Mecánica cuántica estocástica

Interpretación de la mecánica cuántica

La mecánica estocástica es un marco para describir la dinámica de partículas que están sujetas a procesos aleatorios intrínsecos, así como a varias fuerzas externas. El marco proporciona una derivación de las ecuaciones de difusión asociadas a estas partículas estocásticas. Es más conocida por su derivación de la ecuación de Schrödinger como la ecuación de Kolmogorov para un cierto tipo de difusión conservadora (o unitaria), ^{[1] [2]} y para este propósito también se la conoce como mecánica cuántica estocástica .

La derivación puede basarse en la extremización de una acción en combinación con una prescripción de cuantificación . ^[2] Esta prescripción de cuantificación puede compararse con la cuantificación canónica y la formulación de la integral de trayectoria , y a menudo se la denomina cuantificación estocástica de Nelson o estocastización. ^[3] Como la teoría permite una derivación de la ecuación de Schrödinger, ha dado lugar a la interpretación estocástica de la mecánica cuántica. Esta interpretación ha servido como la principal motivación para desarrollar la teoría de la mecánica estocástica. ^[1]

La primera teoría estocástica relativamente coherente de la mecánica cuántica fue propuesta por el físico húngaro Imre Fényes . ^{[4] [5] [6] [7]} Louis de Broglie ^[8] se sintió obligado a incorporar un proceso estocástico subyacente a la mecánica cuántica para hacer que las partículas cambien de una onda piloto a otra. ^[7] La ​​teoría de la mecánica estocástica se atribuye a Edward Nelson , quien descubrió independientemente una derivación de la ecuación de Schrödinger dentro de este marco. ^{[1] [2]} Esta teoría también fue desarrollada por Davidson, Guerra , Ruggiero, Pavon y otros. ^[7]

Interpretación estocástica de la mecánica cuántica

La interpretación estocástica interpreta las trayectorias en la formulación de la integral de trayectorias de la mecánica cuántica como las trayectorias de muestra de un proceso estocástico . ^[9] Postula que las partículas cuánticas están localizadas en una de estas trayectorias, pero los observadores no pueden predecir con certeza dónde está localizada la partícula. La única forma de localizar la partícula es realizando una medición. Un observador solo puede predecir probabilidades para los resultados de dicha medición basándose en sus mediciones anteriores y su conocimiento sobre las fuerzas que actúan sobre la partícula.

Esta interpretación es bien conocida en el contexto de la mecánica estadística ^[9] y del movimiento browniano en particular. Por lo tanto, según la interpretación estocástica, la mecánica cuántica debería interpretarse de manera similar al movimiento browniano ^[1] . Sin embargo, en el caso del movimiento browniano, la existencia de una medida de probabilidad (llamada medida de Wiener ^[10] ) que define la integral de trayectoria estadística está bien establecida, y esta medida puede generarse mediante un proceso estocástico llamado proceso de Wiener ^[11] . Por otro lado, demostrar la existencia de una medida de probabilidad que defina la integral de trayectoria mecánica cuántica enfrenta dificultades ^{[12] [13]} y no está garantizado que dicha medida de probabilidad pueda generarse mediante un proceso estocástico. La mecánica estocástica es el marco que se ocupa de la construcción de dichos procesos estocásticos que generan una medida de probabilidad para la mecánica cuántica.

En el caso de un movimiento browniano , se sabe que las fluctuaciones estadísticas de una partícula browniana suelen estar inducidas por la interacción de la partícula con un gran número de partículas microscópicas. ^{[14] [15] [16] [17]} En este caso, la descripción de un movimiento browniano en términos del proceso de Wiener solo se utiliza como una aproximación, que descuida la dinámica de las partículas individuales en el fondo. En cambio, describe la influencia de estas partículas de fondo mediante su comportamiento estadístico.

La interpretación estocástica de la mecánica cuántica es agnóstica en cuanto al origen de las fluctuaciones cuánticas de una partícula cuántica. Introduce las fluctuaciones cuánticas como resultado de una nueva ley estocástica de la naturaleza llamada hipótesis de fondo. ^[2] Esta hipótesis puede interpretarse como una implementación estricta de la afirmación de que «Dios juega a los dados», pero deja abierta la posibilidad de que este juego de dados sea reemplazado por una teoría de variables ocultas, como en la teoría del movimiento browniano. ^[18]

El resto de este artículo trata de la definición de dicho proceso y de la derivación de las ecuaciones de difusión asociadas a este proceso. Esto se hace en un contexto general con el movimiento browniano y la mecánica cuántica como límites especiales, donde se obtienen respectivamente la ecuación del calor y la ecuación de Schrödinger . La derivación se basa en gran medida en herramientas de la mecánica lagrangiana y el cálculo estocástico .

Cuantización estocástica

Los postulados de la Mecánica Estocástica se pueden resumir en una condición de cuantificación estocástica que fue formulada por Nelson. ^[2] Para una teoría no relativista esta condición establece: ^[19] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• La trayectoria de una partícula cuántica se describe mediante la proyección real de una semimartingala compleja : con , donde es un proceso continuo de variación finita y es una martingala compleja , ${\displaystyle X(t)={\rm {Re}}[Z(t)]}$ ${\displaystyle Z(t)=C(t)+M(t)}$ ${\displaystyle C(t)}$ ${\displaystyle M(t)}$
• La trayectoria estocásticamente extrema una acción , ${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L\,dt\right]}$
• La martingala es un proceso continuo con incrementos independientes y momentos finitos . Además, su variación cuadrática está fijada por la relación de estructura donde es la masa de la partícula, la constante de Planck reducida , es una constante adimensional y es el delta de Kronecker , ^[20] ${\displaystyle M(t)}$ ${\displaystyle d[M^{i},M^{j}]={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}\,dt}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{{\rm {i}}\phi }\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \delta ^{ij}}$
• El proceso de inversión del tiempo existe y está sujeto a las mismas leyes dinámicas.

