medida de mahler

Medida de altura polinómica

En matemáticas , la medida de Mahler de un polinomio con coeficientes complejos se define como ${\displaystyle M(p)}$ ${\displaystyle p(z)}$

$${\displaystyle M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\},}$$donde factoriza sobre los números complejos como ${\displaystyle p(z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).}$$

La medida de Mahler puede verse como una especie de función de altura . Usando la fórmula de Jensen , se puede demostrar que esta medida también es igual a la media geométrica de for en el círculo unitario (es decir, ): ${\displaystyle |p(z)|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|=1}$ $${\displaystyle M(p)=\exp \left(\int _{0}^{1}\ln(|p(e^{2\pi i\theta })|)\,d\theta \right).}$$

Por extensión, la medida de Mahler de un número algebraico se define como la medida de Mahler del polinomio mínimo de sobre . En particular, si es un número de Pisot o un número de Salem , entonces su medida de Mahler es simplemente . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

La medida de Mahler lleva el nombre del matemático australiano nacido en Alemania Kurt Mahler .

Propiedades

• La medida de Mahler es multiplicativa: ${\displaystyle \forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q).}$
• ${\textstyle M(p)=\lim _{\tau \to 0}\|p\|_{\tau }}$¿Dónde está la norma de ? ^[1] ${\textstyle \,\|p\|_{\tau }=\left(\int _{0}^{1}|p(e^{2\pi i\theta })|^{\tau }d\theta \right)^{1/\tau }}$ ${\displaystyle L_{\tau }}$ ${\displaystyle p}$
• Teorema de Kronecker : Si es un polinomio entero mónico irreducible con , entonces o es un polinomio ciclotómico . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M(p)=1}$ ${\displaystyle p(z)=z,}$ ${\displaystyle p}$
• ( Conjetura de Lehmer ) Existe una constante tal que si es un polinomio entero irreducible, entonces o o . ${\displaystyle \mu >1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M(p)=1}$ ${\displaystyle M(p)>\mu }$
• La medida de Mahler de un polinomio entero mónico es un número de Perron .

Medida de Mahler de dimensiones superiores

La medida de Mahler de un polinomio multivariable se define de manera similar mediante la fórmula ^[2] ${\displaystyle M(p)}$ ${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

$${\displaystyle M(p)=\exp \left(\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{2\pi i\theta _{1}},e^{2\pi i\theta _{2}},\ldots ,e^{2\pi i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).}$$Hereda las tres propiedades anteriores de la medida de Mahler para un polinomio de una variable.

Se ha demostrado que la medida de Mahler multivariable, en algunos casos, está relacionada con valores especiales de funciones y funciones zeta . Por ejemplo, en 1981, Smyth ^[3] demostró las fórmulas donde está la función L de Dirichlet y donde está la función zeta de Riemann . Aquí se llama medida logarítmica de Mahler . ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2)}$$ ${\displaystyle L(\chi _{-3},s)}$ $${\displaystyle m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3),}$$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle m(P)=\log M(P)}$

Algunos resultados de Lawton y Boyd

Según la definición, la medida de Mahler se considera los valores integrados de polinomios sobre el toro (ver también la conjetura de Lehmer ). Si se anula en el toroide , entonces la convergencia de la integral que la define no es obvia, pero se sabe que converge y es igual a un límite de medidas de Mahler de una variable, ^[4] que había sido conjeturado por Boyd . ^{[5] [6]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$ ${\displaystyle M(p)}$ ${\displaystyle M(p)}$

Esto se formula de la siguiente manera: denotemos los números enteros y definamos . Si es un polinomio en variables y define el polinomio de una variable por ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0\ {\text{for}}\ 1\leq j\leq N\}}$ ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N}}$ ${\displaystyle Q_{r}(z)}$

$${\displaystyle Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1}},\dots ,z^{r_{N}})}$$

y definir por ${\displaystyle q(r)}$ $${\displaystyle q(r):=\min \left\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)~{\text{and}}~\sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\right\}}$$

dónde . ${\displaystyle H(s)=\max\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}}$

Teorema (Lawton)  —  Sea un polinomio en N variables con coeficientes complejos. Entonces el siguiente límite es válido (incluso si la condición se relaja): ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ ${\displaystyle r_{i}\geq 0}$ $${\displaystyle \lim _{q(r)\to \infty }M(Q_{r})=M(Q)}$$

La propuesta de Boyd.

Boyd proporcionó afirmaciones más generales que el teorema anterior. Señaló que se puede considerar que el teorema de Kronecker clásico , que caracteriza polinomios mónicos con coeficientes enteros, todas cuyas raíces están dentro del disco unitario, caracteriza aquellos polinomios de una variable cuya medida es exactamente 1, y que este resultado se extiende a los polinomios en varias variables. ^[6]

Defina un polinomio ciclotómico extendido como un polinomio de la forma donde es el m -ésimo polinomio ciclotómico , son números enteros y se eligen mínimamente para que sea un polinomio en el . Sea el conjunto de polinomios que son producto de monomios y polinomios ciclotómicos extendidos. $${\displaystyle \Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1}}\dots z_{n}^{v_{n}}),}$$ ${\displaystyle \Phi _{m}(z)}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})}$ ${\displaystyle \Psi (z)}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle \pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}}$

Teorema (Boyd)  :  sea un polinomio con coeficientes enteros. Entonces si y sólo si es un elemento de . ${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]}$ ${\displaystyle M(F)=1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K_{n}}$

