distribución de Pareto

Distribución de probabilidad

La distribución de Pareto , que lleva el nombre del ingeniero civil , economista y sociólogo italiano Vilfredo Pareto , ^[2] es una distribución de probabilidad de ley potencial que se utiliza en la descripción de factores sociales , de control de calidad , científicos , geofísicos , actuariales y muchos otros tipos. fenómenos observables; El principio se aplicó originalmente para describir la distribución de la riqueza en una sociedad, ajustándose a la tendencia de que una gran parte de la riqueza está en manos de una pequeña fracción de la población. ^{[3] [4]} El principio de Pareto o "regla 80-20" que establece que el 80% de los resultados se deben al 20% de las causas fue nombrado en honor a Pareto, pero los conceptos son distintos y solo las distribuciones de Pareto con valor de forma ( α ) de log ₄ 5 ≈ 1,16 lo refleja con precisión. La observación empírica ha demostrado que esta distribución 80-20 se ajusta a una amplia gama de casos, incluidos los fenómenos naturales ^[5] y las actividades humanas. ^{[6] [7]}

Definiciones

Si X es una variable aleatoria con una distribución de Pareto (Tipo I), ^[8] entonces la probabilidad de que X sea mayor que algún número x , es decir, la función de supervivencia (también llamada función de cola), viene dada por

${\displaystyle {\overline {F}}(x)=\Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x<x_{\mathrm {m} },\end{cases}}}$

donde x _m es el valor mínimo posible (necesariamente positivo) de X y α es un parámetro positivo. La distribución de Pareto tipo I se caracteriza por un parámetro de escala x _m y un parámetro de forma α , que se conoce como índice de cola . Si esta distribución se utiliza para modelar la distribución de la riqueza, entonces el parámetro α se llama índice de Pareto .

Función de distribución acumulativa

Según la definición, la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria de Pareto con parámetros α y x _m es

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$

Función de densidad de probabilidad

Se deduce (por diferenciación ) que la función de densidad de probabilidad es

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$

Cuando se traza en ejes lineales, la distribución asume la familiar curva en forma de J que se aproxima asintóticamente a cada uno de los ejes ortogonales . Todos los segmentos de la curva son autosemejantes (sujetos a factores de escala apropiados). Cuando se traza en un gráfico log-log , la distribución se representa mediante una línea recta.

Propiedades

Momentos y función característica.

• El valor esperado de una variable aleatoria siguiendo una distribución de Pareto es

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \leq 1,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&\alpha >1.\end{cases}}}$

• La varianza de una variable aleatoria siguiendo una distribución de Pareto es

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \in (1,2],\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&\alpha >2.\end{cases}}}$

(Si α ≤ 1, la varianza no existe).

• Los momentos crudos son

${\displaystyle \mu _{n}'={\begin{cases}\infty &\alpha \leq n,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&\alpha >n.\end{cases}}}$

• La función generadora de momentos solo se define para valores no positivos t  ≤ 0 como

${\displaystyle M\left(t;\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)}$

${\displaystyle M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.}$

Por lo tanto, dado que la expectativa no converge en un intervalo abierto que lo contenga, decimos que la función generadora de momentos no existe. ${\displaystyle t=0}$

• La función característica viene dada por

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),}$

donde Γ( a ,  x ) es la función gamma incompleta .

Los parámetros pueden resolverse utilizando el método de los momentos . ^[9]

Distribuciones condicionales

La distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria distribuida por Pareto, dado el evento de que sea mayor o igual a un número particular  superior a , es una distribución de Pareto con el mismo índice de Pareto  pero con un mínimo  en lugar de . Esto implica que el valor esperado condicional (si es finito, es decir ) es proporcional a . En el caso de variables aleatorias que describen la vida útil de un objeto, esto significa que la esperanza de vida es proporcional a la edad y se denomina efecto Lindy o Ley de Lindy. ^[10] ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{\text{m}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{\text{m}}}$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle x_{1}}$

Un teorema de caracterización

Supongamos que son variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente cuya distribución de probabilidad se apoya en el intervalo para algunos . Supongamos que para todo , las dos variables aleatorias y son independientes. Entonces la distribución común es una distribución de Pareto. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc }$ ${\displaystyle [x_{\text{m}},\infty )}$ ${\displaystyle x_{\text{m}}>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle (X_{1}+\dotsb +X_{n})/\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$