Utilizando la descomposición , y el hecho de que tiene variación finita, se encuentra que la variación cuadrática de y está dada por ${\displaystyle Z=X+{\rm {i}}\,Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d[X^{i},X^{j}]&d[X^{i},Y^{j}]\\d[Y^{i},X^{j}]&d[Y^{i},Y^{j}]\end{pmatrix}}={\frac {|\alpha |\,\hbar }{2\,m}}\,\delta ^{ij}\,{\begin{pmatrix}1+\cos \phi &\sin \phi \\\sin \phi &1-\cos \phi \end{pmatrix}}\,dt}$

Por lo tanto, mediante la caracterización de Lévy del movimiento browniano, y describen dos procesos de Wiener correlacionados con una deriva descrita por el proceso de variación finita , una constante de difusión que escala con , y una correlación que depende del ángulo . Los procesos están correlacionados al máximo en el límite cuántico, asociados a y correspondientes a , mientras que no están correlacionados en el límite browniano, asociados a y correspondientes a , ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle C(t)}$ ${\displaystyle |\alpha |\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi \in \left\{-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right\}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\rm {i}}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi \in \{0,\pi \}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

El término cuantificación estocástica para describir este procedimiento de cuantificación se introdujo en la década de 1970. ^[21] Hoy en día, la cuantificación estocástica se refiere más comúnmente a un marco desarrollado por Parisi y Wu en 1981. En consecuencia, el procedimiento de cuantificación desarrollado en mecánica estocástica a veces también se conoce como cuantificación estocástica de Nelson o estocastización. ^[3]

Velocidad del proceso

Es casi seguro que el proceso estocástico no es diferenciable en ningún punto, de modo que la velocidad a lo largo del proceso no está bien definida. Sin embargo, existen campos de velocidad, definidos mediante expectativas condicionales. Estos están dados por ${\displaystyle Z(t)}$ ${\displaystyle {\dot {Z}}(t)={\frac {dZ(t)}{dt}}}$

${\displaystyle w_{+}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {Z(t+dt)-Z(t)}{dt}}\,{\Big |}\,X(t)=x\right],}$

${\displaystyle w_{-}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {Z(t)-Z(t-dt)}{dt}}\,{\Big |}\,X(t)=x\right],}$

y se puede asociar a la integral de Itô a lo largo del proceso . Como el proceso no es diferenciable, estas velocidades, en general, no son iguales entre sí. La interpretación física de este hecho es la siguiente: en cualquier momento la partícula está sometida a una fuerza aleatoria que cambia instantáneamente su velocidad de a . Como los dos campos de velocidad no son iguales, no existe una noción única de velocidad para el proceso . De hecho, cualquier velocidad dada por ${\displaystyle Z(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle w_{-}}$ ${\displaystyle w_{+}}$ ${\displaystyle Z(t)}$

${\displaystyle w_{a}=a\ w_{+}+(1-a)\ w_{-}}$con representa una elección válida para la velocidad del proceso . Esto es particularmente cierto para el caso especial denotado por , que puede asociarse a la integral de Stratonovich a lo largo de . ${\displaystyle a\in [0,1]}$ ${\displaystyle Z(t)}$ ${\displaystyle a={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle w_{\circ }={\frac {w_{+}+w_{-}}{2}}}$ ${\displaystyle Z(t)}$

Dado que tiene una variación cuadrática que no desaparece , se pueden definir adicionalmente campos de velocidad de segundo orden dados por ${\displaystyle Z(t)}$

${\displaystyle w_{2,+}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {[Z(t+dt)-Z(t)]\otimes [Z(t+dt)-Z(t)]}{dt}}\ {\Big |}\ X(t)=x\right],}$

${\displaystyle w_{2,-}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {[Z(t)-Z(t-dt)]\otimes [Z(t)-Z(t-dt)]}{dt}}\ {\Big |}\ X(t)=x\right].}$

El postulado de reversibilidad temporal impone una relación entre estos dos campos tal que . Además, utilizando la relación de estructura por la que se fija la variación cuadrática, se encuentra que . De ello se deduce que en la formulación de Stratonovich la parte de segundo orden de la velocidad se anula, es decir . ${\displaystyle w_{2,\pm }=\pm \,w_{2}}$ ${\displaystyle w_{2}^{ij}(x,t)={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}}$ ${\displaystyle w_{2,\circ }=0}$

