Función de Möbius

Función multiplicativa en la teoría de números

La función de Möbius ${\displaystyle \mu (n)}$ es una función multiplicativa en la teoría de números introducida por el matemático alemán August Ferdinand Möbius (también transliterado Moebius ) en 1832. ^{[i] [ii] [2]} Es omnipresente en la teoría de números analítica y elemental y aparece con mayor frecuencia como parte de su homónima, la fórmula de inversión de Möbius . Tras el trabajo de Gian-Carlo Rota en la década de 1960, se introdujeron generalizaciones de la función de Möbius en la combinatoria, y se denotan de manera similar . ${\displaystyle \mu (x)}$

Definición

La función de Möbius está definida por ^[3]

$${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\(-1)^{k}&{\text{if }}n{\text{ is the product of }}k{\text{ distinct primes}}\\0&{\text{if }}n{\text{ is divisible by a square}}>1\end{cases}}}$$

La función de Möbius se puede representar alternativamente como

${\displaystyle \mu (n)=\delta _{\omega (n)\Omega (n)}\lambda (n),}$

donde es el delta de Kronecker , es la función de Liouville , es el número de divisores primos distintos de y es el número de factores primos de , contados con multiplicidad. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \lambda (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n}$

Otra caracterización de Gauss es la suma de todas las raíces primitivas . ^[4]

Valores

Los valores de los primeros 50 números positivos son ${\displaystyle \mu (n)}$

Los primeros 50 valores de la función se representan gráficamente a continuación:

Los 50 primeros valores de ${\displaystyle \mu (n)}$

Los valores mayores se pueden consultar en:

• Wolframalfa
• El archivo b de OEIS

Aplicaciones

Serie matemática

La serie de Dirichlet que genera la función de Möbius es la inversa (multiplicativa) de la función zeta de Riemann ; si es un número complejo con parte real mayor que 1 tenemos ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

Esto se puede ver en su producto de Euler.

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }$

También:

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}};}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0;}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1;}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,}$¿Dónde está la constante de Euler ? ${\displaystyle \gamma }$

La serie de Lambert para la función de Möbius es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,}$

que converge para . Para el primo , también tenemos ${\displaystyle |q|<1}$ ${\displaystyle \alpha \geq 2}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}$

Teoría algebraica de números

Gauss ^[1] demostró que para un número primo la suma de sus raíces primitivas es congruente con . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu (p-1)\ (\mod p)}$

Si denota el campo finito de orden (donde es necesariamente una potencia prima), entonces el número de polinomios mónicos irreducibles de grado sobre está dado por ^[5] ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}.}$

La función de Möbius se utiliza en la fórmula de inversión de Möbius .

Física

La función de Möbius también surge en el modelo de supersimetría del gas primon o gas libre de Riemann . En esta teoría, las partículas fundamentales o "primones" tienen energías . En la segunda cuantificación , se consideran las excitaciones de múltiples partículas; estas vienen dadas por para cualquier número natural . Esto se desprende del hecho de que la factorización de los números naturales en primos es única. ${\displaystyle \log(p)}$ ${\displaystyle \log(n)}$ ${\displaystyle n}$

En el gas libre de Riemann puede existir cualquier número natural, si los primones se toman como bosones . Si se toman como fermiones , entonces el principio de exclusión de Pauli excluye a los cuadrados. El operador que distingue a los fermiones de los bosones no es otro que la función de Möbius . ${\displaystyle (-1)^{F}}$ ${\displaystyle \mu (n)}$

El gas libre de Riemann tiene otras conexiones interesantes con la teoría de números, incluido el hecho de que la función de partición es la función zeta de Riemann . Esta idea subyace al intento de Alain Connes de demostrar la hipótesis de Riemann . ^[6]

