó el alias como corrección. ^{[23] [24]}

Referencias

1. Hulek, Klaus. (2012), Elementare Algebraische Geometrie: Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen (en alemán) (2., überarb. u. erw. Aufl. 2012 ed.), Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, p. 8, ISBN 978-3-8348-2348-9
2. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 259, ISBN 978-3-540-32058-6
3. Jeremy Gray (2015), Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, p. 71, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 294, ISBN 978-3-540-32058-6
5. Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S. (2003). Variables complejas: introducción y aplicaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 185.doi :10.1017/cbo9780511791246 . ISBN 978-0-521-53429-1.
6. Apostol, Tom M. (1976), Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (en alemán), Nueva York: Springer-Verlag, p. 11, ISBN 0-387-90185-X
7. Apóstol, Tom M. (1976). Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números. Nueva York: Springer-Verlag. pag. 14.ISBN​ 0-387-90185-X. OCLC  2121639.
8. Apostol, Tom M. (1976), Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (en alemán), Nueva York: Springer-Verlag, p. 14, ISBN 0-387-90185-X
9. Apóstol, Tom M. (1990). Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 20.ISBN​ 0-387-97127-0. OCLC  20262861.
10. Apóstol, Tom M. (1976). Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números. Nueva York: Springer-Verlag. pag. 50.ISBN​ 0-387-90185-X. OCLC  2121639.
11. Chandrasekharan, K. (Komaravolu), 1920- (1985). Funciones elípticas. Berlín: Springer-Verlag. pag. 122.ISBN​ 0-387-15295-4. OCLC  12053023.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
12. Busam, Rolf (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 270, ISBN 978-3-540-32058-6
13. Apostol, Tom M. (1976), Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (en alemán), Nueva York: Springer-Verlag, p. 13, ISBN 0-387-90185-X
14. K. Chandrasekharan (1985), Funciones elípticas (en alemán), Berlín: Springer-Verlag, p. 33, ISBN 0-387-15295-4
15. Korn GA, Korn TM (1961). Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 721. LCCN  59014456.
16. Reinhardt, WP; Walker, PL (2010), "Funciones modulares y elípticas de Weierstrass", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
17. Hulek, Klaus. (2012), Elementare Algebraische Geometrie: Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen (en alemán) (2., überarb. u. erw. Aufl. 2012 ed.), Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, p. 12, ISBN 978-3-8348-2348-9
18. Hulek, Klaus. (2012), Elementare Algebraische Geometrie: Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen (en alemán) (2., überarb. u. erw. Aufl. 2012 ed.), Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, p. 111, ISBN 978-3-8348-2348-9
19. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 286, ISBN 978-3-540-32058-6
20. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 287, ISBN 978-3-540-32058-6
21. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 288, ISBN 978-3-540-32058-6
22. teika kazura (17 de agosto de 2017), ¿La letra ℘ Nombre y origen?, MathOverflow , consultado el 30 de agosto de 2018
23. "Anomalías conocidas en los nombres de caracteres Unicode". Nota técnica Unicode n.º 27 . versión 4. Unicode, Inc. 2017-04-10 . Consultado el 20 de julio de 2017 .
24. "NombreAliases-10.0.0.txt". Unicode, Inc. 2017-05-06 . Consultado el 20 de julio de 2017 .

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 18". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 627.ISBN​ 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
• NI Akhiezer , Elementos de la teoría de las funciones elípticas , (1970) Moscú, traducido al inglés como AMS Translations of Mathematical Monographs Volumen 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2 
• Tom M. Apostol , Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números, segunda edición (1990), Springer, Nueva York ISBN 0-387-97127-0 (consulte el capítulo 1). 
• K. Chandrasekharan, Funciones elípticas (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4 
• Konrad Knopp , Funktionentheorie II (1947), Publicaciones de Dover; Publicado nuevamente en traducción al inglés como Teoría de funciones (1996), Publicaciones de Dover ISBN 0-486-69219-1 
• Serge Lang , Funciones elípticas (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6 
• ET Whittaker y GN Watson , Un curso de análisis moderno , Cambridge University Press , 1952, capítulos 20 y 21

enlaces externos

• "Funciones elípticas de Weierstrass", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Funciones elípticas de Weierstrass en Mathworld.
• Capítulo 23, Funciones elípticas y modulares de Weierstrass en DLMF ( Biblioteca digital de funciones matemáticas ) por WP Reinhardt y PL Walker.
• Función P de Weierstrass y su derivada implementada en C por David Dumas