La parte real e imaginaria de las velocidades se denotan por

${\displaystyle v={\rm {Re}}(w)\qquad {\rm {and}}\qquad u={\rm {Im}}(w)\,.}$

Utilizando la existencia de estos campos de velocidad, se pueden definir formalmente los procesos de velocidad mediante la integral de Itô . De manera similar, se puede definir formalmente un proceso mediante la integral de Stratonovich y un proceso de velocidad de segundo orden mediante la integral de Stieltjes . Utilizando la relación de estructura, se encuentra que el proceso de velocidad de segundo orden está dado por . Sin embargo, los procesos y no están bien definidos: los primeros momentos existen y están dados por , pero los momentos cuadráticos divergen, es decir . La interpretación física de esta divergencia es que en la representación de la posición la posición se conoce con precisión, pero la velocidad tiene una incertidumbre infinita. ${\displaystyle W_{\pm }(t)}$ ${\displaystyle \int W_{\pm }(t)\ dt=\int d_{\pm }Z(t)}$ ${\displaystyle W_{\circ }(t)}$ ${\displaystyle \int W_{\circ }(t)\ dt=\int d_{\circ }Z(t)}$ ${\displaystyle W_{2}(t)}$ ${\displaystyle \int W_{2}(t)\ dt=\int d[Z,Z](t)}$ ${\displaystyle W_{2}^{ij}(t)={\frac {\alpha \ \hbar }{m}}\ \delta ^{ij}}$ ${\displaystyle W_{\pm }(t)}$ ${\displaystyle W_{\circ }(t)}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [W_{\pm }(t)\ |\ X(t)]=w_{\pm }(X(t),t)}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [||W_{\pm }(t)||^{2}\ |\ X(t)]=\infty }$

Acción estocástica

La condición de cuantificación estocástica establece que la trayectoria estocástica debe extremar una acción estocástica , pero no especifica el lagrangiano estocástico . Este lagrangiano se puede obtener a partir de un lagrangiano clásico utilizando un procedimiento estándar. Aquí, consideramos un lagrangiano clásico de la forma ${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L\,dt\right]}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L(x,v,t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+q\,A_{i}(x,t)\,v^{i}-{\mathfrak {U}}(x,t).}$

Aquí, son coordenadas en el espacio de fases (el fibrado tangente ), es el delta de Kronecker que describe la métrica en , denota la masa de la partícula, la carga bajo el potencial vectorial , y es un potencial escalar. Además, se supone la convención de suma de Einstein . ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$

Una propiedad importante de este lagrangiano es el principio de invariancia de calibre . Esto se puede hacer explícito definiendo una nueva acción mediante la adición de un término derivado total a la acción original, de modo que ${\displaystyle {\tilde {S}}}$

${\displaystyle {\tilde {S}}[x(t)]=S[x(t)]+\int dF(x,t)=\int \left[{\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+qA_{i}v^{i}-{\mathfrak {U}}+\partial _{t}F+v^{i}\partial _{i}F\right]dt=\int \left[{\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+q{\tilde {A}}_{i}v^{i}-{\tilde {\mathfrak {U}}}\right]dt,}$

donde y . Por lo tanto, dado que la dinámica no debería verse afectada por la adición de una derivada total a la acción, la acción es invariante de calibre bajo la redefinición anterior de los potenciales para una función diferenciable arbitraria . ${\displaystyle {\tilde {A}}_{i}=A_{i}+q^{-1}\partial _{i}F}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathfrak {U}}}={\mathfrak {U}}-\partial _{t}F}$ ${\displaystyle F}$

Para construir un lagrangiano estocástico correspondiente a este lagrangiano clásico, se debe buscar una extensión mínima del lagrangiano anterior que respete esta invariancia de calibre. ^[22] En la formulación de Stratonovich de la teoría, esto se puede hacer de manera sencilla, ya que el operador diferencial en la formulación de Stratonovich está dado por

${\displaystyle \int d_{\circ }F(x,t)=\int \left(\partial _{t}F+v_{\circ }^{i}\partial _{i}F\right)dt\,.}$

Por lo tanto, el Lagrangiano de Stratonovich se puede obtener reemplazando la velocidad clásica por la velocidad compleja , tal que ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w_{\circ }}$

${\displaystyle L_{\circ }(x,w_{\circ },t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}w_{\circ }^{i}w_{\circ }^{j}+qA_{i}w_{\circ }^{i}-{\mathfrak {U}}\,.}$

En la formulación de Itô, las cosas son más complicadas, ya que la derivada total viene dada por el lema de Itô : ${\displaystyle \int d_{\pm }F(x,t)=\int \left(\partial _{t}F+v_{\pm }^{i}\partial _{i}F\pm {\frac {1}{2}}v_{2}^{ij}\partial _{j}\partial _{i}F\right)dt\,.}$

Debido a la presencia del término derivado de segundo orden, se rompe la invariancia de calibración. Sin embargo, esto se puede restaurar agregando una derivada del potencial vectorial al lagrangiano. Por lo tanto, el lagrangiano estocástico viene dado por un lagrangiano de la forma

${\displaystyle L_{\pm }(x,w_{\pm },w_{2},t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}w_{\pm }^{i}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}w_{\pm }^{i}\pm {\frac {q}{2}}\partial _{j}A_{i}w_{2}^{ij}-{\mathfrak {U}}\,.}$

La acción estocástica se puede definir utilizando el Lagrangiano de Stratonovich, que es igual a la acción definida por el Lagrangiano de Itô hasta un término divergente: ^[2]

${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L_{\circ }\,dt\right]=\mathbb {E} \left[\int L_{\pm }dt\right]\pm \mathbb {E} \left[\int L_{\infty }dt\right]\,.}$

El término divergente se puede calcular y viene dado por

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int L_{\infty }dt\right]={\frac {m}{2}}\oint _{\gamma }{\frac {\delta _{ij}w_{2}^{ij}}{t}}dt=\alpha \,\hbar \,\pi \,{\rm {i}}\,\sum _{i=1}^{n}k_{i},}$

donde son números de bobinado que cuentan el bobinado del camino alrededor del polo en . ^[23] ${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle t=0}$

Como el término divergente es constante, no contribuye a las ecuaciones de movimiento. Por esta razón, este término ha sido descartado en los primeros trabajos sobre mecánica estocástica. ^[2] Sin embargo, cuando se descarta este término, la mecánica estocástica no puede explicar la aparición de espectros discretos en la mecánica cuántica. Esta cuestión se conoce como la crítica de Wallström, ^{[24] [25]} y se puede resolver teniendo en cuenta adecuadamente el término divergente.