Significado geometrico

La media geométrica ( G ) es ^[11]

${\displaystyle G=x_{\text{m}}\exp \left({\frac {1}{\alpha }}\right).}$

Significado armonico

La media armónica ( H ) es ^[11]

${\displaystyle H=x_{\text{m}}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).}$

Representación grafica

La característica distribución curva de ' cola larga ', cuando se representa en una escala lineal, enmascara la simplicidad subyacente de la función cuando se representa en un gráfico log-log , que luego toma la forma de una línea recta con gradiente negativo: se deduce de la fórmula para la función de densidad de probabilidad que para x ≥ x _m ,

${\displaystyle \log f_{X}(x)=\log \left(\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\right)=\log(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha })-(\alpha +1)\log x.}$

Como α es positivo, el gradiente −( α  + 1) es negativo.

Distribuciones relacionadas

Distribuciones de Pareto generalizadas

Existe una jerarquía ^{[8] [12]} de distribuciones de Pareto conocidas como distribuciones de Pareto tipo I, II, III, IV y Feller-Pareto. ^{[8] [12] [13]} El tipo IV de Pareto contiene el tipo I-III de Pareto como casos especiales. La distribución de Feller-Pareto ^{[12] [14]} generaliza el tipo IV de Pareto.

Tipos de Pareto I-IV

La jerarquía de distribución de Pareto se resume en la siguiente tabla comparando las funciones de supervivencia (FDC complementaria).

Cuando μ = 0, la distribución de Pareto Tipo II también se conoce como distribución de Lomax . ^[15]

En esta sección, el símbolo x _m ​​, utilizado antes para indicar el valor mínimo de x , se reemplaza por  σ .

El parámetro de forma α es el índice de la cola, μ es la ubicación, σ es la escala, γ es un parámetro de desigualdad. Algunos casos especiales de tipo Pareto (IV) son

${\displaystyle P(IV)(\sigma ,\sigma ,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha ),}$

${\displaystyle P(IV)(\mu ,\sigma ,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha ),}$

${\displaystyle P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma ).}$

La finitud de la media y la existencia y finitud de la varianza dependen del índice de cola α (índice de desigualdad γ ). En particular, los momentos δ fraccionarios son finitos para algunos δ > 0, como se muestra en la siguiente tabla, donde δ no es necesariamente un número entero.

Distribución de Feller-Pareto

Feller ^{[12] [14]} define una variable de Pareto mediante la transformación U  =  Y ⁻¹  − 1 de una variable aleatoria beta , Y , cuya función de densidad de probabilidad es

${\displaystyle f(y)={\frac {y^{\gamma _{1}-1}(1-y)^{\gamma _{2}-1}}{B(\gamma _{1},\gamma _{2})}},\qquad 0<y<1;\gamma _{1},\gamma _{2}>0,}$

donde B () es la función beta . Si

${\displaystyle W=\mu +\sigma (Y^{-1}-1)^{\gamma },\qquad \sigma >0,\gamma >0,}$

entonces W tiene una distribución de Feller-Pareto FP( μ , σ , γ , γ ₁ , γ ₂ ). ^[8]

Si y son variables Gamma independientes , otra construcción de una variable de Feller-Pareto (FP) es ^[16] ${\displaystyle U_{1}\sim \Gamma (\delta _{1},1)}$ ${\displaystyle U_{2}\sim \Gamma (\delta _{2},1)}$

${\displaystyle W=\mu +\sigma \left({\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right)^{\gamma }}$

y escribimos W ~ FP( μ , σ , γ , δ ₁ , δ ₂ ). Los casos especiales de la distribución de Feller-Pareto son

${\displaystyle FP(\sigma ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha )}$

${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha )}$

${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma )}$

${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,\alpha )=P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,\alpha ).}$

Distribución de Pareto Inverso / Distribución de Energía

Cuando una variable aleatoria sigue una distribución de Pareto, su inversa sigue una distribución de Pareto inversa. La distribución de Pareto inversa es equivalente a una distribución de potencia ^[17] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=1/Y}$

