Entropía topológica

En matemáticas , la entropía topológica de un sistema dinámico topológico es un número real extendido no negativo que es una medida de la complejidad del sistema. La entropía topológica fue introducida por primera vez en 1965 por Adler , Konheim y McAndrew. Su definición se basó en la definición de Kolmogorov-Sinai , o entropía métrica . Más tarde, Dinaburg y Rufus Bowen dieron una definición diferente, más débil, que recuerda a la dimensión de Hausdorff . La segunda definición aclaró el significado de la entropía topológica: para un sistema dado por una función iterada , la entropía topológica representa la tasa de crecimiento exponencial del número de órbitas distinguibles de los iterados. Un principio variacional importante relaciona las nociones de entropía topológica y de teoría de la medida.

Definición

Un sistema dinámico topológico consta de un espacio topológico de Hausdorff X (generalmente asumido como compacto ) y una autoaplicación continua f  :  X  →  X . Su entropía topológica es un número real extendido no negativo que se puede definir de varias maneras, que se sabe que son equivalentes.

Definición de Adler, Konheim y McAndrew

Sea X un espacio topológico de Hausdorff compacto. Para cualquier cobertura abierta finita C de X , sea H ( C ) el logaritmo (usualmente en base 2) del menor número de elementos de C que cubren a X . ^[1] Para dos coberturas C y D , sea su refinamiento común (mínimo), que consiste en todas las intersecciones no vacías de un conjunto de C con un conjunto de D , y de manera similar para coberturas múltiples. ${\displaystyle C\vee D}$

Para cualquier mapa continuo f : X  →  X , existe el siguiente límite:

${\displaystyle H(f,C)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H(C\vee f^{-1}C\vee \ldots \vee f^{-n+1}C).}$

Entonces, la entropía topológica de f , denotada h ( f ), se define como el supremo de H ( f , C ) sobre todas las posibles coberturas finitas C de X .

Interpretación

Las partes de C pueden verse como símbolos que describen (parcialmente) la posición de un punto x en X : a todos los puntos x ∈ C _i se les asigna el símbolo C _i . Imaginemos que la posición de x se mide (imperfectamente) mediante un determinado dispositivo y que cada parte de C corresponde a un posible resultado de la medición. representa entonces el logaritmo del número mínimo de "palabras" de longitud n necesarias para codificar los puntos de X según el comportamiento de sus primeras n − 1 iteraciones bajo f , o, dicho de otro modo, el número total de "escenarios" del comportamiento de estas iteraciones, tal como los "ve" la partición C . Por tanto, la entropía topológica es la cantidad media (por iteración) de información necesaria para describir iteraciones largas de la función f . ${\displaystyle H(C\vee f^{-1}C\vee \ldots \vee f^{-n+1}C)}$

Definición de Bowen y Dinaburg

Esta definición ^{[2] [3] [4]} utiliza una métrica en X (en realidad, bastaría con una estructura uniforme ). Se trata de una definición más limitada que la de Adler, Konheim y McAndrew ^[5], ya que requiere la estructura métrica adicional en el espacio topológico (pero es independiente de la elección de las métricas que generan la topología dada). Sin embargo, en la práctica, la entropía topológica de Bowen-Dinaburg suele ser mucho más fácil de calcular.

Sea ( X , d ) un espacio métrico compacto y f : X  →  X una función continua . Para cada número natural n , se define una nueva métrica d _n en X mediante la fórmula

${\displaystyle d_{n}(x,y)=\max\{d(f^{i}(x),f^{i}(y)):0\leq i<n\}.}$

Dados cualesquiera ε > 0 y n ≥ 1, dos puntos de X están ε -cercanos con respecto a esta métrica si sus primeras n iteraciones están ε -cercanas. Esta métrica permite distinguir en una vecindad de una órbita los puntos que se alejan entre sí durante la iteración de los puntos que viajan juntos. Se dice que un subconjunto E de X está ( n , ε )-separado si cada par de puntos distintos de E está al menos ε separado en la métrica d _n . Denotemos por N ( n , ε ) la cardinalidad máxima de un conjunto ( n , ε )-separado. La entropía topológica de la función f se define por

${\displaystyle h(f)=\lim _{\epsilon \to 0}\left(\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log N(n,\epsilon )\right).}$

Interpretación

Como X es compacto, N ( n , ε ) es finito y representa el número de segmentos orbitales distinguibles de longitud n , suponiendo que no podemos distinguir puntos dentro de ε entre sí. Un argumento sencillo muestra que el límite que define h ( f ) siempre existe en la línea real extendida (pero podría ser infinito). Este límite puede interpretarse como la medida del crecimiento exponencial promedio del número de segmentos orbitales distinguibles. En este sentido, mide la complejidad del sistema dinámico topológico ( X , f ). Rufus Bowen extendió esta definición de entropía topológica de una manera que permite que X no sea compacto bajo el supuesto de que la función f es uniformemente continua .