También existe una formulación hamiltoniana de la mecánica estocástica. ^{[22] [26]} Parte de la definición de momentos canónicos:

${\displaystyle p_{\circ ,i}={\frac {\partial L_{\circ }}{\partial w_{\circ }^{i}}}=m\,\delta _{ij}w_{\circ }^{j}+q\,A_{i}\,,}$

${\displaystyle p_{\pm ,i}={\frac {\partial L_{\pm }}{\partial w_{\pm }^{i}}}=m\,\delta _{ij}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}\,.}$

El hamiltoniano en la formulación de Stratonovich puede entonces obtenerse mediante la transformada de Legendre de primer orden :

${\displaystyle H_{\circ }(x,p_{\circ },t)=p_{\circ ,i}v_{\circ }^{i}-L(x,v_{\circ },t)\,.}$

En la formulación de Itô, por el contrario, el hamiltoniano se obtiene mediante una transformada de Legendre de segundo orden: ^[27]

${\displaystyle H_{\pm }(x,p^{\pm },\partial p^{\pm },t)=p_{i}^{\pm }w_{\pm }^{i}\pm {\frac {1}{2}}w_{2}^{ij}\partial p_{ij}^{\pm }-L(x,w_{\pm },w_{2},t)\,.}$

Ecuaciones de Euler-Lagrange

La acción estocástica puede ser extremada, lo que conduce a una versión estocástica de las ecuaciones de Euler-Lagrange . En la formulación de Stratonovich, estas están dadas por

${\displaystyle \int d_{\circ }\left({\frac {\partial L_{\circ }}{\partial w_{\circ }^{i}}}\right)=\int \left({\frac {\partial L_{\circ }}{\partial x^{i}}}\right)dt\,.}$

Para el lagrangiano, discutido en la sección anterior, esto conduce a la siguiente ecuación diferencial estocástica de segundo orden en el sentido de Stratonovich :

${\displaystyle m\,\delta _{ij}\,d_{\circ }^{2}Z^{j}(t)=q\,F_{ij}(X(t),t)\,d_{\circ }Z^{j}(t)\,dt-q\,\partial _{t}A_{i}(X(t),t)\,dt^{2}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}(X(t),t)\,dt^{2}\,,}$

donde la intensidad del campo viene dada por . Esta ecuación sirve como una versión estocástica de la segunda ley de Newton . ${\displaystyle F_{ij}:=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}}$

En la formulación de Itô, las ecuaciones estocásticas de Euler-Lagrange se dan por

${\displaystyle \int d_{\pm }\left({\frac {\partial L_{\pm }}{\partial w_{\pm }^{i}}}\right)=\int \left({\frac {\partial L_{\pm }}{\partial x^{i}}}\right)dt\,.}$

Esto conduce a una ecuación diferencial estocástica de segundo orden en el sentido de Itô , dada por una versión estocástica de la segunda ley de Newton en la forma

${\displaystyle m\,\delta _{ij}\,d_{\pm }^{2}Z^{j}(t)=q\,F_{ij}(X(t),t)\,d_{\pm }Z^{j}(t)\,dt\pm {\frac {\alpha \,\hbar \,q}{2\,m}}\,\delta ^{jk}\,\partial _{k}F_{ij}(X(t),t)\,dt^{2}-q\,\partial _{t}A_{i}(X(t),t)\,dt^{2}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}(X(t),t)\,dt^{2}\,.}$

Ecuaciones de Hamilton-Jacobi

Las ecuaciones de movimiento también pueden obtenerse en una generalización estocástica de la formulación de Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica. En este caso, se comienza por definir la función principal de Hamilton. Para el lagrangiano , esta función se define como ${\displaystyle L_{+}}$

${\displaystyle S_{+}(x,t;x_{f},t_{f}):=-\mathbb {E} \left[\int _{t}^{t_{f}}L_{+}(X(s),W_{+}(s),W_{2}(s),s)\,ds\,{\Big |}\,X(t)=x,X(t_{f})=x_{f}\right],}$

donde se supone que el proceso obedece a las ecuaciones estocásticas de Euler-Lagrange. De manera similar, para el lagrangiano , la función principal de Hamilton se define como ${\displaystyle \{X(s):s\in [t,t_{f}]\}}$ ${\displaystyle L_{-}}$

${\displaystyle S_{-}(x,t;x_{0},t_{0}):=\mathbb {E} \left[\int _{t_{0}}^{t}L_{-}(X(s),W_{-}(s),W_{2}(s),s)\,ds\,{\Big |}\,X(t)=x,X(t_{0})=x_{0}\right],}$

donde se supone que el proceso obedece a las ecuaciones estocásticas de Euler-Lagrange. Debido a la parte divergente de la acción, estas funciones principales están sujetas a la relación de equivalencia ${\displaystyle \{X(s):s\in [t_{0},t]\}}$

