onda de pelo

Primera base wavelet conocida

La onda de Haar

En matemáticas, la wavelet de Haar es una secuencia de funciones reescaladas de "forma cuadrada" que juntas forman una familia o base de wavelets . El análisis wavelet es similar al análisis de Fourier en que permite representar una función objetivo en un intervalo en términos de una base ortonormal . La secuencia de Haar ahora se reconoce como la primera base wavelet conocida y se utiliza ampliamente como ejemplo de enseñanza.

La secuencia de Haar fue propuesta en 1909 por Alfréd Haar . ^[1] Haar utilizó estas funciones para dar un ejemplo de un sistema ortonormal para el espacio de funciones integrables al cuadrado en el intervalo unitario  [0, 1]. El estudio de las wavelets, e incluso el término "wavelet", no llegó hasta mucho más tarde. Como caso especial de la ondícula de Daubechies , la ondícula de Haar también se conoce como Db1 .

La wavelet de Haar es también la wavelet más simple posible. La desventaja técnica de la wavelet de Haar es que no es continua y, por tanto, no diferenciable . Sin embargo, esta propiedad puede ser una ventaja para el análisis de señales con transiciones repentinas ( señales discretas ), como en la monitorización de fallos de herramientas en máquinas. ^[2]

La función de la onda madre de la onda de Haar se puede describir como ${\displaystyle \psi (t)}$

${\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Su función de escala se puede describir como ${\displaystyle \varphi (t)}$

${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Funciones Haar y sistema Haar.

Para cada par n , k de números enteros en , la función de Haar ψ _{n , k} se define en la recta real mediante la fórmula ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}t-k),\quad t\in \mathbb {R} .}$

Esta función se admite en el intervalo abierto a la derecha In , _{k =} [ k 2 − ^{n ,} ( k +1)2 ⁻ _n ⁾ , es decir , desaparece fuera de ese intervalo. Tiene integral 0 y norma 1 en el espacio de Hilbert L 2 ( ) ,   ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0,\quad \|\psi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1.}$

Las funciones de Haar son ortogonales por pares ,

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1}n_{2}}\delta _{k_{1}k_{2}},}$

donde representa el delta del Kronecker . Aquí está la razón de la ortogonalidad: cuando los dos intervalos de apoyo y no son iguales, entonces o son disjuntos, o bien el menor de los dos apoyos, digamos , está contenido en la mitad inferior o superior del otro intervalo, en cual la función permanece constante. En este caso se deduce que el producto de estas dos funciones de Haar es un múltiplo de la primera función de Haar, por lo tanto el producto tiene integral 0. ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}$ ${\displaystyle I_{n_{2},k_{2}}}$ ${\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}$ ${\displaystyle \psi _{n_{2},k_{2}}}$

El sistema Haar en la recta real es el conjunto de funciones.

${\displaystyle \{\psi _{n,k}(t)\;:\;n\in \mathbb {Z} ,\;k\in \mathbb {Z} \}.}$

Está completo en L ² ( ): El sistema de Haar sobre la recta es una base ortonormal en L ² ( ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Propiedades de las ondas de Haar

La wavelet de Haar tiene varias propiedades notables:

1. Cualquier función real continua con soporte compacto puede aproximarse uniformemente mediante combinaciones lineales de y sus funciones desplazadas. Esto se extiende a aquellos espacios funcionales donde cualquier función en ellos puede aproximarse mediante funciones continuas. ${\displaystyle \varphi (t),\varphi (2t),\varphi (4t),\dots ,\varphi (2^{n}t),\dots }$
2. Cualquier función real continua en [0, 1] se puede aproximar uniformemente en [0, 1] mediante combinaciones lineales de la función constante  1 y sus funciones desplazadas. ^[3] ${\displaystyle \psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{n}t),\dots }$
3. Ortogonalidad en la forma.

   ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }2^{(n+n_{1})/2}\psi (2^{n}t-k)\psi (2^{n_{1}}t-k_{1})\,dt=\delta _{nn_{1}}\delta _{kk_{1}}.}$

   Aquí, representa el delta del Kronecker . La función dual de ψ( t ) es la propia ψ( t ). ${\displaystyle \delta _{ij}}$
4. Las funciones wavelet/escalado con diferente escala n tienen una relación funcional: ^[4] ya que

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\varphi (2t)+\varphi (2t-1)\\[.2em]\psi (t)&=\varphi (2t)-\varphi (2t-1),\end{aligned}}}$

   se deduce que los coeficientes de escala n se pueden calcular mediante coeficientes de escala n+1 :
   Si y entonces ${\displaystyle \chi _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\varphi (2^{n}t-k)\,dt}$
   ${\displaystyle \mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{n}t-k)\,dt}$
   

   ${\displaystyle \chi _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)+\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}}$

   ${\displaystyle \mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)-\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}.}$

Sistema de Haar en el intervalo unitario y sistemas relacionados.