${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pa} (\alpha ,x_{m})={\frac {\alpha x_{m}^{\alpha }}{y^{\alpha +1}}}\quad (y\geq x_{m})\quad \Leftrightarrow \quad X\sim \mathrm {iPa} (\alpha ,x_{m})=\mathrm {Power} (x_{m}^{-1},\alpha )={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{(x_{m}^{-1})^{\alpha }}}\quad (0<x\leq x_{m}^{-1})}$

Relación con la distribución exponencial

La distribución de Pareto está relacionada con la distribución exponencial de la siguiente manera. Si X tiene una distribución de Pareto con un mínimo de x _m y un índice  α , entonces

${\displaystyle Y=\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)}$

se distribuye exponencialmente con el parámetro de tasa  α . De manera equivalente, si Y está distribuida exponencialmente con tasa  α , entonces

${\displaystyle x_{\mathrm {m} }e^{Y}}$

tiene distribución de Pareto con mínimo x _m ​​e índice  α .

Esto se puede demostrar utilizando las técnicas estándar de cambio de variable:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(Y<y)&=\Pr \left(\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)<y\right)\\&=\Pr(X<x_{\mathrm {m} }e^{y})=1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x_{\mathrm {m} }e^{y}}}\right)^{\alpha }=1-e^{-\alpha y}.\end{aligned}}}$

La última expresión es la función de distribución acumulativa de una distribución exponencial con tasa  α .

La distribución de Pareto se puede construir mediante distribuciones exponenciales jerárquicas. ^[18] Dejemos y . Entonces tenemos y, como resultado, . ${\displaystyle \phi |a\sim {\text{Exp}}(a)}$ ${\displaystyle \eta |\phi \sim {\text{Exp}}(\phi )}$ ${\displaystyle p(\eta |a)={\frac {a}{(a+\eta )^{2}}}}$ ${\displaystyle a+\eta \sim {\text{Pareto}}(a,1)}$

Más en general, si (parametrización de velocidad de forma) y , entonces . ${\displaystyle \lambda \sim {\text{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \eta |\lambda \sim {\text{Exp}}(\lambda )}$ ${\displaystyle \beta +\eta \sim {\text{Pareto}}(\beta ,\alpha )}$

De manera equivalente, si y , entonces . ${\displaystyle Y\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,1)}$ ${\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(1)}$ ${\displaystyle x_{\text{m}}\!\left(1+{\frac {X}{Y}}\right)\sim {\text{Pareto}}(x_{\text{m}},\alpha )}$

Relación con la distribución log-normal

La distribución de Pareto y la distribución log-normal son distribuciones alternativas para describir los mismos tipos de cantidades. Una de las conexiones entre los dos es que ambas son distribuciones exponenciales de variables aleatorias distribuidas de acuerdo con otras distribuciones comunes, respectivamente, la distribución exponencial y la distribución normal . (Consulte la sección anterior).

Relación con la distribución de Pareto generalizada

La distribución de Pareto es un caso especial de la distribución de Pareto generalizada , que es una familia de distribuciones de forma similar, pero que contiene un parámetro adicional de tal manera que el soporte de la distribución está acotado por debajo (en un punto variable), o acotado tanto arriba como abajo (donde ambos son variables), con la distribución Lomax como un caso especial. Esta familia también contiene distribuciones exponenciales desplazadas y no desplazadas .

La distribución de Pareto con escala y forma es equivalente a la distribución de Pareto generalizada con ubicación , escala y forma y, a la inversa, se puede obtener la distribución de Pareto a partir del GPD tomando y si . ${\displaystyle x_{m}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu =x_{m}}$ ${\displaystyle \sigma =x_{m}/\alpha }$ ${\displaystyle \xi =1/\alpha }$ ${\displaystyle x_{m}=\sigma /\xi }$ ${\displaystyle \alpha =1/\xi }$ ${\displaystyle \xi >0}$

Distribución de Pareto acotada

La distribución de Pareto acotada ( o truncada) tiene tres parámetros: α , L y H. Como en la distribución estándar de Pareto, α determina la forma. L denota el valor mínimo y H denota el valor máximo.

