Distribución de Lomax

Distribución de probabilidad de cola pesada

La distribución Lomax , también llamada condicionalmente distribución Pareto Tipo II , es una distribución de probabilidad de cola pesada utilizada en negocios, economía, ciencia actuarial, teoría de colas y modelado de tráfico de Internet. ^{[1] [2] [3]} Recibe su nombre en honor a K. S. Lomax. Es esencialmente una distribución de Pareto que se ha desplazado de modo que su soporte comience en cero. ^[4]

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad (pdf) para la distribución Lomax está dada por

${\displaystyle p(x)={\alpha \over \lambda }\left[{1+{x \over \lambda }}\right]^{-(\alpha +1)},\qquad x\geq 0,}$

con parámetro de forma y parámetro de escala . La densidad se puede reescribir de manera que muestre más claramente la relación con la distribución Pareto Tipo I. Es decir: ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle p(x)={{\alpha \lambda ^{\alpha }} \over {(x+\lambda )^{\alpha +1}}}}$.

Momentos no centrales

El momento no central sólo existe si el parámetro de forma excede estrictamente , cuando el momento tiene el valor ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle E\left[X^{\nu }\right]}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle E\left(X^{\nu }\right)={\frac {\lambda ^{\nu }\Gamma (\alpha -\nu )\Gamma (1+\nu )}{\Gamma (\alpha )}}}$

Distribuciones relacionadas

Relación con la distribución de Pareto

La distribución Lomax es una distribución de Pareto de tipo I desplazada de modo que su soporte comienza en cero. En concreto:

${\displaystyle {\text{If }}Y\sim {\mbox{Pareto}}(x_{m}=\lambda ,\alpha ),{\text{ then }}Y-x_{m}\sim {\mbox{Lomax}}(\alpha ,\lambda ).}$

La distribución Lomax es una distribución Pareto tipo II con x _m = λ y μ = 0: ^[5]

${\displaystyle {\text{If }}X\sim {\mbox{Lomax}}(\alpha ,\lambda ){\text{ then }}X\sim {\text{P(II)}}\left(x_{m}=\lambda ,\alpha ,\mu =0\right).}$

Relación con la distribución generalizada de Pareto

La distribución de Lomax es un caso especial de la distribución generalizada de Pareto . En concreto:

${\displaystyle \mu =0,~\xi ={1 \over \alpha },~\sigma ={\lambda \over \alpha }.}$

Relación con la distribución beta prima

La distribución de Lomax con parámetro de escala λ = 1 es un caso especial de la distribución beta prima . Si X tiene una distribución de Lomax, entonces . ${\displaystyle {\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}$

Relación con la distribución F

La distribución Lomax con parámetro de forma α = 1 y parámetro de escala λ = 1 tiene densidad , la misma distribución que una distribución F (2,2) . Esta es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribuciones exponenciales . ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}$

Relación con la distribución q-exponencial

La distribución Lomax es un caso especial de la distribución q-exponencial . La distribución q-exponencial extiende esta distribución para que sea compatible con un intervalo acotado. Los parámetros de Lomax se dan por:

${\displaystyle \alpha ={{2-q} \over {q-1}},~\lambda ={1 \over \lambda _{q}(q-1)}.}$

Relación con la distribución (log-)logística

El logaritmo de una variable distribuida según Lomax(forma = 1,0, escala = λ) sigue una distribución logística con ubicación log(λ) y escala 1,0. Esto implica que una distribución Lomax(forma = 1,0, escala = λ) es igual a una distribución log-logística con forma β = 1,0 y escala α = log(λ).

Conexión de mezcla gamma-exponencial (de escala)

La distribución Lomax surge como una mezcla de distribuciones exponenciales donde la distribución de mezcla de la tasa es una distribución gamma . Si λ|k,θ ~ Gamma(forma = k, escala = θ) y X |λ ~ Exponencial(tasa = λ), entonces la distribución marginal de X |k,θ es Lomax(forma = k, escala = 1/θ). Dado que el parámetro de tasa puede repararmetrizarse de manera equivalente a un parámetro de escala , la distribución Lomax constituye una mezcla de escala de exponenciales (con el parámetro de escala exponencial siguiendo una distribución gamma inversa ).

Véase también

• ley de potencia
• distribución de probabilidad compuesta
• distribución hiperexponencial (mezcla finita de exponenciales)
• Distribución gamma exponencial normal (una mezcla a escala normal con distribución de mezcla Lomax)

Referencias

1. Lomax, KS (1954) "Fallos comerciales; otro ejemplo del análisis de datos de fracasos". Journal of the American Statistical Association , 49, 847–852. JSTOR  2281544
2. Johnson, NL; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). "20 distribuciones de Pareto ". Distribuciones univariadas continuas . Vol. 1 (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. pág. 573.
3. J. Chen, J., Addie, RG, Zukerman. M., Neame, TD (2015) "Evaluación del rendimiento de una cola alimentada por un proceso de ráfaga Poisson Lomax", IEEE Communications Letters , 19, 3, 367-370.
4. Van Hauwermeiren M y Vose D (2009). A Compendium of Distributions [libro electrónico]. Vose Software, Ghent, Bélgica. Disponible en www.vosesoftware.com.
5. Kleiber, Christian; Kotz, Samuel (2003), Distribuciones estadísticas de tamaño en economía y ciencias actuariales, Wiley Series in Probability and Statistics, vol. 470, John Wiley & Sons, pág. 60, ISBN 9780471457169.