En esta sección, la discusión se restringe al intervalo unitario [0, 1] y a las funciones de Haar que se admiten en [0, 1]. El sistema de funciones considerado por Haar en 1910, ^[5] denominado sistema de Haar en [0, 1] en este artículo, consta del subconjunto de ondas de Haar definidas como

${\displaystyle \{t\in [0,1]\mapsto \psi _{n,k}(t)\;:\;n,k\in \mathbb {N} \cup \{0\},\;0\leq k<2^{n}\},}$

con la adición de la función constante 1 en [0, 1].

En términos del espacio de Hilbert , este sistema de Haar en [0, 1] es un sistema ortonormal completo, es decir , una base ortonormal , para el espacio L ² ([0, 1]) de funciones cuadradas integrables en el intervalo unitario.

El sistema de Haar en [0, 1] —con la función constante 1 como primer elemento, seguida de las funciones de Haar ordenadas según el orden lexicográfico de parejas ( n , k ) — es además una base monótona de Schauder para el espacio L p ( [0, 1]) cuando 1 ≤ p < ∞ . ^[6] Esta base es incondicional cuando 1 < p < ∞ . ^[7]

Existe un sistema de Rademacher relacionado que consta de sumas de funciones de Haar,

${\displaystyle r_{n}(t)=2^{-n/2}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}\psi _{n,k}(t),\quad t\in [0,1],\ n\geq 0.}$

Observe que | r _norte ( t ) | = 1 en [0, 1). Este es un sistema ortonormal pero no está completo. ^{[8] [9]} En el lenguaje de la teoría de la probabilidad , la secuencia de Rademacher es un ejemplo de una secuencia de variables aleatorias independientes de Bernoulli con media  0. La desigualdad de Khintchine expresa el hecho de que en todos los espacios L ^p ([0, 1] ), 1 ≤ p < ∞ , la secuencia de Rademacher es equivalente a la base del vector unitario en ℓ ² . ^[10] En particular, el tramo lineal cerrado de la secuencia de Rademacher en L ^p ([0, 1]), 1 ≤ p < ∞ , es isomorfo a ℓ ² .

El sistema Faber-Schauder

El sistema Faber-Schauder ^{[11] [12] [13]} es la familia de funciones continuas en [0, 1] que consta de la función constante  1 y de múltiplos de integrales indefinidas de las funciones del sistema Haar en [0, 1], elegido para tener la norma 1 en la norma máxima . Este sistema comienza con s ₀  =  1 , entonces s ₁ ( t ) = t es la integral indefinida que desaparece en 0 de la función  1 , primer elemento del sistema de Haar en [0, 1]. A continuación, para cada número entero n ≥ 0 , las funciones s _{n , k} están definidas por la fórmula

${\displaystyle s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}\int _{0}^{t}\psi _{n,k}(u)\,du,\quad t\in [0,1],\ 0\leq k<2^{n}.}$

Estas funciones s _{n , k} son continuas, lineales por partes _, soportadas por el intervalo In _{, k} que también soporta ψ _{n , k} . La función s _{n , k} es igual a 1 en el punto medio x _{n , k} del intervalo  _{In ,} k _{, lineal} en ambas mitades de ese intervalo. Toma valores entre 0 y 1 en todas partes.

El sistema Faber-Schauder es una base de Schauder para el espacio C ([0, 1]) de funciones continuas en [0, 1]. ^[6] Para cada  f en C ([0, 1]), la suma parcial

${\displaystyle f_{n+1}=a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\sum _{m=0}^{n-1}{\Bigl (}\sum _{k=0}^{2^{m}-1}a_{m,k}s_{m,k}{\Bigr )}\in C([0,1])}$

de la expansión en serie de f en el sistema Faber-Schauder es la función lineal continua por partes que concuerda con  f en los 2 ⁿ + 1 puntos k 2 ^{− n} , donde 0 ≤ k ≤ 2 ⁿ . A continuación, la fórmula

${\displaystyle f_{n+2}-f_{n+1}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}{\bigl (}f(x_{n,k})-f_{n+1}(x_{n,k}){\bigr )}s_{n,k}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{n,k}s_{n,k}}$

proporciona una manera de calcular la expansión de f paso a paso. Dado que f es uniformemente continua , la secuencia { f _n } converge uniformemente a f . De ello se deduce que la expansión en serie de Faber-Schauder de f converge en C ([0, 1]), y la suma de esta serie es igual a  f .