Propiedades

La función de Möbius es multiplicativa (es decir, siempre que y sean coprimos ). ${\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Demostración : Dados dos números coprimos , inducimos en . Si , entonces . De lo contrario, , por lo que ${\displaystyle m\geq n}$ ${\displaystyle mn}$ ${\displaystyle mn=1}$ ${\displaystyle \mu (mn)=1=\mu (m)\mu (n)}$ ${\displaystyle m>n\geq 1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{d|mn}\mu (d)\\&=\mu (mn)+\sum _{d|mn;d<mn}\mu (d)\\&{\stackrel {\text{induction}}{=}}\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m;d'|n}\mu (d)\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m}\mu (d)\sum _{d'|n}\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+0\end{aligned}}}$$

La suma de la función de Möbius sobre todos los divisores positivos de (incluidos ella misma y 1) es cero excepto cuando : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1.\end{cases}}}$

La igualdad anterior conduce a la importante fórmula de inversión de Möbius y es la razón principal por la que es relevante en la teoría de funciones multiplicativas y aritméticas. ${\displaystyle \mu }$

Otras aplicaciones de la combinatoria están relacionadas con el uso del teorema de enumeración de Pólya en grupos combinatorios y enumeraciones combinatorias. ${\displaystyle \mu (n)}$

Existe una fórmula ^[7] para calcular la función de Möbius sin conocer directamente la factorización de su argumento:

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

es decir, es la suma de las raíces primitivas -ésimas de la unidad . (Sin embargo, la complejidad computacional de esta definición es al menos la misma que la de la definición del producto de Euler). ${\displaystyle \mu (n)}$ ${\displaystyle n}$

Otras identidades satisfechas por la función de Möbius incluyen

${\displaystyle \sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \mu (k)=1}$

y

${\displaystyle \sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1}$.

El primero de ellos es un resultado clásico, mientras que el segundo se publicó en 2020. ^{[8] [9]} Se cumplen identidades similares para la función de Mertens .

Prueba de la fórmula para la suma de μ {\displaystyle \mu } sobre divisores

La fórmula

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1\end{cases}}}$

se puede escribir usando la convolución de Dirichlet como: donde es la identidad bajo la convolución . ${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Una forma de demostrar esta fórmula es notar que la convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es nuevamente multiplicativa. Por lo tanto, basta con demostrar la fórmula para potencias de primos. De hecho, para cualquier primo y para cualquier ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle 1*\mu (p^{k})=\sum _{d\mid p^{k}}\mu (d)=\mu (1)+\mu (p)+\sum _{1<m<=k}\mu (p^{m})=1-1+\sum 0=0=\varepsilon (p^{k})}$,

mientras que para ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle 1*\mu (1)=\sum _{d\mid 1}\mu (d)=\mu (1)=1=\varepsilon (1)}$.

Otras pruebas

Otra forma de probar esta fórmula es utilizando la identidad

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

La fórmula anterior es entonces una consecuencia del hecho de que las raíces ésimas de la unidad suman 0, ya que cada raíz ésima de la unidad es una raíz ésima de la unidad primitiva para exactamente un divisor de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

Sin embargo, también es posible demostrar esta identidad a partir de los primeros principios. Nótese primero que es trivialmente cierta cuando . Supóngase entonces que . Entonces hay una biyección entre los factores de para los cuales y los subconjuntos del conjunto de todos los factores primos de . El resultado afirmado se sigue del hecho de que cada conjunto finito no vacío tiene un número igual de subconjuntos de cardinalidad par e impar. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu (d)\neq 0}$ ${\displaystyle n}$

Este último hecho se puede demostrar fácilmente por inducción sobre la cardinalidad de un conjunto finito no vacío . Primero, si , hay exactamente un subconjunto de cardinalidad impar de , a saber, él mismo, y exactamente un subconjunto de cardinalidad par, a saber . A continuación, si , entonces dividimos los subconjuntos de en dos subclases dependiendo de si contienen o no algún elemento fijo en . Hay una biyección obvia entre estas dos subclases, apareando aquellos subconjuntos que tienen el mismo complemento relativo al subconjunto . Además, una de estas dos subclases consta de todos los subconjuntos del conjunto , y por lo tanto, por la hipótesis de inducción, tiene un número igual de subconjuntos de cardinalidad par e impar. Estos subconjuntos a su vez corresponden biyectivamente a los subconjuntos de que contienen cardinalidad par e impar . El paso inductivo se sigue directamente de estas dos biyecciones. ${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |S|=1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle |S|>1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle S}$

Un resultado relacionado es que los coeficientes binomiales exhiben entradas alternas de potencia par e impar que se suman simétricamente.