Esto llevó a Boyd a considerar el conjunto de valores y la unión . Hizo la conjetura de gran alcance ^[5] de que el conjunto de es un subconjunto cerrado de . Una consecuencia inmediata de esta conjetura sería la verdad de la conjetura de Lehmer, aunque sin un límite inferior explícito. Como el resultado de Smyth sugiere que , Boyd conjetura además que $${\displaystyle L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots ,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr \}},}$$ ${\textstyle {L}_{\infty }=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n}}$ ${\displaystyle {L}_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}}$ $${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots .}$$

Medida de Mahler y entropía

Una acción de automorfismos de un grupo abeliano metrizable compacto puede asociarse mediante dualidad a cualquier módulo contable sobre el anillo . ^[7] La ​​entropía topológica (que es igual a la entropía teórica de la medida ) de esta acción, está dada por una medida de Mahler (o es infinita). ^[8] En el caso de un módulo cíclico para un polinomio distinto de cero, la fórmula probada por Lind, Schmidt y Ward da , la medida logarítmica de Mahler de . En el caso general, la entropía de la acción se expresa como una suma de medidas logarítmicas de Mahler sobre los generadores de los principales ideales primos asociados del módulo. Como señaló anteriormente Lind en el caso de un automorfismo de grupo compacto único, esto significa que el conjunto de valores posibles de la entropía de tales acciones es todo o un conjunto contable dependiendo de la solución al problema de Lehmer . Lind también demostró que el toro de dimensión infinita tiene automorfismos ergódicos de entropía positiva finita o solo tiene automorfismos de entropía infinita dependiendo de la solución al problema de Lehmer. ^[9] ${\displaystyle \alpha _{M}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R=\mathbb {Z} [z_{1}^{\pm 1},\dots ,z_{n}^{\pm 1}]}$ ${\displaystyle h(\alpha _{N})}$ ${\displaystyle M=R/\langle F\rangle }$ ${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]}$ ${\displaystyle h(\alpha _{N})=\log M(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{\infty }}$

Ver también

• norma bombieri
• Altura de un polinomio

Notas

1. Aunque esta no es una norma verdadera para los valores de . ${\displaystyle \tau <1}$
2. Schinzel 2000, pag. 224.
3. Smith 2008.
4. Lawton 1983.
5. Boyd 1981a.
6. Boyd 1981b.
7. Cocinas, Bruce; Schmidt, Klaus (1989). "Automorfismos de grupos compactos". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 9 (4): 691–735. doi : 10.1017/S0143385700005290 .
8. Lind, Douglas; Schmidt, Klaus; Sala, Tom (1990). "Medida de Mahler y entropía para conmutar automorfismos de grupos compactos". Invenciones Mathematicae . 101 : 593–629. doi : 10.1007/BF01231517 .
9. Lind, Douglas (1977). "La estructura de productos sesgados con automorfismos de grupos ergódicos". Revista Israelí de Matemáticas . 28 (3): 205–248. doi :10.1007/BF02759810. S2CID  120160631.

Referencias

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• Boyd, David (1981a). "Especulaciones sobre el alcance de la medida de Mahler". Boletín de Matemáticas Canadiense . 24 (4): 453–469. doi : 10.4153/cmb-1981-069-5 .

• Boyd, David (1981b). "Teorema de Kronecker y problema de Lehmer para polinomios en varias variables". Revista de teoría de números . 13 : 116-121. doi : 10.1016/0022-314x(81)90033-0 .

• Boyd, David (2002a). "Medida de Mahler e invariantes de variedades hiperbólicas". En Bennett, MA (ed.). Teoría de números para el Milenio . AK Peters. págs. 127-143.

• Boyd, David (2002b). "La medida de Mahler, las variedades hiperbólicas y el dilogaritmo". Notas de la Sociedad Canadiense de Matemáticas . 34 (2): 3–4, 26–28.

• Boyd, David ; Rodríguez Villegas, Fernando (2002). "La medida de Mahler y el dilogaritmo, parte 1". Revista Canadiense de Matemáticas . 54 (3): 468–492. doi : 10.4153/cjm-2002-016-9 . S2CID  10069657.
• Brunault, François; Zudilin, Wadim (2020). Muchas variaciones de los compases de Mahler: una sinfonía duradera . Cambridge, Reino Unido Nueva York, Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-79445-9. OCLC  1155888228.

• Everest, Graham y Ward, Thomas (1999). "Alturas de polinomios y entropía en dinámica algebraica". Springer-Verlag London, Ltd., Londres. xii+211 págs. ISBN : 1-85233-125-9

• "Medida de Mahler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994].
• Jensen, JL (1899). "Sur un nouvel et importante théorème de la théorie des fonctions". Acta Matemática . 22 : 359–364. doi : 10.1007/BF02417878 . JFM  30.0364.02.

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• Schinzel, Andrzej (2000). Polinomios con especial atención a la reducibilidad . Enciclopedia de Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 77. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-66225-3. Zbl  0956.12001.

• Smith, Chris (2008). "La medida de Mahler de números algebraicos: una encuesta". En McKee, James; Smith, Chris (eds.). Teoría de números y polinomios . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 352. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 322–349. ISBN 978-0-521-71467-9. Zbl  1334.11081.

Enlaces externos

• Medida de Mahler en MathWorld
• Fórmula de Jensen en MathWorld