El sistema Franklin

El sistema Franklin se obtiene del sistema Faber-Schauder mediante el procedimiento de ortonormalización de Gram-Schmidt . ^{[14] [15]} Dado que el sistema Franklin tiene el mismo tramo lineal que el del sistema Faber-Schauder, este tramo es denso en C ([0, 1]), por lo tanto, en L ² ([0, 1]). Por tanto, el sistema de Franklin es una base ortonormal para L ² ([0, 1]), que consta de funciones lineales continuas por partes. P. Franklin demostró en 1928 que este sistema es una base de Schauder para C ([0, 1]). ^[16] El sistema de Franklin también es una base de Schauder incondicional para el espacio L ^p ([0, 1]) cuando 1 < p < ∞ . ^[17] El sistema de Franklin proporciona una base de Schauder en el álgebra de disco A ( D ). ^[17] Esto lo demostró Bočkarev en 1974, después de que la existencia de una base para el álgebra de discos permaneciera abierta durante más de cuarenta años. ^[18]

La construcción de Bočkarev de una base de Schauder en A ( D ) es la siguiente: sea  f una función de Lipschitz de valor complejo en [0, π]; entonces  f es la suma de una serie de cosenos con coeficientes absolutamente sumables . Sea  T ( f ) el elemento de A ( D ) definido por la serie de potencias complejas con los mismos coeficientes,

${\displaystyle \left\{f:x\in [0,\pi ]\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(nx)\right\}\longrightarrow \left\{T(f):z\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad |z|\leq 1\right\}.}$

La base de Bočkarev para A ( D ) está formada por las imágenes bajo  T de las funciones en el sistema de Franklin en [0, π]. La descripción equivalente de Bočkarev para el mapeo  T comienza extendiendo f a una función de Lipschitz  par g ₁ en [−π, π], identificada con una función de Lipschitz en el círculo unitario  T. A continuación, sea g ₂ la función conjugada de  g ₁ y defina T ( f ) como la función en  A ( D ) cuyo valor en la frontera T de  D es igual a  g ₁ + i g ₂ .

Cuando se trata de funciones continuas 1 periódicas, o más bien de funciones continuas f en [0, 1] tales que f (0) = f (1) , se elimina la función s ₁ ( t ) = t del sistema Faber-Schauder , para obtener el sistema periódico Faber-Schauder . El sistema periódico de Franklin se obtiene mediante ortonormalización del sistema periódico de Faber-Schauder. ^[19] Se puede probar el resultado de Bočkarev en A ( D ) demostrando que el sistema periódico de Franklin en [0, 2π] es una base para un espacio de Banach A _r isomorfo a A ( D ). ^[19] El espacio Ar consta de funciones continuas complejas en el círculo unitario _T cuya función conjugada también es continua.

matriz de pelo

La matriz de Haar 2×2 que está asociada con la wavelet de Haar es

${\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Usando la transformada wavelet discreta , se puede transformar cualquier secuencia de longitud par en una secuencia de vectores de dos componentes . Si se multiplica por la derecha cada vector con la matriz , se obtiene el resultado de una etapa de la transformada rápida de Haar-wavelet. Por lo general, se separan las secuencias s y d y se continúa transformando la secuencia s . La secuencia s a menudo se denomina parte de promedios , mientras que d se conoce como parte de detalles . ^[20] ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})}$ ${\displaystyle \left(\left(a_{0},a_{1}\right),\left(a_{2},a_{3}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle \left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)}$

Si uno tiene una secuencia de longitud múltiplo de cuatro, se pueden construir bloques de 4 elementos y transformarlos de manera similar con la matriz de Haar 4×4.

${\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}},}$

que combina dos etapas de la rápida transformada wavelet de Haar.

Compárese con una matriz de Walsh , que es una matriz 1/–1 no localizada.

Generalmente, la matriz de Haar 2N × 2N se puede derivar mediante la siguiente ecuación.