${\displaystyle {\tilde {S}}_{\pm }\equiv S_{\pm }\;{\rm {if}}\;\exists k\in \mathbb {Z} ^{n},\;{\rm {such\,that}}\;{\tilde {S}}_{\pm }=S_{\pm }\pm \alpha \,\pi \,{\rm {i}}\,\hbar \,\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,.}$

Variando las funciones principales respecto del punto se obtienen las ecuaciones de Hamilton-Jacobi, que vienen dadas por ${\displaystyle (x,t)}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}S_{\pm }(x,t)&=p_{i}^{\pm }(x,t)\,,\\{\frac {\partial }{\partial t}}S_{\pm }(x,t)&=-H_{\pm }(x,p_{\pm }(x,t),\partial p_{\pm }(x,t),t)\,.\end{cases}}}$

Nótese que estos son iguales que en el caso clásico. Sin embargo, el hamiltoniano, en la segunda ecuación de Hamilton-Jacobi, ahora se obtiene utilizando una transformada de Legendre de segundo orden. Además, debido a la parte divergente de la acción, hay una tercera ecuación de Hamilton-Jacobi, que toma la forma de la restricción integral no trivial.

${\displaystyle \oint \left(p_{i}^{\pm }\,v_{\pm }^{i}\pm {\frac {1}{2}}v_{2}^{ij}\,\partial _{i}p_{j}\right)dt=\pm \alpha \,\hbar \,\pi \,{\rm {i}}\,\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,.}$

Para el Lagrangiano dado las dos primeras ecuaciones de Hamilton-Jacobi dan como resultado

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{i}S&=m\,\delta _{ij}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}\,,\\\partial _{t}S&=-{\frac {m}{2}}\,\delta _{ij}w_{\pm }^{i}w_{\pm }^{j}\mp {\frac {m}{2}}\,\delta _{ij}w_{2}^{ik}\partial _{k}w_{\pm }^{j}-{\mathfrak {U}}\,.\end{cases}}}$

Estas dos ecuaciones se pueden combinar, obteniendo

${\displaystyle \left[m\,\delta _{ij}\left(\partial _{t}+w_{\pm }^{k}\partial _{k}\pm {\frac {1}{2}}\,w_{2}^{kl}\partial _{l}\partial _{k}\right)-q\,F_{ij}\right]w_{\pm }^{j}=\pm {\frac {q}{2}}\,w_{2}^{jk}\partial _{k}F_{ij}-q\,\partial _{t}A_{i}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}\,.}$

Utilizando esto , esta ecuación, sujeta a la condición integral y la condición inicial o condición terminal , se puede resolver para . La solución se puede entonces introducir en la ecuación de Itô ${\displaystyle w_{2}^{ij}={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}}$ ${\displaystyle w_{+}(x,t_{0})=w_{0}(x)}$ ${\displaystyle w_{-}(x,t_{f})=w_{f}(x)}$ ${\displaystyle w_{\pm }(x,t)}$

${\displaystyle {\begin{cases}d_{\pm }Z^{i}(t)&=w_{\pm }^{i}(x,t)\,dt+dM^{i}(t)\,,\\d[M^{i},M^{j}](t)&={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\delta ^{ij}\,dt\,,\end{cases}}}$

que se puede resolver para el proceso . Por lo tanto, cuando se especifica una condición inicial (para la ecuación dirigida futura etiquetada con ) o una condición terminal (para la ecuación dirigida pasada etiquetada con ), se encuentra un proceso estocástico único que describe la trayectoria de la partícula. ${\displaystyle \{Z(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$ ${\displaystyle X(t_{0})=x_{0}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle X(t_{f})=x_{f}}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$

Ecuación de difusión

El resultado clave de la mecánica estocástica es que deriva la ecuación de Schrödinger a partir del proceso estocástico postulado. En esta derivación, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}S_{\pm }(x,t)&=p_{i}^{\pm }(x,t)\\{\frac {\partial }{\partial t}}S_{\pm }(x,t)&=-H_{\pm }(x,p_{\pm }(x,t),\partial p_{\pm }(x,t),t)\end{cases}}}$

se combinan, de tal manera que se obtiene la ecuación

${\displaystyle 2\,m\left(\partial _{t}S_{\pm }+{\mathfrak {U}}\right)+\delta ^{ij}\left(\partial _{i}S_{\pm }\partial _{j}S_{\pm }\pm \alpha \,\hbar \,\partial _{j}\partial _{i}S_{\pm }-2\,q\,A_{i}\partial _{j}S_{\pm }\mp \alpha \,\hbar \,q\,\partial _{j}A_{i}+q^{2}\,A_{i}A_{j}\right)=0\,.}$

Posteriormente se define la función de onda

${\displaystyle \Psi _{\pm }(x,t)=\exp \left(\pm {\frac {S_{\pm }(x,t)}{\alpha \,\hbar }}\right).}$

Dado que las funciones principales de Hamilton son multivaluadas, se encuentra que las funciones de onda están sujetas a las relaciones de equivalencia

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{+}\equiv \Psi _{+}\quad {\rm {if}}\quad {\tilde {\Psi }}_{+}=\pm \Psi _{+}\qquad {\rm {and}}\qquad {\tilde {\Psi }}_{-}\equiv \Psi _{-}\quad {\rm {if}}\quad {\tilde {\Psi }}_{-}=\pm \Psi _{-}\,.}$

Además, las funciones de onda están sujetas a las complejas ecuaciones de difusión.

