Conjetura de Lehmer

Propuesta de límite inferior para la medida de Mahler para polinomios con coeficientes enteros

La conjetura de Lehmer , también conocida como el problema de la medida de Mahler de Lehmer, es un problema de teoría de números planteado por Derrick Henry Lehmer . ^[1] La conjetura afirma que existe una constante absoluta tal que todo polinomio con coeficientes enteros satisface una de las siguientes propiedades: ${\displaystyle \mu >1}$ ${\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]}$

• La medida de Mahler ^[2] de es mayor o igual a . ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \mu }$
• ${\displaystyle P(x)}$es un múltiplo entero de un producto de polinomios ciclotómicos o del monomio , en cuyo caso . (De manera equivalente, cada raíz compleja de es una raíz de unidad o cero). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1}$ ${\displaystyle P(x)}$

Hay varias definiciones de la medida de Mahler, una de las cuales es factorizar como ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D}),}$

y luego establecer

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|).}$

La medida de Mahler más pequeña conocida (mayor que 1) es la del "polinomio de Lehmer".

${\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1\,,}$

para el cual la medida de Mahler es el número de Salem ^[3]

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1.176280818\dots \ .}$

Se cree ampliamente que este ejemplo representa el verdadero valor mínimo: es decir, en la conjetura de Lehmer. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \mu =1.176280818\dots }$

Motivación

Considere la medida de Mahler para una variable y la fórmula de Jensen muestra que si entonces ${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|).}$

En este párrafo se denota　lo que también se llama medida de Mahler . ${\displaystyle m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))}$

Si tiene coeficientes enteros, esto demuestra que es un número algebraico , por lo que es el logaritmo de un entero algebraico. También demuestra que y que si entonces es un producto de polinomios ciclotómicos, es decir, polinomios mónicos cuyas raíces son todas raíces de la unidad, o un polinomio monomial de, es decir, una potencia para algún . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)}$ ${\displaystyle m(P)}$ ${\displaystyle m(P)\geq 0}$ ${\displaystyle m(P)=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Lehmer notó ^{[1] [6]} que es un valor importante en el estudio de las secuencias de números enteros para mónico . Si no se anula en el círculo entonces . Si se anula en el círculo pero no en ninguna raíz de la unidad, entonces la misma convergencia se cumple por el teorema de Baker (de hecho, un resultado anterior de Gelfond es suficiente para esto, como señaló Lind en relación con su estudio de los automorfismos torales cuasihiperbólicos ^[7] ). ^[8] Como resultado, Lehmer se vio obligado a preguntar ${\displaystyle m(P)=0}$ ${\displaystyle \Delta _{n}={\text{Res}}(P(x),x^{n}-1)=\prod _{i=1}^{D}(\alpha _{i}^{n}-1)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lim |\Delta _{n}|^{1/n}={\mathcal {M}}(P)}$ ${\displaystyle P}$

¿Existe una constante tal que siempre que no sea ciclotómica? ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle m(P)>c}$ ${\displaystyle P}$

o

Dado , ¿existen coeficientes enteros para los cuales ? ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 0<m(P)<c}$

Se han dado algunas respuestas positivas, como las que se indican a continuación, pero la conjetura de Lehmer aún no está completamente probada y sigue siendo una cuestión de mucho interés.

Resultados parciales

Sea un polinomio mónico irreducible de grado . ${\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle D}$

Smyth ^[9] demostró que la conjetura de Lehmer es verdadera para todos los polinomios que no son recíprocos , es decir, todos los polinomios que satisfacen . ${\displaystyle x^{D}P(x^{-1})\neq P(x)}$

Blanksby y Montgomery ^[10] y Stewart ^[11] demostraron independientemente que existe una constante absoluta tal que o bien ^[12] ${\displaystyle C>1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1}$

${\displaystyle \log {\mathcal {M}}(P(x))\geq {\frac {C}{D\log D}}.}$

Dobrowolski ^[13] mejoró esto a

${\displaystyle \log {\mathcal {M}}(P(x))\geq C\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3}.}$

Dobrowolski obtuvo el valor C ≥ 1/1200 y asintóticamente C > 1-ε para todos los D suficientemente grandes . Voutier en 1996 obtuvo C ≥ 1/4 para D ≥ 2. ^[14]

Análogos elípticos

Sea una curva elíptica definida sobre un cuerpo numérico , y sea la función de altura canónica . La altura canónica es el análogo para las curvas elípticas de la función . Tiene la propiedad de que si y solo si es un punto de torsión en . La conjetura elíptica de Lehmer afirma que existe una constante tal que ${\displaystyle E/K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))}$ ${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)=0}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle E({\bar {K}})}$ ${\displaystyle C(E/K)>0}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}}$para todos los puntos sin torsión , ${\displaystyle Q\in E({\bar {K}})}$

donde . Si la curva elíptica E tiene multiplicación compleja , entonces se cumple el análogo del resultado de Dobrowolski: ${\displaystyle D=[K(Q):K]}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3},}$

Debido a Laurent. ^[15] Para curvas elípticas arbitrarias, el resultado más conocido es

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{3}(\log D)^{2}}},}$

debido a Masser . ^{[16] Para curvas elípticas con} j-invariante no integral , esto se ha mejorado a

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{2}(\log D)^{2}}},}$

por Hindry y Silverman . ^[17]

Resultados restringidos

Se conocen resultados más fuertes para clases restringidas de polinomios o números algebraicos.

