La paradoja de D'Alembert

Jean le Rond d'Alembert (1717-1783)

A partir de experimentos se sabe que siempre hay, excepto en caso de superfluidez , una fuerza de arrastre para un cuerpo colocado en un flujo de fluido constante. La figura muestra el coeficiente de arrastre C _d para una esfera en función del número de Reynolds Re , obtenido a partir de experimentos de laboratorio. La línea oscura es para una esfera con una superficie lisa, mientras que la línea más clara es para el caso de una superficie rugosa. Los números a lo largo de la línea indican varios regímenes de flujo y cambios asociados en el coeficiente de arrastre:
•2: flujo adherido ( flujo de Stokes ) y flujo separado constante , •3: flujo no constante separado, que tiene una capa límite de flujo laminar aguas arriba de la separación y que produce una calle de vórtices , •4: flujo no constante separado con una capa límite laminar en el lado de aguas arriba, antes de la separación del flujo, con aguas abajo de la esfera una estela turbulenta caótica , •5: flujo separado poscrítico, con una capa límite turbulenta.

En dinámica de fluidos , la paradoja de d'Alembert (o paradoja hidrodinámica ) es una paradoja descubierta en 1752 por el matemático francés Jean le Rond d'Alembert . ^[1] d'Alembert demostró que, para un flujo potencial incompresible y no viscoso , la fuerza de arrastre es cero en un cuerpo que se mueve con velocidad constante en relación con el fluido . ^[2] El arrastre cero está en contradicción directa con la observación de un arrastre sustancial en cuerpos que se mueven en relación con fluidos, como el aire y el agua; especialmente a altas velocidades correspondientes a altos números de Reynolds . Es un ejemplo particular de la paradoja de la reversibilidad . ^[3]

D'Alembert, trabajando en un problema premiado en 1749 de la Academia de Berlín sobre el arrastre de flujo, concluyó: "Me parece que la teoría (flujo potencial), desarrollada con todo el rigor posible, da, al menos en varios casos, una resistencia estrictamente evanescente, una paradoja singular que dejo a los futuros geómetras [es decir, matemáticos - los dos términos se usaban indistintamente en ese momento] para que la diluciden" . ^[4] Una paradoja física indica fallas en la teoría.

La mecánica de fluidos fue desacreditada por los ingenieros desde el principio, lo que resultó en una desafortunada división: entre el campo de la hidráulica , que observaba fenómenos que no podían explicarse, y la mecánica de fluidos teórica , que explicaba fenómenos que no podían observarse, en palabras del Premio Nobel de Química Sir Cyril Hinshelwood . ^[5]

Según el consenso científico , la ocurrencia de la paradoja se debe a los efectos desatendidos de la viscosidad . Junto con los experimentos científicos, hubo enormes avances en la teoría de la fricción de fluidos viscosos durante el siglo XIX. Con respecto a la paradoja, esto culminó en el descubrimiento y descripción de capas límite delgadas por Ludwig Prandtl en 1904. Incluso con números de Reynolds muy altos, las capas límite delgadas permanecen como resultado de fuerzas viscosas. Estas fuerzas viscosas causan fricción en objetos aerodinámicos, y para cuerpos romos el resultado adicional es la separación del flujo y una estela de baja presión detrás del objeto, lo que lleva a la fricción de la forma . ^{[6] [7] [8] [9]}

La opinión general en la comunidad de mecánica de fluidos es que, desde un punto de vista práctico, la paradoja se resuelve siguiendo las líneas sugeridas por Prandtl. ^{[6] [7] [8] [9] [10] [11]} Falta una prueba matemática formal y es difícil de proporcionar, como en tantos otros problemas de flujo de fluidos que involucran las ecuaciones de Navier-Stokes (que se utilizan para describir el flujo viscoso).

Fricción viscosa: Saint-Venant, Navier y Stokes

Los primeros pasos para resolver la paradoja fueron dados por Saint-Venant , quien modeló la fricción de un fluido viscoso . Saint-Venant afirma en 1847: ^[12]

"Pero se encuentra otro resultado si, en lugar de un fluido ideal -objeto de los cálculos de los geómetras del siglo pasado- se utiliza un fluido real, compuesto de un número finito de moléculas y que ejerce en su estado de movimiento fuerzas de presión desiguales o que tienen componentes tangenciales a los elementos de la superficie a través de los cuales actúan; componentes a los que nos referimos como fricción del fluido, nombre que se les ha dado desde Descartes y Newton hasta Venturi."

