Número de Salem

Tipo de entero algebraico

Gráfico de las raíces del polinomio de Lehmer , con el número de Salem correspondiente cerca en oro. ${\displaystyle x=1.17628}$

En matemáticas , un número de Salem es un entero algebraico real cuyas raíces conjugadas tienen todas un valor absoluto no mayor que 1, y al menos una de las cuales tiene un valor absoluto exactamente igual a 1. Los números de Salem son de interés en la aproximación diofántica y el análisis armónico . Reciben su nombre en honor a Raphaël Salem . ${\displaystyle \alpha >1}$

Propiedades

Como tiene una raíz de valor absoluto 1, el polinomio mínimo de un número de Salem debe ser un polinomio recíproco . Esto implica que también es una raíz y que todas las demás raíces tienen un valor absoluto exactamente uno. En consecuencia, α debe ser una unidad en el anillo de los números enteros algebraicos, ya que su norma es 1. ${\displaystyle 1/\alpha }$

Todo número de Salem es un número de Perron (un número algebraico real mayor que uno, cuyos conjugados tienen un valor absoluto menor).

Relación con los números de Pisot-Vijayaraghavan

El número de Salem más pequeño conocido es la raíz real más grande del polinomio de Lehmer (llamado así en honor a Derrick Henry Lehmer ).

${\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1,}$

que se trata de : se conjetura que es de hecho el número de Salem más pequeño y la medida de Mahler más pequeña posible de un polinomio no ciclotómico irreducible . ^[1] ${\displaystyle x=1.17628}$

El polinomio de Lehmer es un factor del polinomio de grado más corto -12,

${\displaystyle Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,}$

cuyas doce raíces satisfacen la relación ^[2]

${\displaystyle x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}}$

Los números de Salem se pueden construir a partir de los números de Pisot-Vijayaraghavan . Para recordar, el más pequeño de estos últimos es la única raíz real del polinomio cúbico ,

${\displaystyle x^{3}-x-1,}$

conocido como la razón plástica y aproximadamente igual a 1,324718. Esto se puede utilizar para generar una familia de números de Salem, incluido el más pequeño encontrado hasta ahora. El enfoque general es tomar el polinomio mínimo de un número de Pisot-Vijayaraghavan y su polinomio recíproco , y resolver la ecuación, ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P^{*}(x)}$

${\displaystyle x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)}$

para un entero por encima de un límite. Al restar un lado del otro, factorizar y descartar los factores triviales, se obtendrá el polinomio mínimo de ciertos números de Salem. Por ejemplo, utilizando el caso negativo de lo anterior, ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x^{n}(x^{3}-x-1)=-(x^{3}+x^{2}-1)}$

Entonces , para , estos factores son: ${\displaystyle n=8}$

${\displaystyle (x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1)=0}$

donde el decic es el polinomio de Lehmer. Si se utiliza un valor mayor, se obtendrá una familia con una raíz que se aproxima a la razón plástica. Esto se puede entender mejor tomando las raíces de ambos lados, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n}}$

De modo que a medida que aumenta, se acercará a la solución de . Si se utiliza el caso positivo, entonces se acerca a la razón plástica desde la dirección opuesta. Si se utiliza el polinomio mínimo del siguiente número de Pisot-Vijayaraghavan más pequeño, se obtiene ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1),}$

que por factores como ${\displaystyle n=7}$

${\displaystyle (x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0,}$

un decic no generado en el anterior y cuya raíz es el quinto número de Salem más pequeño conocido. Como , esta familia a su vez tiende hacia la raíz real más grande de . ${\displaystyle x=1.216391\ldots }$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle x^{4}-x^{3}-1=0}$

Referencias

1. Borwein (2002) pág. 16
2. D. Bailey y D. Broadhurst, Una escalera de polilogaritmos de decimoséptimo orden

• Borwein, Peter (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag . ISBN. 0-387-95444-9.Zbl 1020.12001  .Cap. 3.
• Boyd, David (2001) [1994], "Número de Salem", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• MJ Mossinghoff. "Números pequeños de Salem" . Consultado el 7 de enero de 2016 .
• Salem, R. (1963). Números algebraicos y análisis de Fourier . Monografías matemáticas de Heath. Boston, MA: DC Heath and Company . Zbl  0126.07802.