La función de densidad de probabilidad es

${\displaystyle {\frac {\alpha L^{\alpha }x^{-\alpha -1}}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}}$,

donde L  ≤  x  ≤  H y α  > 0.

Generando variables aleatorias de Pareto acotadas

Si U se distribuye uniformemente en (0, 1), entonces se aplica el método de transformación inversa ^[19]

${\displaystyle U={\frac {1-L^{\alpha }x^{-\alpha }}{1-({\frac {L}{H}})^{\alpha }}}}$

${\displaystyle x=\left(-{\frac {UH^{\alpha }-UL^{\alpha }-H^{\alpha }}{H^{\alpha }L^{\alpha }}}\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$

es una distribución de Pareto acotada.

Distribución de Pareto simétrica

El propósito de las distribuciones de Pareto simétrica y simétrica cero es capturar alguna distribución estadística especial con un pico de probabilidad pronunciado y colas de probabilidad largas simétricas. Estas dos distribuciones se derivan de la distribución de Pareto. Las colas de probabilidad largas normalmente significan que la probabilidad decae lentamente y pueden usarse para ajustarse a una variedad de conjuntos de datos. Pero si la distribución tiene una estructura simétrica con dos colas que decaen lentamente, Pareto no podría hacerlo. Luego, en su lugar se aplica la distribución de Pareto simétrica o de Pareto simétrica cero. ^[20]

La función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución simétrica de Pareto se define de la siguiente manera: ^[20]

${\displaystyle F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over 2b-X})^{a}&X<b\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{X}})^{a}&X\geq b\end{cases}}}$

La función de densidad de probabilidad correspondiente (PDF) es: ^[20]

${\displaystyle p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x-b\right\vert )^{a+1}},X\in R}$

Esta distribución tiene dos parámetros: a y b. Es simétrico por b. Entonces la expectativa matemática es b. Cuando, tiene variación de la siguiente manera:

${\displaystyle E((x-b)^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-b)^{2}p(x)dx={2b^{2} \over (a-2)(a-1)}}$

La CDF de la distribución de Pareto simétrica cero (ZSP) se define de la siguiente manera:

${\displaystyle F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over b-X})^{a}&X<0\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{b+X}})^{a}&X\geq 0\end{cases}}}$

El PDF correspondiente es:

${\displaystyle p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x\right\vert )^{a+1}},X\in R}$

Esta distribución es simétrica por cero. El parámetro a está relacionado con la tasa de probabilidad de caída y (a/2b) representa la magnitud máxima de probabilidad. ^[20]

Distribución de Pareto multivariada

La distribución de Pareto univariada se ha ampliado a una distribución de Pareto multivariada . ^[21]

Inferencia estadística

Estimación de parámetros

La función de verosimilitud para los parámetros de distribución de Pareto α y x _m , dada una muestra independiente x = ( x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _n ), es

${\displaystyle L(\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\prod _{i=1}^{n}\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x_{i}^{\alpha +1}}}=\alpha ^{n}x_{\mathrm {m} }^{n\alpha }\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}^{\alpha +1}}}.}$

Por lo tanto, la función de probabilidad logarítmica es

${\displaystyle \ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })=n\ln \alpha +n\alpha \ln x_{\mathrm {m} }-(\alpha +1)\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}.}$

Se puede observar que aumenta monótonamente con x _m , es decir, cuanto mayor es el valor de x _m , mayor es el valor de la función de verosimilitud. Por lo tanto, dado que x ≥ x _m , concluimos que ${\displaystyle \ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })}$

${\displaystyle {\widehat {x}}_{\mathrm {m} }=\min _{i}{x_{i}}.}$

Para encontrar el estimador de α , calculamos la derivada parcial correspondiente y determinamos dónde es cero:

${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial \alpha }}={\frac {n}{\alpha }}+n\ln x_{\mathrm {m} }-\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}=0.}$

Por tanto, el estimador de máxima verosimilitud para α es:

${\displaystyle {\widehat {\alpha }}={\frac {n}{\sum _{i}\ln(x_{i}/{\widehat {x}}_{\mathrm {m} })}}.}$

El error estadístico esperado es: ^[22]