Pedido promedio

El valor medio (en el sentido de órdenes promedio) de la función de Möbius es cero. Esta afirmación es, de hecho, equivalente al teorema de los números primos . ^[10]

μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)} Secciones

${\displaystyle \mu (n)=0}$ si y solo si es divisible por el cuadrado de un primo. Los primeros números con esta propiedad son ${\displaystyle n}$

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, ... (secuencia A013929 en la OEIS ).

Si es primo, entonces , pero el recíproco no es cierto. El primer número no primo para el cual es . Los primeros números con tres factores primos distintos ( números esfénicos ) son ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu (n)=-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu (n)=-1}$ ${\displaystyle 30=2\times 3\times 5}$

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (secuencia A007304 en la OEIS ).

y los primeros números con 5 factores primos distintos son

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ... (secuencia A046387 en la OEIS ).

Función de Mertens

En teoría de números, otra función aritmética estrechamente relacionada con la función de Möbius es la función de Mertens , definida por

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$

para cada número natural n . Esta función está estrechamente vinculada con las posiciones de los ceros de la función zeta de Riemann . Véase el artículo sobre la conjetura de Mertens para obtener más información sobre la conexión entre y la hipótesis de Riemann . ${\displaystyle M(n)}$

De la fórmula

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

De ello se deduce que la función de Mertens viene dada por

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}$

¿Dónde está la secuencia de Farey de orden ? ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Esta fórmula se utiliza en la demostración del teorema de Franel-Landau . ^[11]

Generalizaciones

Álgebras de incidencia

En combinatoria , a cada conjunto parcialmente ordenado localmente finito (conjunto parcial) se le asigna un álgebra de incidencia . Un miembro destacado de esta álgebra es la "función de Möbius" de ese conjunto parcial. La función de Möbius clásica tratada en este artículo es esencialmente igual a la función de Möbius del conjunto de todos los números enteros positivos parcialmente ordenados por divisibilidad . Consulte el artículo sobre álgebras de incidencia para obtener la definición precisa y varios ejemplos de estas funciones de Möbius generales.

Función de Popovici

Constantin Popovici ^[12] definió una función de Möbius generalizada como la convolución de Dirichlet de la función de Möbius consigo misma. Por lo tanto, es nuevamente una función multiplicativa con ${\displaystyle \mu _{k}=\mu *\cdots *\mu }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mu _{k}\left(p^{a}\right)=(-1)^{a}{\binom {k}{a}}\ }$

donde el coeficiente binomial se toma como cero si . La definición puede extenderse a compleja leyendo el binomio como un polinomio en . ^[13] ${\displaystyle a>k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Implementaciones

• Matemática
• Máxima
• Geeksforgeeks C++, Python3, Java, C#, PHP, Javascript
• Código Rosetta
• Sabio

Véase también

• Función de Liouville
• Función de Mertens
• La suma de Ramanujan
• Número esfénico