${\displaystyle -\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{+}=\left[{\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+q\,A_{i}\right)\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+q\,A_{j}\right)+{\mathfrak {U}}\right]\Psi _{+}\,,}$

${\displaystyle \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{-}=\left[{\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+q\,A_{i}\right)\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+q\,A_{j}\right)+{\mathfrak {U}}\right]\Psi _{-}\,.}$

Así, para cualquier proceso que resuelva los postulados de la mecánica estocástica, se puede construir una función de onda que obedezca estas ecuaciones de difusión. Debido a las relaciones de equivalencia de la función principal de Hamilton, la afirmación opuesta también es cierta: para cualquier solución de estas complejas ecuaciones de difusión, se puede construir un proceso estocástico que sea una solución de los postulados de la mecánica estocástica. Un resultado similar ha sido establecido por el teorema de Feynman-Kac . ${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$

Finalmente, se puede construir una densidad de probabilidad

${\displaystyle \rho _{\pm }(x,t):={\frac {|\Psi _{\pm }(x,t)|^{2}}{\int |\Psi _{\pm }(y,t)|^{2}d^{n}y}}\,,}$

que describe las probabilidades de transición para el proceso . Más precisamente, describe la probabilidad de estar en el estado dado que el sistema termina en el estado . Por lo tanto, la ecuación de difusión para puede interpretarse como la ecuación de Kolmogorov hacia atrás del proceso . De manera similar, describe la probabilidad de estar en el estado dado que el sistema termina en el estado , cuando evoluciona hacia atrás en el tiempo. Por lo tanto, la ecuación de difusión para puede interpretarse como la ecuación de Kolmogorov hacia atrás del proceso cuando evoluciona hacia el pasado. Al invertir la dirección del tiempo, se encuentra que describe la probabilidad de estar en el estado dado que el sistema comienza en el estado , cuando evoluciona hacia adelante en el tiempo. Por lo tanto, la ecuación de difusión para también puede interpretarse como la ecuación de Kolmogorov hacia adelante del proceso cuando evoluciona hacia el futuro. ${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$ ${\displaystyle \rho _{+}}$ ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle (x_{f},t_{f})}$ ${\displaystyle \Psi _{+}}$ ${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$ ${\displaystyle \rho _{-}}$ ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$ ${\displaystyle \Psi _{-}}$ ${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$ ${\displaystyle \rho _{-}}$ ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$ ${\displaystyle \Psi _{-}}$ ${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$

Aspectos matemáticos

Casos limitantes

La teoría contiene varios límites especiales:

• El límite clásico con . En este caso, el proceso y el proceso auxiliar describen dos trayectorias deterministas desacopladas. ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• El límite browniano con . En este caso, el proceso describe un proceso de Wiener (también conocido como movimiento browniano ) para el cual el resultado anterior se establece mediante el teorema de Feynman-Kac , mientras que el proceso auxiliar describe un proceso determinista. ${\displaystyle \alpha \in (0,\infty )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• El límite cuántico con . En este caso, el proceso y el proceso auxiliar describen dos procesos de Wiener correlacionados positivamente. ${\displaystyle \alpha \in {\rm {i}}\times (0,\infty )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• El límite browniano invertido en el tiempo con . En este caso, el proceso describe un proceso determinista, mientras que el proceso auxiliar describe un proceso de Wiener . ${\displaystyle \alpha \in (-\infty ,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• El límite cuántico invertido en el tiempo con . En este caso, el proceso y el proceso auxiliar describen dos procesos de Wiener correlacionados negativamente. ${\displaystyle \alpha \in {\rm {i}}\times (-\infty ,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

En el límite browniano con condición inicial o condición terminal (que implica ), los procesos y están desacoplados, de modo que la dinámica del proceso auxiliar puede descartarse, y se describe mediante un proceso de Wiener real . En todos los demás casos con , los procesos están acoplados entre sí, de modo que el proceso auxiliar debe tenerse en cuenta al derivar la dinámica de . ${\displaystyle u(x,t_{0})=0}$ ${\displaystyle u(x,t_{f})=0}$ ${\displaystyle u(x,t)=0\quad \forall t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Simetría de inversión temporal

La teoría es simétrica bajo la operación de inversión del tiempo . ${\displaystyle (t,\alpha ,q)\leftrightarrow (-t,-\alpha ,-q)}$

En los límites brownianos, la teoría es máximamente disipativa , mientras que los límites cuánticos son unitarios , de modo que

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int |\Psi _{\pm }(y,t)|^{2}d^{n}y{\Big |}_{\alpha \in {\rm {i}}\times \mathbb {R} }=0\,.}$

Relaciones de conmutación canónica

La ecuación de difusión se puede reescribir como

${\displaystyle \mp \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{\pm }={\hat {H}}({\hat {x}},{\hat {p}}^{\pm },t)\,\Psi _{\pm }\,,}$

donde es un operador hamiltoniano . Esto permite introducir operadores de posición y momento como ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\hat {x}}^{i}=x^{i}\qquad {\rm {and}}\qquad {\hat {p}}_{i}^{\pm }=\pm \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\,,}$

de modo que el hamiltoniano tiene su forma familiar

${\displaystyle H({\hat {x}},{\hat {p}},t)={\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\,{\Big [}{\hat {p}}_{i}-q\,A_{i}({\hat {x}},t){\Big ]}{\Big [}{\hat {p}}_{j}-q\,A_{j}({\hat {x}},t){\Big ]}+{\mathfrak {U}}({\hat {x}},t)\,.}$