${\displaystyle H_{2N}={\begin{bmatrix}H_{N}\otimes [1,1]\\I_{N}\otimes [1,-1]\end{bmatrix}}}$

donde y es el producto de Kronecker . ${\displaystyle I_{N}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \otimes }$

El producto de Kronecker de , donde es una matriz m×n y es una matriz ap×q, se expresa como ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\dots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\dots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}$

A continuación se muestra una matriz de Haar de 8 puntos no normalizada ${\displaystyle H_{8}}$

${\displaystyle H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&0&0&0&0&\\0&0&0&0&1&1&-1&-1\\1&-1&0&0&0&0&0&0&\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0&\\0&0&0&0&0&0&1&-1\end{bmatrix}}.}$

Tenga en cuenta que la matriz anterior es una matriz de Haar no normalizada. La matriz de Haar requerida por la transformada de Haar debe normalizarse.

De la definición de la matriz de Haar se puede observar que, a diferencia de la transformada de Fourier , sólo tiene elementos reales (es decir, 1, -1 o 0) y no es simétrica. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

Tomemos como ejemplo la matriz de Haar de 8 puntos . La primera fila mide el valor promedio y la segunda fila mide un componente de baja frecuencia del vector de entrada. Las dos filas siguientes son sensibles a la primera y segunda mitad del vector de entrada respectivamente, lo que corresponde a componentes de frecuencia moderada. Las cuatro filas restantes son sensibles a las cuatro secciones del vector de entrada, que corresponden a componentes de alta frecuencia. ^[21] ${\displaystyle H_{8}}$ ${\displaystyle H_{8}}$ ${\displaystyle H_{8}}$

Transformación de pelo

La transformada de Haar es la más simple de las transformadas wavelet . Esta transformada multiplica cruzadamente una función contra la wavelet de Haar con varios cambios y estiramientos, como la transformada de Fourier multiplica cruzada una función contra una onda sinusoidal con dos fases y muchos estiramientos. ^{[22] [ se necesita aclaración ]}

Introducción

La transformada de Haar es una de las funciones de transformada más antiguas, propuesta en 1910 por el matemático húngaro Alfréd Haar . Resulta eficaz en aplicaciones como la compresión de señales e imágenes en ingeniería eléctrica e informática, ya que proporciona un enfoque simple y computacionalmente eficiente para analizar los aspectos locales de una señal.

La transformada de Haar se deriva de la matriz de Haar. A continuación se muestra un ejemplo de una matriz de transformación de Haar de 4 × 4.

${\displaystyle H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

La transformada de Haar puede considerarse como un proceso de muestreo en el que las filas de la matriz de transformación actúan como muestras de resolución cada vez más fina.

Compárese con la transformada de Walsh , que también es 1/–1, pero no está localizada.

Propiedad

La transformada de Haar tiene las siguientes propiedades

1. No hay necesidad de multiplicaciones. Sólo requiere sumas y hay muchos elementos con valor cero en la matriz de Haar, por lo que el tiempo de cálculo es corto. Es más rápida que la transformada de Walsh , cuya matriz se compone de +1 y −1.
2. La longitud de entrada y salida es la misma. Sin embargo, la longitud debe ser una potencia de 2, es decir . ${\displaystyle N=2^{k},k\in \mathbb {N} }$
3. Se puede utilizar para analizar la característica localizada de las señales. Debido a la propiedad ortogonal de la función de Haar, se pueden analizar los componentes de frecuencia de la señal de entrada.

Transformada de Haar y transformada de Haar inversa

La transformada de Haar y _n de una función de n entradas x _n es

${\displaystyle y_{n}=H_{n}x_{n}}$

La matriz de transformada de Haar es real y ortogonal. Por tanto, la transformada de Haar inversa se puede derivar mediante las siguientes ecuaciones.

${\displaystyle H=H^{*},H^{-1}=H^{T},{\text{ i.e. }}HH^{T}=I}$

¿ Dónde está la matriz identidad? Por ejemplo, cuando n = 4 ${\displaystyle I}$

${\displaystyle H_{4}^{T}H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\cdot \;{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Por tanto, la transformada de Haar inversa es

${\displaystyle x_{n}=H^{T}y_{n}}$

Ejemplo

Los coeficientes de la transformada de Haar de una señal de = 4 puntos se pueden encontrar como ${\displaystyle x_{4}=[1,2,3,4]^{T}}$

${\displaystyle y_{4}=H_{4}x_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

La señal de entrada puede entonces reconstruirse perfectamente mediante la transformada inversa de Haar.