Notas

1. Hardy & Wright, Notas sobre el cap. XVI: "... aparece implícitamente en los trabajos de Euler ya en 1748, pero Möbius, en 1832, fue el primero en investigar sus propiedades sistemáticamente". (Hardy & Wright 1980, Notas sobre el cap. XVI) ${\displaystyle \mu (n)}$
2. En las Disquisitiones Arithmeticae (1801) Carl Friedrich Gauss demostró que la suma de las raíces primitivas ( ) es , (ver #Propiedades y aplicaciones) pero no hizo más uso de la función. En particular, no utilizó la inversión de Möbius en las Disquisitiones . ^[1] Las Disquisitiones Arithmeticae han sido traducidas del latín al inglés y al alemán. La edición alemana incluye todos sus artículos sobre teoría de números: todas las pruebas de reciprocidad cuadrática, la determinación del signo de la suma de Gauss, las investigaciones sobre reciprocidad bicuadrática y notas inéditas. ${\displaystyle \mod p}$ ${\displaystyle \mu (p-1)}$

Citas

1. Gauss 1986, Art. 81.
2. Möbius 1832, págs. 105-123.
3. Abramowitz y Stegun 1972, pág. 826.
4. Weisstein, Eric W. "Función de Möbius". mathworld.wolfram.com . Consultado el 1 de octubre de 2024 .
5. Jacobson 2009, §4.13.
6. Bost y Connes 1995, págs. 411–457.
7. Hardy y Wright 1980, (16.6.4), pág. 239.
8. Apóstol 1976.
9. Kline2020.
10. Apóstol 1976, §3.9.
11. Edwards 1974, cap. 12.2.
12. Popovici 1963, págs. 493–499.
13. Sándor y Crstici 2004, pag. 107.

Fuentes

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1972) [1964]. Manual de funciones matemáticas: con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas [conferencia bajo los auspicios de la Fundación Nacional de Ciencias y el Instituto Tecnológico de Massachusetts] . Dover Books on Advanced Mathematics. Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Apostol, Tom M. (1976). Introducción a la teoría analítica de números . Textos de pregrado en matemáticas. Nueva York; Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3.MR  0434929.Zbl 0335.10001  .​
• Bost, J.-B.; Connes, Alain (1995). "Álgebras de Hecke, factores de tipo III y transiciones de fase con ruptura espontánea de simetría en teoría de números". Selecta Mathematica . Nueva serie. 1 (3): 411–457. doi :10.1007/BF01589495. S2CID  116418599.
• Deléglise, Marc; Rivat, Joël (1996). "Cálculo de la suma de la función de Möbius". Matemáticas experimentales . 5 (4): 291–295. doi :10.1080/10586458.1996.10504594. S2CID  574146.
• Edwards, Harold (1974). Función zeta de Riemann . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN. 0-486-41740-9.
• Gauss, Carl Friedrich (1965). Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos sobre teoría de números) . Traducido por Maser, H. (2ª ed.). Nueva York: Chelsea. ISBN 0-8284-0191-8.
• Gauss, Carl Friedrich (1986). Disquisitiones Arithemeticae . Traducido por Clarke, Arthur A. (corregida en la segunda edición). Nueva York: Springer . ISBN. 0-387-96254-9.
• Hardy, GH ; Wright, EM (1980) [Primera edición publicada en 1938]. Introducción a la teoría de números (5.ª ed.). Oxford: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-853171-5– vía Internet Archive .
• Kline, Jeffery (2020). "Sumas unitarias de las funciones de Möbius y Mertens" (PDF) . Journal of Integer Sequences . 23 (8): 1–17.
• Jacobson, Nathan (2009) [Publicado por primera vez en 1985]. Álgebra básica I (2.ª ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Klimov, NI (2001) [1994], "Función de Möbius", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Moebius, AF (1832). "Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 9 : 105-123.
• Pegg, Ed Jr (2003), "La función de Möbius (y los números sin cuadrados)", Ed Pegg's Math Games
• Popovici, Constantin P. (1963). "Una generalización de la función de Möbius". Studii şi Cercetări Matematice . 14 : 493–499. SEÑOR  0181602.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. ISBN 1-4020-2546-7.Zbl 1079.11001  .
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . págs. 187–226. ISBN 1-4020-4215-9.Zbl 1151.11300  .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función de Möbius". MundoMatemático .