David Bryant Mumford (nacido el 11 de junio de 1937) es un matemático estadounidense conocido por su trabajo en geometría algebraica y luego por su investigación sobre la visión y la teoría de patrones . Ganó la medalla Fields y fue miembro de MacArthur . En 2010 le fue concedida la Medalla Nacional de Ciencias . Actualmente es profesor universitario emérito en la División de Matemáticas Aplicadas de la Universidad de Brown .
Mumford nació en Worth, West Sussex en Inglaterra , de padre inglés y madre estadounidense. Su padre William fundó una escuela experimental en Tanzania y trabajó para las entonces recién creadas Naciones Unidas . [2]
Asistió a la Academia Phillips Exeter , donde recibió un premio Westinghouse Science Talent Search por su proyecto informático basado en retransmisiones. [3] [4] Mumford luego fue a la Universidad de Harvard , donde se convirtió en alumno de Oscar Zariski . En Harvard, se convirtió en miembro de Putnam en 1955 y 1956. [5] Completó su doctorado en 1961, con una tesis titulada Existencia del esquema de módulos para curvas de cualquier género . Se casó con Erika, autora y poeta, en 1959 y tuvieron cuatro hijos, Stephen, Peter, Jeremy y Suchitra. Actualmente tiene siete nietos.
El trabajo de Mumford en geometría combinó conocimientos geométricos tradicionales con las últimas técnicas algebraicas. Publicó sobre espacios de módulos , con una teoría resumida en su libro Teoría invariante geométrica , sobre las ecuaciones que definen una variedad abeliana , y sobre superficies algebraicas .
Sus libros Abelian Varieties (con CP Ramanujam ) y Curves on an Algebraic Surface combinaron las teorías antiguas y nuevas. Sus apuntes de conferencias sobre teoría de esquemas circularon durante años en forma inédita, en un momento en que eran, junto al tratado Éléments de géométrie algébrique , la única introducción accesible. Ahora están disponibles como El Libro Rojo de Variedades y Esquemas ( ISBN 3-540-63293-X ).
Otros trabajos que fueron escritos menos exhaustivamente fueron conferencias sobre variedades definidas por cuádricas y un estudio de los artículos de Goro Shimura de la década de 1960.
La investigación de Mumford hizo mucho para revivir la teoría clásica de las funciones theta , al mostrar que su contenido algebraico era amplio y suficiente para respaldar las partes principales de la teoría con referencia a análogos finitos del grupo de Heisenberg . Este trabajo sobre las ecuaciones que definen las variedades abelianas apareció en 1966-1967. Publicó algunos libros más de conferencias sobre la teoría.
También fue uno de los fundadores de la teoría de la incrustación toroidal ; y buscó aplicar la teoría a las técnicas de bases de Gröbner , a través de estudiantes que trabajaron en computación algebraica.
En una secuencia de cuatro artículos publicados en el American Journal of Mathematics entre 1961 y 1975, Mumford exploró el comportamiento patológico en la geometría algebraica , es decir, fenómenos que no surgirían si el mundo de la geometría algebraica se comportara tan bien como cabría esperar. mirando los ejemplos más simples. Estas patologías se dividen en dos tipos: (a) mal comportamiento en la característica p y (b) mal comportamiento en los espacios de módulos.
La filosofía de Mumford en la característica p era la siguiente:
Una variedad p característica no singular es análoga a una variedad compleja general no de Kähler; en particular, una incrustación proyectiva de tal variedad no es tan fuerte como una métrica de Kähler en una variedad compleja, y los teoremas de Hodge-Lefschetz-Dolbeault sobre cohomología de gavilla se descomponen de todas las formas posibles.
En el primer artículo de Patologías, Mumford encuentra una forma diferencial regular en todas partes en una superficie proyectiva lisa que no está cerrada, y muestra que la simetría de Hodge falla para las superficies clásicas de Enriques en la característica dos. Este segundo ejemplo se desarrolla con más detalle en el tercer artículo de Mumford sobre clasificación de superficies en la característica p (escrito en colaboración con E. Bombieri ). Esta patología ahora puede explicarse en términos del esquema de Picard de la superficie y, en particular, su incapacidad de ser un esquema reducido , que es un tema desarrollado en el libro de Mumford "Lectures on Curves on an Algebraic Surface". Luc Illusie (Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. (4) 12 (1979), 501–661 exploró peores patologías relacionadas con la torsión p en la cohomología cristalina .