${\displaystyle {\hat {x_{4}}}=H_{4}^{T}y_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}}$

Ver también

• Reducción de dimensiones
• matriz de Walsh
• transformada de Walsh
• Ondícula
• chirrido
• Señal
• Característica similar al pelo
• Onda de Strömberg
• Transformación diádica

Notas

1. ver pág. 361 en Haar (1910).
2. Lee, B.; Tarng, YS (1999). "Aplicación de la transformada wavelet discreta al seguimiento de fallos de herramientas en fresado frontal utilizando la corriente del motor del husillo". Revista internacional de tecnología de fabricación avanzada . 15 (4): 238–243. doi :10.1007/s001700050062. S2CID  109908427.
3. A diferencia de la afirmación anterior, este hecho no es obvio: ver p. 363 en Haar (1910).
4. Vidakovic, Brani (2010). Modelado estadístico mediante Wavelets . Serie Wiley en probabilidad y estadística (2 ed.). págs.60, 63. doi :10.1002/9780470317020. ISBN 9780470317020.
5. pág. 361 en Pelo (1910)
6. ver pág. 3 en J. Lindenstrauss , L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 . 
7. El resultado se debe a RE Paley , Una notable serie de funciones ortogonales (I) , Proc. Matemáticas de Londres. Soc. 34 (1931) págs. 241-264. Véase también pág. 155 en J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979), "Espacios clásicos de Banach II, espacios funcionales". Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 97 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08888-1 . 
8. "Sistema ortogonal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
9. Walter, Gilbert G.; Shen, Xiaoping (2001). Wavelets y otros sistemas ortogonales . Boca Ratón: Chapman. ISBN 1-58488-227-1.
10. ver, por ejemplo, pág. 66 en J. Lindenstrauss , L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 . 
11. Faber, Georg (1910), "Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar", Deutsche Math.-Ver (en alemán) 19 : 104-112. ISSN  0012-0456; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553
12. Schauder, Juliusz (1928), "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems", Mathematische Zeitschrift 28 : 317–320.
13. Golubov, BI (2001) [1994], "Sistema Faber-Schauder", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
14. ver Z. Ciesielski, Propiedades del sistema ortonormal de Franklin . Estudia Matemáticas. 23 1963 141–157.
15. Sistema Franklin. BI Golubov (creador), Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655
16. Philip Franklin, Un conjunto de funciones ortogonales continuas , Matemáticas. Ana. 100 (1928), 522-529. doi :10.1007/BF01448860
17. SV Bočkarev, Existencia de una base en el espacio de funciones analíticas en el disco y algunas propiedades del sistema de Franklin . Estera. SB. 95 (1974), 3-18 (ruso). Traducido en Matemáticas. URSS-Sb. 24 (1974), 1-16.
18. La pregunta aparece p. 238, §3 en el libro de Banach, Banach, Stefan (1932), Théorie des opérations linéaires, Monografie Matematyczne, vol. 1, Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej, Zbl  0005.20901. El álgebra de disco A ( D ) aparece como en el Ejemplo 10, p. 12 en el libro de Banach.
19. Ver pág. 161, III.D.20 y f. 192, III.E.17 en Wojtaszczyk, Przemysław (1991), Espacios de Banach para analistas , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 25, Cambridge: Cambridge University Press, págs. xiv+382, ISBN 0-521-35618-0
20. Ruch, David K.; Van Fleet, Patrick J. (2009). Teoría de las ondas: un enfoque elemental con aplicaciones . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-470-38840-2.
21. "pelo". Fourier.eng.hmc.edu. 30 de octubre de 2013. Archivado desde el original el 21 de agosto de 2012 . Consultado el 23 de noviembre de 2013 .
22. La transformación de Haar

Referencias

• Haar, Alfréd (1910), "Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme", Mathematische Annalen , 69 (3): 331–371, doi :10.1007/BF01456326, hdl : 2027/uc1.b2619563 , S2CID  120024038
• Charles K. Chui, Introducción a las Wavelets , (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1 
• Traducción al inglés del artículo fundamental de Haar: [1]

enlaces externos

• "Sistema Haar", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Implementación gratuita de filtrado de wavelets de Haar y demostración interactiva
• Eliminación de ruido y compresión de señal con pérdida de ondas de Haar libres

Transformación de pelo

• Kingsbury, Nick. "La transformación de Haar". Archivado desde el original el 19 de abril de 2006.
• Eck, David (31 de enero de 2006). "Applets de demostración de Haar Transform".
• Ames, Greg (7 de diciembre de 2002). "Compresión de imágenes" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 25 de enero de 2011.
• Aarón, Ana; Colina, Michael; Srivatsa, Anand. "MOSMAT 500. Un generador de fotomosaicos. 2. Teoría". Archivado desde el original el 18 de marzo de 2008.
• Wang, Ruye (4 de diciembre de 2008). "Transformación de cabello". Archivado desde el original el 21 de agosto de 2012.