Poco después, en 1851, Stokes calculó la resistencia de una esfera en el flujo de Stokes , conocida como ley de Stokes . ^[13] El flujo de Stokes es el límite bajo del número de Reynolds de las ecuaciones de Navier-Stokes que describen el movimiento de un líquido viscoso. ^[14]

Sin embargo, cuando el problema del flujo se pone en una forma adimensional , las ecuaciones viscosas de Navier-Stokes convergen para números de Reynolds crecientes hacia las ecuaciones de Euler no viscosas , lo que sugiere que el flujo debería converger hacia las soluciones no viscosas de la teoría del flujo potencial , teniendo el arrastre cero de la paradoja de d'Alembert. De esto, no se encontró evidencia en mediciones experimentales de arrastre y visualizaciones de flujo. ^[15] En la segunda mitad del siglo XIX, esto volvió a plantear preguntas sobre la aplicabilidad de la mecánica de fluidos.

Flujo separado no viscoso: Kirchhoff y Rayleigh

Flujo potencial incompresible estable y separado alrededor de una placa en dos dimensiones, ^[16] con una presión constante a lo largo de las dos líneas de corriente libres que se separan de los bordes de la placa.

En la segunda mitad del siglo XIX, el enfoque se desplazó nuevamente hacia el uso de la teoría del flujo no viscoso para la descripción del arrastre de fluidos, suponiendo que la viscosidad se vuelve menos importante a altos números de Reynolds. El modelo propuesto por Kirchhoff ^[17] y Rayleigh ^[18] se basó en la teoría de línea de corriente libre de Helmholtz ^[19] y consiste en una estela constante detrás del cuerpo. Los supuestos aplicados a la región de la estela incluyen: velocidades de flujo iguales a la velocidad del cuerpo y una presión constante. Esta región de la estela está separada del flujo potencial fuera del cuerpo y la estela por láminas de vórtices con saltos discontinuos en la velocidad tangencial a través de la interfaz. ^{[20] [21]} Para tener un arrastre distinto de cero en el cuerpo, la región de la estela debe extenderse hasta el infinito. Esta condición se cumple de hecho para el flujo de Kirchhoff perpendicular a una placa. La teoría establece correctamente que la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad. ^[22] En primera instancia, la teoría solo podía aplicarse a flujos que se separaban en bordes afilados. Más tarde, en 1907, fue ampliado por Levi-Civita hasta los flujos que se separaban de un límite curvo suave. ^[23]

Se sabía fácilmente que tales flujos constantes no son estables, ya que las capas de vórtices desarrollan las llamadas inestabilidades de Kelvin-Helmholtz . ^[21] Pero este modelo de flujo constante se estudió más a fondo con la esperanza de que aún pudiera dar una estimación razonable de la resistencia. Rayleigh pregunta "... si los cálculos de resistencia se ven afectados materialmente por esta circunstancia, ya que las presiones experimentadas deben ser casi independientes de lo que sucede a cierta distancia en la parte trasera del obstáculo, donde la inestabilidad comenzaría a manifestarse por primera vez". ^[18]

Sin embargo, surgieron objeciones fundamentales contra este enfoque: Kelvin observó que si una placa se mueve con velocidad constante a través del fluido (en reposo lejos de la placa, excepto por la estela), la velocidad en la estela es igual a la de la placa. La extensión infinita de la estela, que se ensancha con la distancia desde la placa, como se obtiene de la teoría, da como resultado una energía cinética infinita en la estela, que debe rechazarse por razones físicas. ^{[22] [24]} Además, las diferencias de presión observadas entre la parte delantera y trasera de la placa, y las fuerzas de arrastre resultantes, son mucho mayores que las predichas: para una placa plana perpendicular al flujo, el coeficiente de arrastre predicho es C _D = 0,88, mientras que en los experimentos se encuentra C _D = 2,0. Esto se debe principalmente a la succión en el lado de la estela de la placa, inducida por el flujo inestable en la estela real (a diferencia de la teoría que supone una velocidad de flujo constante igual a la velocidad de la placa). ^[25]

Por lo tanto, esta teoría no resulta satisfactoria como explicación del arrastre de un cuerpo que se mueve a través de un fluido, aunque puede aplicarse a los llamados flujos de cavidad, en los que, en lugar de una estela llena de fluido, se supone que existe una cavidad de vacío detrás del cuerpo. ^{[21] [22] [26]}

Capas límite delgadas: Prandtl

Distribución de la presión para el flujo alrededor de un cilindro circular. La línea azul discontinua es la distribución de la presión según la teoría del flujo potencial , que da como resultado la paradoja de D'Alembert. La línea azul continua es la distribución de la presión media que se encontró en experimentos con números de Reynolds altos . La presión es la distancia radial desde la superficie del cilindro; una presión positiva (sobrepresión) se encuentra dentro del cilindro, hacia el centro, mientras que una presión negativa (subpresión) se encuentra fuera del cilindro.