Estos operadores obedecen la relación de conmutación canónica

${\displaystyle [{\hat {x}}^{i},{\hat {p}}_{j}^{\pm }]=\mp \alpha \,\hbar \,\delta _{j}^{i}\,.}$

Véase también

• Portal de física
• portal de matemáticas

• Teorema de Bell
• Teoría de De Broglie-Bohm
• Paradoja del EPR
• Teoría de variables ocultas
• Interpretaciones de la mecánica cuántica
• Cuantización estocástica
• Modelo de vacío estocástico
• Electrodinámica estocástica

Notas

1. E. Nelson 1966. sfn error: no target: CITEREFE._Nelson1966 (help)
2. E. Nelson 1985. sfn error: no target: CITEREFE._Nelson1985 (help)
3. E. Nelson 2014. sfn error: no target: CITEREFE._Nelson2014 (help)
4. I. Fenyes 1946. sfn error: no target: CITEREFI._Fenyes1946 (help)
5. I. Fenyes 1948, págs. 336–346. sfn error: no target: CITEREFI._Fenyes1948 (help)
6. MP Davidson 1979, pág. 1. sfn error: no target: CITEREFM.P._Davidson1979 (help)
7. L. de la Peña y AM Cetto 1996, p. 36. sfn error: no target: CITEREFL._de_la_PeñaA.M._Cetto1996 (help)
8. L. de Broglie 1967. sfn error: no target: CITEREFL._de_Broglie1967 (help)
9. F. Guerra 1981. sfn error: no target: CITEREFF._Guerra1981 (help)
10. Viena 1923.
11. M. Kac 1949. sfn error: no target: CITEREFM._Kac1949 (help)
12. RH Cameron 1960, págs. 126-140. sfn error: no target: CITEREFR.H._Cameron1960 (help)
13. Yu.L. Daletskii 1962, págs. 1-107. sfn error: no target: CITEREFYu.L._Daletskii1962 (help)
14. A. Einstein 1905. sfn error: no target: CITEREFA._Einstein1905 (help)
15. J. Perrin 1911. sfn error: no target: CITEREFJ._Perrin1911 (help)
16. JL Doob 1942. sfn error: no target: CITEREFJ.L._Doob1942 (help)
17. E. Nelson 1967. sfn error: no target: CITEREFE._Nelson1967 (help)
18. F. Kuipers, 2023 y pág. 61. sfn error: no target: CITEREFF._Kuipers2023p._61 (help)
19. F. Kuipers 2023, pág. 9. sfn error: no target: CITEREFF._Kuipers2023 (help)
20. F. Kuipers 2023, pág. 23. sfn error: no target: CITEREFF._Kuipers2023 (help)
21. K. Yasue 1979. sfn error: no target: CITEREFK._Yasue1979 (help)
22. JC Zambrini 1985. sfn error: no target: CITEREFJ.C._Zambrini1985 (help)
23. F. Kuipers 2023, pág. 34. sfn error: no target: CITEREFF._Kuipers2023 (help)
24. TC Wallström 1989. sfn error: no target: CITEREFT.C._Wallstrom1989 (help)
25. TC Wallström 1994. sfn error: no target: CITEREFT.C._Wallstrom1994 (help)
26. M. Pavón 1995. sfn error: no target: CITEREFM._Pavon1995 (help)
27. Q. Huang y JC Zambrini 2023. sfn error: no target: CITEREFQ._HuangJ.C._Zambrini2023 (help)

