Norma de Bombieri

En matemáticas , la norma de Bombieri , llamada así por Enrico Bombieri , es una norma sobre polinomios homogéneos con coeficiente en o (también existe una versión para polinomios univariados no homogéneos). Esta norma tiene muchas propiedades notables, las más importantes se enumeran en este artículo. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Producto escalar de Bombieri para polinomios homogéneos

Para comenzar con la geometría, el producto escalar de Bombieri para polinomios homogéneos con N variables se puede definir de la siguiente manera usando notación multiíndice : por definición, diferentes monomios son ortogonales, de modo que si $${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{N}}$$ $${\displaystyle \langle X^{\alpha }|X^{\beta }\rangle =0}$$ ${\displaystyle \alpha \neq \beta ,}$

mientras que por definición $${\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {N} ^{N}}$$ $${\displaystyle \|X^{\alpha }\|^{2}={\frac {\alpha !}{|\alpha |!}}.}$$

En la definición anterior y en el resto de este artículo se aplica la siguiente notación:

si escribe y y $${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N})\in \mathbb {N} ^{N},}$$ $${\displaystyle |\alpha |=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}}$$ $${\displaystyle \alpha !=\prod _{i=1}^{N}(\alpha _{i}!)}$$ $${\displaystyle X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}.}$$

Desigualdad de Bombieri

La propiedad fundamental de esta norma es la desigualdad de Bombieri:

sean dos polinomios homogéneos respectivamente de grado y con variables, entonces, se cumple la siguiente desigualdad: ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle d^{\circ }(P)}$ ${\displaystyle d^{\circ }(Q)}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {d^{\circ }(P)!d^{\circ }(Q)!}{(d^{\circ }(P)+d^{\circ }(Q))!}}\|P\|^{2}\,\|Q\|^{2}\leq \|P\cdot Q\|^{2}\leq \|P\|^{2}\,\|Q\|^{2}.}$

Aquí la desigualdad de Bombieri es el lado izquierdo de la afirmación anterior, mientras que el lado derecho significa que la norma de Bombieri es una norma algebraica . Dar el lado izquierdo no tiene sentido sin esa restricción, porque en este caso, podemos lograr el mismo resultado con cualquier norma multiplicando la norma por un factor bien elegido.

Esta desigualdad multiplicativa implica que el producto de dos polinomios está acotado desde abajo por una cantidad que depende de los polinomios multiplicandos. Por lo tanto, este producto no puede ser arbitrariamente pequeño. Esta desigualdad multiplicativa es útil en geometría algebraica métrica y teoría de números .

Invariancia por isometría

Otra propiedad importante es que la norma de Bombieri es invariante por composición con una isometría :

Sean dos polinomios homogéneos de grado con variables y sea una isometría de (o ). Entonces tenemos . Cuando esto implica . ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ ${\displaystyle \langle P\circ h|Q\circ h\rangle =\langle P|Q\rangle }$ ${\displaystyle P=Q}$ ${\displaystyle \|P\circ h\|=\|P\|}$

Este resultado se desprende de una bonita formulación integral del producto escalar:

${\displaystyle \langle P|Q\rangle ={d+N-1 \choose N-1}\int _{S^{N}}P(Z){\overline {Q(Z)}}\,d\sigma (Z)}$

donde es la esfera unitaria de con su medida canónica . ${\displaystyle S^{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ ${\displaystyle d\sigma (Z)}$

Otras desigualdades

Sea un polinomio homogéneo de grado con variables y sea . Tenemos: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z\in \mathbb {C} ^{N}}$

• ${\displaystyle |P(Z)|\leq \|P\|\,\|Z\|_{E}^{d}}$
• ${\displaystyle \|\nabla P(Z)\|_{E}\leq d\|P\|\,\|Z\|_{E}^{d}}$

donde denota la norma euclidiana. ${\displaystyle \|\cdot \|_{E}}$

La norma de Bombieri es útil en la factorización de polinomios, donde tiene algunas ventajas sobre la medida de Mahler , según Knuth (Ejercicios 20-21, páginas 457-458 y 682-684).

Véase también

• Colector Grassmann
• Espacio resistente
• Polinomio homogéneo
• Incrustación de Plücker

Referencias

• Beauzamy, Bernard; Bombieri, Enrico ; Enflo, Per ; Montgomery, Hugh L. (1990). "Productos de polinomios en muchas variables" (PDF) . Revista de teoría de números . 36 (2): 219–245. doi :10.1016/0022-314X(90)90075-3. hdl : 2027.42/28840 . MR  1072467.
• Beauzamy, Bernard; Enflo, Per ; Wang, Paul (octubre de 1994). "Estimaciones cuantitativas para polinomios en una o varias variables: del análisis y la teoría de números al cálculo simbólico y masivamente paralelo" (PDF) . Revista de Matemáticas . 67 (4): 243–257. doi :10.2307/2690843. JSTOR  2690843. MR  1300564.
• Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Alturas en geometría diofántica . Cambridge UP ISBN 0-521-84615-3.Señor 2216774  .
• Knuth, Donald E. (1997). " 4.6.2 Factorización de polinomios ". Algoritmos seminuméricos . El arte de la programación informática . Vol. 2 (tercera edición). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. págs. 439–461, 678–691. ISBN 0-201-89684-2.Sr. 0633878  .