${\displaystyle \sigma ={\frac {\widehat {\alpha }}{\sqrt {n}}}.}$

Malik (1970) ^[23] da la distribución conjunta exacta de . En particular, y son independientes y son Pareto con parámetro de escala x _m y parámetro de forma nα , mientras que tiene una distribución gamma inversa con parámetros de forma y escala n  − 1 y nα , respectivamente. ${\displaystyle ({\hat {x}}_{\mathrm {m} },{\hat {\alpha }})}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

Ocurrencia y aplicaciones

General

Vilfredo Pareto utilizó originalmente esta distribución para describir la distribución de la riqueza entre los individuos, ya que parecía mostrar bastante bien la forma en que una porción mayor de la riqueza de cualquier sociedad es propiedad de un porcentaje menor de las personas de esa sociedad. También lo usó para describir la distribución del ingreso. ^[4] Esta idea a veces se expresa más simplemente como el principio de Pareto o la "regla 80-20", que dice que el 20% de la población controla el 80% de la riqueza. ^[24] Como señala Michael Hudson ( The Collapse of Antiquity [2023] p. 85 y n.7) "un corolario matemático [es] que el 10% tendría el 65% de la riqueza y el 5% tendría la mitad de la riqueza nacional". poder." Sin embargo, la regla 80-20 corresponde a un valor particular de α y, de hecho, los datos de Pareto sobre los impuestos sobre la renta británicos en su Cours d'économie politique indican que alrededor del 30% de la población tenía alrededor del 70% de los ^{ingresos . necesario ]} El gráfico de la función de densidad de probabilidad (PDF) al comienzo de este artículo muestra que la "probabilidad" o fracción de la población que posee una pequeña cantidad de riqueza por persona es bastante alta y luego disminuye constantemente a medida que aumenta la riqueza. Sin embargo, la distribución de Pareto no es realista para la riqueza del extremo inferior. De hecho, el patrimonio neto puede incluso ser negativo.) Esta distribución no se limita a describir la riqueza o el ingreso, sino a muchas situaciones en las que se encuentra un equilibrio en la distribución de la riqueza. del "pequeño" al "grande". Los siguientes ejemplos a veces se consideran aproximadamente distribuidos en Pareto:

• Las cuatro variables de la restricción presupuestaria del hogar: consumo, ingreso laboral, ingreso del capital y riqueza. ^[25]
• El tamaño de los asentamientos humanos (pocas ciudades, muchas aldeas/pueblos) ^{[26] [27]}
• Distribución del tamaño de los archivos del tráfico de Internet que utiliza el protocolo TCP (muchos archivos más pequeños, pocos más grandes) ^[26]
• Tasas de error de la unidad de disco duro ^[28]
• Cúmulos de condensado de Bose-Einstein cerca del cero absoluto ^[29]

Distribución acumulada de Pareto (Lomax) ajustada a las precipitaciones máximas de un día utilizando CumFreq , ver también ajuste de distribución

• Los valores de las reservas de petróleo en los yacimientos petrolíferos (algunos yacimientos grandes , muchos yacimientos pequeños ) ^[26]
• La distribución de la longitud en los trabajos asignados a las supercomputadoras (algunas grandes, muchas pequeñas) ^[30]
• Los rendimientos de precios estandarizados de acciones individuales ^[26]
• Tamaños de las partículas de arena ^[26]
• El tamaño de los meteoritos.
• Gravedad de las grandes pérdidas por accidentes para determinadas líneas de negocio, como responsabilidad general, automóviles comerciales y compensación laboral. ^{[31] [32]}
• Cantidad de tiempo que un usuario de Steam pasará jugando diferentes juegos. (Algunos juegos se juegan mucho, pero la mayoría casi nunca). [2] ^{[ ¿ investigación original? ]}
• En hidrología, la distribución de Pareto se aplica a eventos extremos, como las precipitaciones máximas anuales en un día y los caudales de los ríos. ^[33] La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Pareto a las precipitaciones máximas de un día clasificadas anualmente, mostrando también el cinturón de confianza del 90% basado en la distribución binomial . Los datos de lluvia se representan trazando posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .
• En Confiabilidad de la Distribución de Servicios Eléctricos (el 80% de los Minutos Interrumpidos del Cliente ocurren aproximadamente el 20% de los días de un año determinado).