Referencias

Papeles

• de Broglie, L. (1967). "Le Mouvement Brownien d'une Particule Dans Son Onde". CR Acad. Ciencia . B264 : 1041.
• Cameron, RH (1960). "Una familia de integrales que sirven para conectar las integrales de Wiener y Feynman". Revista de Matemáticas y Física . 39 (1–4): 126–140. doi :10.1002/sapm1960391126. ISSN  0097-1421.
• Daletskii, Yu L (1962-10-31). "Integrales funcionales conectadas con ecuaciones de evolución de operadores". Encuestas matemáticas rusas . 17 (5): 1–107. Bibcode :1962RuMaS..17....1D. doi :10.1070/RM1962v017n05ABEH004121. ISSN  0036-0279.
• Davidson, MP (1979). "El origen del álgebra de operadores cuánticos en la formulación estocástica de la mecánica cuántica". Letters in Mathematical Physics . 3 (5): 367–376. arXiv : quant-ph/0112099 . Bibcode :1979LMaPh...3..367D. doi :10.1007/BF00397209. ISSN  0377-9017. S2CID  6416365.
• Doob, JL (1942). "El movimiento browniano y las ecuaciones estocásticas". Anales de Matemáticas . 43 (2): 351–369. doi :10.2307/1968873. JSTOR  1968873.
• Einstein, A. (1905). "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen". Annalen der Physik . 322 (8): 549–560. Código bibliográfico : 1905AnP...322..549E. doi : 10.1002/andp.19053220806 . ISSN  0003-3804.
• Fényes, I. (1946). "Una deducción de la ecuación de Schrödinger". Acta Bolyaiana . 1 (5): cap. 2.
• Fényes, I. (1952). "Eine wahrscheinlichkeitstheoretische Begründung und Interpretation der Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 132 (1): 81–106. Código Bib : 1952ZPhy..132...81F. doi :10.1007/BF01338578. ISSN  1434-6001. S2CID  119581427.
• Guerra, F. (1981). "Aspectos estructurales de la mecánica estocástica y la teoría estocástica de campos". Physics Reports . 77 (3): 263–312. Bibcode :1981PhR....77..263G. doi :10.1016/0370-1573(81)90078-8.
• Kac, M. (1949). "Sobre distribuciones de ciertas funciones de Wiener". Transactions of the American Mathematical Society . 65 (1): 1–13. doi : 10.2307/1990512 . JSTOR  1990512.
• Lindgren, J.; Liukkonen, J. (2019). "La mecánica cuántica puede entenderse a través de la optimización estocástica en los espacio-tiempos". Scientific Reports . 9 (1): 19984. Bibcode :2019NatSR...919984L. doi : 10.1038/s41598-019-56357-3 . PMC  6934697 . PMID  31882809.
• Nelson, E. (1966). "Derivación de la ecuación de Schrödinger a partir de la mecánica newtoniana". Physical Review . 150 (4): 1079–1085. Bibcode :1966PhRv..150.1079N. doi :10.1103/PhysRev.150.1079.
• Nelson, E. (1986). "Teoría de campos y el futuro de la mecánica estocástica". En Albeverio, S.; Casati, G.; Merlini, D. (eds.). Procesos estocásticos en sistemas clásicos y cuánticos . Lecture Notes in Physics. Vol. 262. Berlín: Springer-Verlag. págs. 438–469. doi :10.1007/3-540-17166-5. ISBN. 978-3-662-13589-1.OCLC 864657129  .
• Nelson, E. (2014). "Mecánica estocástica de campos relativistas". Journal of Physics: Conference Series . 504 (1): 012013. Bibcode :2014JPhCS.504a2013N. doi : 10.1088/1742-6596/504/1/012013 . S2CID  123706792.
• Pavon, M. (1995). "Una nueva formulación de la mecánica estocástica". Physics Letters A . 209 (3–4): 143–149. Bibcode :1995PhLA..209..143P. doi :10.1016/0375-9601(95)00847-4.
• Perrin, J. (1911). "Movimiento browniano y realidad molecular". Nature . 86 (2160): 105. Bibcode :1911Natur..86..105R. doi : 10.1038/086105a0 . hdl : 2027/mdp.39015010952425 . ISSN  0028-0836.
• Wallstrom, TC (1989). "Sobre la derivación de la ecuación de Schrödinger a partir de la mecánica estocástica". Fundamentos de la física Letters . 2 (2): 113–126. Bibcode :1989FoPhL...2..113W. doi :10.1007/BF00696108.
• Wallstrom, TC (1994). "Inequivalencia entre la ecuación de Schrödinger y las ecuaciones hidrodinámicas de Madelung". Physical Review A . 49 (3): 1613–1617. Bibcode :1994PhRvA..49.1613W. doi :10.1103/PhysRevA.49.1613. PMID  9910408.
• Wiener, Norbert (1923). "Espacio diferencial". Revista de matemáticas y física . 2 (1–4): 131–174. doi :10.1002/sapm192321131. ISSN  0097-1421.
• Yasue, K. (1979). "Cuantización estocástica: una revisión". Revista Internacional de Física Teórica . 18 (12): 861–913. Código Bibliográfico :1979IJTP...18..861Y. doi :10.1007/BF00669566. S2CID  120858652.
• Zambrini, JC (1985). "Dinámica estocástica: una revisión del cálculo estocástico de variaciones". Revista Internacional de Física Teórica . 24 (3): 277–327. Bibcode :1985IJTP...24..277Z. doi :10.1007/BF00669792. S2CID  122076991.
• Huang, Q.; Zambrini, JC (2023). "De la geometría diferencial de segundo orden a la mecánica geométrica estocástica". Journal of Nonlinear Science . 33 (67): 1–127. arXiv : 2201.03706 . Código Bibliográfico :2023JNS....33...67H. doi : 10.1007/s00332-023-09917-x .

Libros

• Jammer, M. (1974). La filosofía de la mecánica cuántica: las interpretaciones de la mecánica cuántica en perspectiva histórica . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-43958-4. OCLC  613797751  .​
• Kuipers, F. (2023). Mecánica estocástica: la unificación de la mecánica cuántica con el movimiento browniano. SpringerBriefs in Physics. Cham: SpringerBriefs in Physics. arXiv : 2301.05467 . doi :10.1007/978-3-031-31448-3. ISBN . 978-3-031-31447-6.S2CID255825676  .​
• Namsrai, K. (1985). Teoría cuántica de campos no locales y mecánica cuántica estocástica. Dordrecht; Boston: D. Reidel Publishing Co. doi :10.1007/978-94-009-4518-0. ISBN 90-277-2001-0. LCCN  85025617. OCLC  12809936.
• Nelson, Edward (1967). Teorías dinámicas del movimiento browniano . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07950-9.
• Nelson, E. (1985). Fluctuaciones cuánticas. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-08378-9. Código LCCN:  84026449. Código OCLC  : 11549759.
• de la Peña, Luis ; Cetto, Ana María (1996). van der Merwe, Alwyn (ed.). Los dados cuánticos: una introducción a la electrodinámica estocástica. Dordrecht; Bostón; Londres: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-3818-9. Código LCCN  95040168. Código OCLC  832537438.