En el segundo artículo de Patologías, Mumford da un ejemplo simple de una superficie en la característica p donde el género geométrico es distinto de cero, pero el segundo número de Betti es igual al rango del grupo de Néron-Severi . Otros ejemplos de este tipo surgen en la teoría de superficies de Zariski . También conjetura que el teorema de desaparición de Kodaira es falso para superficies en la característica p . En el tercer artículo, da un ejemplo de una superficie normal en la que falla la desaparición de Kodaira. El primer ejemplo de una superficie lisa en la que falla la desaparición de Kodaira lo dio Michel Raynaud en 1978.
En el segundo artículo de Pathologies, Mumford encuentra que el esquema de Hilbert que parametriza curvas espaciales de grado 14 y género 24 tiene un componente múltiple. En el cuarto artículo de Patologías, encuentra curvas completas reducidas e irreducibles que no son especializaciones de curvas no singulares.
Este tipo de patologías se consideraban bastante escasas cuando aparecieron por primera vez. Pero Ravi Vakil demostró en su artículo "La ley de Murphy en geometría algebraica" que los esquemas de Hilbert de objetos geométricos agradables pueden ser arbitrariamente "malos", con un número ilimitado de componentes y con multiplicidades arbitrariamente grandes (Invent. Math. 164 (2006), 569–590).
En tres artículos escritos entre 1969 y 1976 (los dos últimos en colaboración con Enrico Bombieri ), Mumford amplió la clasificación Enriques-Kodaira de superficies proyectivas lisas del caso del campo terrestre complejo al caso de un campo terrestre algebraicamente cerrado de característica p. . La respuesta final resulta ser esencialmente la misma que la respuesta en el caso complejo (aunque los métodos empleados a veces son bastante diferentes), una vez que se hacen dos ajustes importantes. La primera es que se pueden obtener superficies "no clásicas", que se producen cuando p -torsión en el esquema de Picard degenera a un esquema de grupo no reducido. La segunda es la posibilidad de obtener superficies cuasi elípticas en las características dos y tres. Se trata de superficies fibrosas sobre una curva donde la fibra general es una curva de género aritmético uno con una cúspide.
Una vez realizados estos ajustes, las superficies se dividen en cuatro clases según su dimensión Kodaira , como en el caso complejo. Las cuatro clases son: a) Dimensión de Kodaira menos infinito. Estas son las superficies regladas . b) Dimensión 0 de Kodaira. Se trata de las superficies K3 , superficies abelianas , superficies hiperelípticas y cuasihiperelípticas y superficies de Enriques . Hay ejemplos clásicos y no clásicos en los dos últimos casos de dimensión cero de Kodaira. c) Dimensión de Kodaira 1. Estas son las superficies elípticas y cuasi-elípticas no contenidas en los dos últimos grupos. d) Dimensión Kodaira 2. Estas son las superficies de tipo general .
Mumford recibió una medalla Fields en 1974. Fue miembro de MacArthur de 1987 a 1992. Ganó el premio Shaw en 2006. En 2007, la Sociedad Estadounidense de Matemáticas le otorgó el premio Steele de exposición matemática . En 2008 recibió el Premio Wolf ; Al recibir el premio en Jerusalén de manos de Shimon Peres , Mumford anunció que donaría la mitad del dinero del premio a la Universidad Birzeit en los territorios palestinos y la otra mitad a Gisha, una organización israelí que promueve el derecho a la libertad de movimiento de los palestinos en la Franja de Gaza. . [6] [7] También formó parte del jurado de Ciencias Matemáticas del Premio Infosys en 2009 y 2010. En 2010 fue galardonado con la Medalla Nacional de Ciencias . [8] En 2012 se convirtió en miembro de la Sociedad Matemática Estadounidense . [9]
Hay una larga lista de premios y honores además de los anteriores, que incluyen
Fue elegido presidente de la Unión Matemática Internacional en 1995 y ocupó el cargo de 1995 a 1999.