Propiedades

• La entropía topológica es un invariante de los sistemas dinámicos topológicos, lo que significa que se conserva mediante la conjugación topológica .
• Sea un homeomorfismo expansivo de un espacio métrico compacto y sea un generador topológico. Entonces la entropía topológica de relativa a es igual a la entropía topológica de , es decir ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle h(f)=H(f,C).}$

• Sea una transformación continua de un espacio métrico compacto , sea la entropía teórica de la medida de con respecto a y sea el conjunto de medidas de probabilidad de Borel totalmente invariantes en X . Entonces el principio variacional para la entropía ^[6] establece que ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h_{\mu }(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle M(X,f)}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle h(f)=\sup _{\mu \in M(X,f)}h_{\mu }(f)}$.

• En general no se alcanza el máximo de las cantidades sobre el conjunto , pero si además el mapa de entropía es semicontinuo superior , entonces existe una medida de entropía máxima, es decir, una medida en con . ${\displaystyle h_{\mu }}$ ${\displaystyle M(X,f)}$ ${\displaystyle \mu \mapsto h_{\mu }(f):M(X,f)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle M(X,f)}$ ${\displaystyle h_{\mu }(f)=h(f)}$
• Si tiene una medida única de entropía máxima , entonces es ergódico con respecto a . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$

Ejemplos

• Sea por el desplazamiento k bilateral completo en los símbolos . Sea la partición de en cilindros de longitud 1. Entonces es una partición de para todos y el número de conjuntos es respectivamente. Las particiones son cubiertas abiertas y es un generador topológico. Por lo tanto ${\displaystyle \sigma :\Sigma _{k}\rightarrow \Sigma _{k}}$ ${\displaystyle x_{n}\mapsto x_{n-1}}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle C=\{[1],\dots ,[k]\}}$ ${\displaystyle \Sigma _{k}}$ ${\displaystyle \bigvee _{j=0}^{n-1}\sigma ^{-j}(C)}$ ${\displaystyle \Sigma _{k}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle h(\sigma )=H(\sigma ,C)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\log k^{n}=\log k}$La entropía teórica de la medida de Bernoulli también es . Por lo tanto, es una medida de entropía máxima. Además, se puede demostrar que no existen otras medidas de entropía máxima. ${\displaystyle \left({\frac {1}{k}},\dots ,{\frac {1}{k}}\right)}$ ${\displaystyle \log k}$

• Sea una matriz irreducible con entradas en y sea el subdesplazamiento correspondiente de tipo finito . Entonces, donde es el valor propio positivo más grande de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle \sigma :\Sigma _{A}\rightarrow \Sigma _{A}}$ ${\displaystyle h(\sigma )=\log \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$

Notas

1. Dado que X es compacto, H ( C ) es siempre finito, incluso para una cobertura infinita C . El uso de coberturas arbitrarias produce el mismo valor de entropía.
2. Bowen, Rufus (1971). "Entropía para endomorfismos de grupo y espacios homogéneos". Transacciones de la American Mathematical Society . 153 : 401–414. doi : 10.1090/S0002-9947-1971-0274707-X . ISSN  0002-9947.
3. Bowen, Rufus (1971). "Puntos periódicos y medidas para difeomorfismos del axioma A". Transactions of the American Mathematical Society . 154 : 377–397. doi :10.2307/1995452. ISSN  0002-9947. JSTOR  1995452.
4. Dinaburg, Efim (1970). "RELACIÓN ENTRE ENTROPÍA TOPOLÓGICA Y ENTROPÍA MÉTRICA". Doklady Akademii Nauk SSSR . 170 : 19.
5. Adler, RL; Konheim, AG; McAndrew, MH (1965). "Entropía topológica". Transacciones de la American Mathematical Society . 114 (2): 309. doi : 10.1090/S0002-9947-1965-0175106-9 . ISSN  0002-9947.
6. Goodman, TNT (1971). "Relacionar la entropía topológica y la entropía de medida" . Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 3 (2): 176–180. doi :10.1112/blms/3.2.176. ISSN  1469-2120.

Véase también

• Teoría del amasado de Milnor-Thurston
• Para la medida de correlaciones en sistemas con orden topológico, véase Entropía de entrelazamiento topológico.
• Dimensión media

Referencias

• Adler, RL; Konheim, Allan G.; McAndrew, MH (1965). "Entropía topológica". Transacciones de la American Mathematical Society . 114 (2): 309–319. doi : 10.2307/1994177 . JSTOR  1994177. Zbl  0127.13102.
• Dmitri Anosov (2001) [1994], "Entropía topológica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Roy Adler, Tomasz Downarowicz, Michał Misiurewicz, Entropía topológica en Scholarpedia
• Walters, Peter (1982). Introducción a la teoría ergódica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 79. Springer-Verlag . ISBN. 0-387-95152-0.Zbl 0475.28009  .

Enlaces externos

• http://www.scholarpedia.org/article/Topological_entropy

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