Dimensión media

En matemáticas , la dimensión media (topológica) de un sistema dinámico topológico es un número real extendido no negativo que es una medida de la complejidad del sistema. La dimensión media fue introducida por primera vez en 1999 por Gromov . ^[1] Poco después fue desarrollado y estudiado sistemáticamente por Lindenstrauss y Weiss . ^[2] En particular, demostraron el siguiente hecho clave: un sistema con entropía topológica finita tiene dimensión media cero. Para varios sistemas dinámicos topológicos con entropía topológica infinita, la dimensión media se puede calcular o al menos limitar desde abajo y desde arriba. Esto permite utilizar la dimensión media para distinguir entre sistemas con entropía topológica infinita. La dimensión media también está relacionada con el problema de incrustar sistemas dinámicos topológicos en espacios de desplazamiento (sobre cubos euclidianos).

Definición general

Un sistema dinámico topológico consta de un espacio topológico compacto de Hausdorff y un automapa continuo . Denotemos la colección de cubiertas finitas abiertas de . Para definir su orden por ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha \in {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \operatorname {ord} (\alpha )=\max _{x\in X}\sum _{U\in \alpha }1_{U}(x)-1}$

Una cubierta finita abierta refina , denotada , si para cada , hay tal que . Dejar ${\displaystyle \textstyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle \beta \succ \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle V\in \beta }$ ${\displaystyle \textstyle U\in \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle V\subset U}$

${\displaystyle D(\alpha )=\min _{\beta \succ \alpha }\operatorname {ord} (\beta )}$

Tenga en cuenta que, en términos de esta definición, la dimensión de cobertura de Lebesgue está definida por . ${\displaystyle \dim _{\mathrm {Leb} }(X)=\sup _{\alpha \in {\mathcal {O}}}D(\alpha )}$

Sean cubiertas finitas abiertas de . La unión de y es la cobertura finita abierta de todos los conjuntos de la forma donde , . De manera similar, se puede definir la unión de cualquier colección finita de cubiertas abiertas de . ${\displaystyle \textstyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle A\cap B}$ ${\displaystyle \textstyle A\in \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle B\in \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{n}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \textstyle X}$

La dimensión media es el número real extendido no negativo:

${\displaystyle \operatorname {mdim} (X,T)=\sup _{\alpha \in {\mathcal {\mathcal {O}}}}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {D(\alpha ^{n})}{n}}}$

dónde ${\displaystyle \textstyle \alpha ^{n}=\bigvee _{i=0}^{n-1}T^{-i}\alpha .}$

Definición en el caso métrico

Si el espacio topológico compacto de Hausdorff es metrizable y es una métrica compatible, se puede dar una definición equivalente. Para , sea el entero mínimo no negativo , tal que exista una cubierta finita abierta de por conjuntos de diámetro menor que tal que cualquier conjunto distinto de esta cubierta tenga una intersección vacía. Tenga en cuenta que, en términos de esta definición, la dimensión de cobertura de Lebesgue está definida por . Dejar ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Widim} _{\varepsilon }(X,d)}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \textstyle n+2}$ ${\displaystyle \textstyle \dim _{\mathrm {Leb} }(X)=\sup _{\varepsilon >0}\operatorname {Widim} _{\varepsilon }(X,d)}$

${\displaystyle d_{n}(x,y)=\max _{0\leq i\leq n-1}d(T^{i}x,T^{i}y)}$

La dimensión media es el número real extendido no negativo:

${\displaystyle \operatorname {mdim} (X,d)=\sup _{\varepsilon >0}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\operatorname {Widim} _{\varepsilon }(X,d_{n})}{n}}}$

Propiedades

• La dimensión media es una invariante de los sistemas dinámicos topológicos que toman valores en . ${\displaystyle \textstyle [0,\infty ]}$
• Si la dimensión de cobertura de Lebesgue del sistema es finita, entonces su dimensión media desaparece, es decir . ${\displaystyle \textstyle \dim _{\mathrm {Leb} }(X)<\infty \Rightarrow \operatorname {mdim} (X,T)=0}$
• Si la entropía topológica del sistema es finita, entonces su dimensión media desaparece, es decir . ^[2] ${\displaystyle \textstyle \dim _{\mathrm {top} }(X,T)<\infty \Rightarrow \operatorname {mdim} (X,T)=0}$

Ejemplo

Dejar . Entonces, sea y el homeomorfismo de desplazamiento . ${\displaystyle \textstyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \textstyle X=([0,1]^{d})^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \textstyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \textstyle (\ldots ,x_{-2},x_{-1},\mathbf {x_{0}} ,x_{1},x_{2},\ldots )\rightarrow (\ldots ,x_{-1},x_{0},\mathbf {x_{1}} ,x_{2},x_{3},\ldots )}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {mdim} (X,T)=d}$

Ver también

• Teoría de las dimensiones
• Entropía topológica
• Espacios universales (en topología y dinámica topológica)

Referencias

1. Gromov, Misha (1999). "Invariantes topológicas de sistemas dinámicos y espacios de mapas holomorfos I". Física Matemática, Análisis y Geometría . 2 (4): 323–415. doi : 10.1023/A:1009841100168 . S2CID  117100302.
2. Lindenstrauss, Elon; Weiss, Benjamín (1 de diciembre de 2000). "Dimensión topológica media". Revista Israelí de Matemáticas . 115 (1). pag. 14: 1–24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552 . doi : 10.1007/BF02810577 . ISSN  0021-2172. 

• Adler, R.; Downarowicz, T.; Misiurewicz, M. (2008). "Entropía topológica". Scholarpedia . 3 (2): 2200. Código bibliográfico : 2008SchpJ...3.2200A. doi : 10.4249/scholarpedia.2200 .

enlaces externos

¿Qué es la dimensión media?