Relación con la ley de Zipf

La distribución de Pareto es una distribución de probabilidad continua. La ley de Zipf , también llamada a veces distribución zeta , es una distribución discreta que separa los valores en una clasificación simple. Ambas son una ley de potencia simple con un exponente negativo, escalada de modo que sus distribuciones acumuladas sean iguales a 1. Las Zipf se pueden derivar de la distribución de Pareto si los valores (ingresos) se agrupan en rangos de modo que el número de personas en cada categoría siga una línea de 1. /patrón de rango. La distribución se normaliza definiendo de modo que donde está el número armónico generalizado . Esto hace que la función de densidad de probabilidad de Zipf sea derivable de la de Pareto. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{m}}$ ${\displaystyle \alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }={\frac {1}{H(N,\alpha -1)}}}$ ${\displaystyle H(N,\alpha -1)}$

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}={\frac {1}{x^{s}H(N,s)}}}$

donde y es un número entero que representa el rango del 1 al N, donde N es el nivel de ingresos más alto. Entonces, una persona (o palabra, enlace a un sitio web o ciudad) seleccionada al azar de una población (o idioma, Internet o país) tiene probabilidad de clasificarse . ${\displaystyle s=\alpha -1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

Relación con el "principio de Pareto"

La " ley 80-20 ", según la cual el 20% de todas las personas recibe el 80% de todos los ingresos, y el 20% del 20% más rico recibe el 80% de ese 80%, y así sucesivamente, se cumple precisamente cuando el índice de Pareto es . Este resultado se puede derivar de la fórmula de la curva de Lorenz que se proporciona a continuación. Además, se ha demostrado que lo siguiente ^[34] es matemáticamente equivalente: ${\displaystyle \alpha =\log _{4}5={\cfrac {\log _{10}5}{\log _{10}4}}\approx 1.161}$

• La renta se distribuye según una distribución de Pareto con índice α  > 1.
• Existe un número 0 ≤  p  ≤ 1/2 tal que el 100 p  % de todas las personas recibe el 100(1 −  p ) % de todos los ingresos, y de manera similar para cada n  > 0 real (no necesariamente entero), 100 p ⁿ  % de todas las personas reciben el 100(1 −  p ) ⁿ porcentaje de todos los ingresos. α y p están relacionados por

${\displaystyle 1-{\frac {1}{\alpha }}={\frac {\ln(1-p)}{\ln(p)}}={\frac {\ln((1-p)^{n})}{\ln(p^{n})}}}$

Esto no se aplica sólo a la renta, sino también a la riqueza o a cualquier otra cosa que pueda modelarse mediante esta distribución.

Esto excluye las distribuciones de Pareto en las que 0 <  α  ≤ 1, que, como se señaló anteriormente, tienen un valor esperado infinito y, por lo tanto, no pueden modelar razonablemente la distribución del ingreso.

Relación con la ley de Price

La ley de la raíz cuadrada de Price a veces se ofrece como una propiedad de la distribución de Pareto o como similar a ella. Sin embargo, la ley sólo se aplica en el caso de que . Tenga en cuenta que en este caso, la cantidad total y esperada de riqueza no están definidas, y la regla sólo se aplica asintóticamente a muestras aleatorias. El Principio de Pareto ampliado mencionado anteriormente es una regla mucho más general. ${\displaystyle \alpha =1}$

Curva de Lorenz y coeficiente de Gini

Curvas de Lorenz para varias distribuciones de Pareto. El caso α  = ∞ corresponde a una distribución perfectamente igual ( G  = 0) y la  línea α = 1 corresponde a una desigualdad completa ( G  = 1)

La curva de Lorenz se utiliza a menudo para caracterizar las distribuciones de ingreso y riqueza. Para cualquier distribución, la curva de Lorenz L ( F ) se escribe en términos de la PDF f o la CDF F como