Si P ( x ) no es recíproco entonces

${\displaystyle M(P)\geq M(x^{3}-x-1)\approx 1.3247}$

y esto es claramente lo mejor posible. ^[18] Si además todos los coeficientes de P son impares entonces ^[19]

${\displaystyle M(P)\geq M(x^{2}-x-1)\approx 1.618.}$

Para cualquier número algebraico α , sea la medida de Mahler del polinomio mínimo de α . Si el campo Q ( α ) es una extensión de Galois de Q , entonces la conjetura de Lehmer es válida para . ^[19] ${\displaystyle M(\alpha )}$ ${\displaystyle P_{\alpha }}$ ${\displaystyle P_{\alpha }}$

Relación con la estructura de los automorfismos de grupos compactos

Se sabe que la entropía de teoría de medidas de un automorfismo ergódico de un grupo abeliano metrizable compacto está dada por la medida logarítmica de Mahler de un polinomio con coeficientes enteros si es finito. ^[20] Como señaló Lind, esto significa que el conjunto de valores posibles de la entropía de tales acciones es la totalidad  o un conjunto contable dependiendo de la solución al problema de Lehmer. ^[21] Lind también demostró que el toro de dimensión infinita tiene automorfismos ergódicos de entropía positiva finita o solo tiene automorfismos de entropía infinita dependiendo de la solución al problema de Lehmer. Dado que un automorfismo de grupo compacto ergódico es mediblemente isomorfo a un desplazamiento de Bernoulli , y los desplazamientos de Bernoulli se clasifican hasta el isomorfismo medible por su entropía según el teorema de Ornstein , esto significa que el espacio de módulos de todos los automorfismos de grupo compacto ergódico hasta el isomorfismo medible es contable o incontable dependiendo de la solución al problema de Lehmer. ${\displaystyle (0,\infty ]}$

Referencias

1. Lehmer, DH (1933). "Factorización de ciertas funciones ciclotómicas". Ann. Math . 2. 34 (3): 461–479. doi :10.2307/1968172. hdl : 10338.dmlcz/128119 . ISSN  0003-486X. JSTOR  1968172. Zbl  0007.19904.
2. Smyth, Chris (2008). "La medida de Mahler de números algebraicos: un estudio". En McKee, James; Smyth, Chris (eds.). Teoría de números y polinomios . Cambridge University Press . págs. 322–349. ISBN 978-0-521-71467-9.
3. Borwein, Peter (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag . pág. 16. ISBN. 0-387-95444-9.Zbl 1020.12001  .
4. Smyth (2008) pág. 324
5. Everest, Graham ; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 104. Providence, RI : American Mathematical Society . p. 30. ISBN 0-8218-3387-1.Zbl 1033.11006  .
6. Boyd, David (1981). "Especulaciones sobre el alcance de la medida de Mahler". Canad. Math. Bull. 24 (4): 453–469. doi : 10.4153/CMB-1981-069-5 .
7. Lind, DA (1982). "Propiedades dinámicas de automorfismos torales cuasihiperbólicos". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 2 : 49–68. doi : 10.1017/s0143385700009573 . S2CID  120859454.
8. Everest, Graham; Ward, Thomas (1999). Alturas de polinomios y entropía en dinámica algebraica. Londres: Springer . doi :10.1007/978-1-4471-3898-3. ISBN . 1-85233-125-9.
9. Smyth, CJ (1971). "Sobre el producto de los conjugados fuera del círculo unitario de un entero algebraico". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 3 (2): 169–175. doi :10.1112/blms/3.2.169. Zbl  1139.11002.
10. Blanksby, PE; Montgomery, HL (1971). "Números enteros algebraicos cerca del círculo unitario". Acta Arith . 18 : 355–369. doi : 10.4064/aa-18-1-355-369 . Zbl  0221.12003.
11. Stewart, CL (1978). "Números enteros algebraicos cuyos conjugados se encuentran cerca del círculo unitario". Bull. Soc. Math. Francia . 106 : 169–176. doi : 10.24033/bsmf.1868 .
12. Smyth (2008) pág. 325
13. Dobrowolski, E. (1979). "Sobre una cuestión de Lehmer y el número de factores irreducibles de un polinomio". Acta Arith . 34 (4): 391–401. doi : 10.4064/aa-34-4-391-401 .
14. P. Voutier, Un límite inferior efectivo para la altura de números algebraicos, Acta Arith. 74 (1996), 81–95.
15. Smyth (2008) pág. 327
16. Masser, DW (1989). "Conteo de puntos de pequeña altura en curvas elípticas". Bull. Soc. Math. Fr. 117 ( 2): 247–265. doi : 10.24033/bsmf.2120 . Zbl  0723.14026.
17. Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (1990). "Sobre la conjetura de Lehmer para curvas elípticas". En Goldstein, Catherine (ed.). Sémin. Théor. Nombres, París/Fr. 1988-89 . Prog. Math. Vol. 91. págs. 103-116. ISBN 0-8176-3493-2.Zbl 0741.14013  .
18. Smyth (2008) pág. 328
19. Smyth (2008) pág. 329
20. Lind, Douglas; Schmidt, Klaus; Ward, Tom (1990). "Medida de Mahler y entropía para automorfismos conmutativos de grupos compactos". Inventiones Mathematicae . 101 : 593–629. Bibcode :1990InMat.101..593L. doi :10.1007/BF01231517. S2CID  17077751.
21. Lind, Douglas (1977). "La estructura de productos sesgados con automorfismos de grupo ergódicos". Revista israelí de matemáticas . 28 (3): 205–248. doi :10.1007/BF02759810. S2CID  120160631.

Enlaces externos

• http://wayback.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/ es una buena referencia sobre el problema.
• Weisstein, Eric W. "Problema de la medida Mahler de Lehmer". MundoMatemático .