${\displaystyle L(F)={\frac {\int _{x_{\mathrm {m} }}^{x(F)}xf(x)\,dx}{\int _{x_{\mathrm {m} }}^{\infty }xf(x)\,dx}}={\frac {\int _{0}^{F}x(F')\,dF'}{\int _{0}^{1}x(F')\,dF'}}}$

donde x ( F ) es la inversa de la CDF. Para la distribución de Pareto,

${\displaystyle x(F)={\frac {x_{\mathrm {m} }}{(1-F)^{\frac {1}{\alpha }}}}}$

y la curva de Lorenz se calcula como

${\displaystyle L(F)=1-(1-F)^{1-{\frac {1}{\alpha }}},}$

Porque el denominador es infinito, lo que da como resultado L =0. En el gráfico de la derecha se muestran ejemplos de la curva de Lorenz para varias distribuciones de Pareto. ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$

Según Oxfam (2016) las 62 personas más ricas tienen tanta riqueza como la mitad más pobre de la población mundial. ^[35] Podemos estimar el índice de Pareto que se aplicaría a esta situación. Igualando ε tenemos: ${\displaystyle 62/(7\times 10^{9})}$

${\displaystyle L(1/2)=1-L(1-\varepsilon )}$

o

${\displaystyle 1-(1/2)^{1-{\frac {1}{\alpha }}}=\varepsilon ^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}$

La solución es que α es igual a aproximadamente 1,15 y aproximadamente el 9% de la riqueza pertenece a cada uno de los dos grupos. Pero en realidad el 69% más pobre de la población adulta mundial posee sólo alrededor del 3% de la riqueza. ^[36]

El coeficiente de Gini es una medida de la desviación de la curva de Lorenz de la línea de equidistribución, que es una línea que conecta [0, 0] y [1, 1], que se muestra en negro ( α  = ∞) en el gráfico de Lorenz en el bien. Específicamente, el coeficiente de Gini es el doble del área entre la curva de Lorenz y la línea de equidistribución. Luego se calcula (para ) el coeficiente de Gini para la distribución de Pareto como ${\displaystyle \alpha \geq 1}$

${\displaystyle G=1-2\left(\int _{0}^{1}L(F)\,dF\right)={\frac {1}{2\alpha -1}}}$

(ver Aaberge 2005).

Generación de variables aleatorias

Se pueden generar muestras aleatorias mediante muestreo por transformación inversa . Dada una variable aleatoria U extraída de la distribución uniforme en el intervalo unitario (0, 1], la variable T dada por

${\displaystyle T={\frac {x_{\mathrm {m} }}{U^{1/\alpha }}}}$

tiene distribución de Pareto. ^[37] Si U se distribuye uniformemente en [0, 1), se puede intercambiar con (1 −  U ).

Ver también

• Ley de Bradford  – Patrón de referencias en revistas científicas
• Ley de Gutenberg-Richter  : ley en sismología que describe la frecuencia y magnitud de los terremotos.
• Efecto Mateo  : los ricos se vuelven más ricos y los pobres se vuelven más pobres
• Análisis de Pareto  : principio estadístico sobre la relación entre efectos y causasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Eficiencia de Pareto  : asignación óptima de recursos
• Interpolación de Pareto  : método de estimación de la mediana de una población
• Distribuciones de probabilidad de la ley de potencias  : relación funcional entre dos cantidades
• Ley de Sturgeon  : "El noventa por ciento de todo es una mierda"
• Modelo de generación de tráfico  : flujo de datos simulado en una red de comunicacionesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ley de Zipf  : distribución de probabilidad
• Distribución de cola pesada  : distribución de probabilidad

Referencias

1. Norton, Mateo; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2019). "Cálculo de CVaR y bPOE para distribuciones de probabilidad comunes con aplicación a la optimización de cartera y estimación de densidad" (PDF) . Anales de investigación de operaciones . 299 (1–2). Saltador: 1281-1315. arXiv : 1811.11301 . doi :10.1007/s10479-019-03373-1. S2CID  254231768 . Consultado el 27 de febrero de 2023 .
2. Amoroso, Luigi (1938). "VILFREDO PARETO". Econométrica (anterior a 1986); enero de 1938; 6, 1; ProQuest . 6 .
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enlaces externos

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• syntraf1.c es un programa en C para generar tráfico de paquetes sintéticos con un tamaño de ráfaga de Pareto limitado y un tiempo entre ráfagas exponencial.