El físico alemán Ludwig Prandtl sugirió en 1904 que los efectos de una capa límite viscosa delgada podrían ser posiblemente la fuente de una resistencia sustancial. ^[27] Prandtl propuso la idea de que, a altas velocidades y altos números de Reynolds, una condición límite sin deslizamiento causa una fuerte variación de las velocidades de flujo sobre una capa delgada cerca de la pared del cuerpo. Esto conduce a la generación de vorticidad y disipación viscosa de energía cinética en la capa límite. La disipación de energía, que falta en las teorías no viscosas, se produce para cuerpos romos en la separación del flujo. La baja presión en la región de la estela causa una resistencia de forma , y ​​esta puede ser mayor que la resistencia de fricción debido a la tensión cortante viscosa en la pared. ^[15]

La evidencia de que el escenario de Prandtl ocurre en cuerpos irregulares en flujos de números de Reynolds altos se puede ver en flujos iniciados impulsivamente alrededor de un cilindro. Inicialmente, el flujo se asemeja a un flujo potencial, después de lo cual el flujo se separa cerca del punto de estancamiento posterior . A partir de entonces, los puntos de separación se mueven aguas arriba, lo que resulta en una región de baja presión de flujo separado. ^[15]

Prandtl formuló la hipótesis de que los efectos viscosos son importantes en capas delgadas –llamadas capas límite– adyacentes a los límites sólidos, y que la viscosidad no tiene ningún papel de importancia fuera de ellas. El espesor de la capa límite se hace más pequeño cuando la viscosidad se reduce. El problema completo del flujo viscoso, descrito por las ecuaciones no lineales de Navier-Stokes , en general no es matemáticamente solucionable. Sin embargo, utilizando su hipótesis (y respaldada por experimentos) Prandtl pudo derivar un modelo aproximado para el flujo dentro de la capa límite, llamado teoría de la capa límite ; mientras que el flujo fuera de la capa límite podría tratarse utilizando la teoría del flujo no viscoso . La teoría de la capa límite es susceptible al método de expansiones asintóticas emparejadas para derivar soluciones aproximadas. En el caso más simple de una placa plana paralela al flujo entrante, la teoría de la capa límite da como resultado un arrastre (por fricción), mientras que todas las teorías de flujo no viscoso predecirán un arrastre cero. De importancia para la aeronáutica , la teoría de Prandtl se puede aplicar directamente a cuerpos aerodinámicos como los perfiles aerodinámicos , donde, además de la resistencia por fricción superficial, también existe resistencia por forma. La resistencia por forma se debe al efecto de la capa límite y la estela delgada sobre la distribución de la presión alrededor del perfil aerodinámico. ^{[8] [28]}

Preguntas abiertas

Verificar, como sugirió Prandtl, que una causa extremadamente pequeña (una viscosidad extremadamente pequeña para un número de Reynolds creciente) tiene un efecto grande (una resistencia sustancial) puede ser muy difícil.

El matemático Garrett Birkhoff en el capítulo inicial de su libro Hidrodinámica de 1950, ^[29] aborda una serie de paradojas de la mecánica de fluidos (incluida la paradoja de d'Alembert) y expresa una clara duda en sus resoluciones oficiales:

" Además, creo que atribuirlos todos a la negligencia en la viscosidad es una simplificación excesiva e injustificada. La raíz está más profunda, en la falta precisamente de ese rigor deductivo cuya importancia es tan comúnmente minimizada por físicos e ingenieros " . ^[30]

En particular, en relación con la paradoja de D'Alembert, Birkhoff considera otra vía posible para la creación de resistencia: la inestabilidad de las soluciones de flujo potencial de las ecuaciones de Euler .

" En cualquier caso, los párrafos anteriores dejan claro que la teoría de los flujos no viscosos es incompleta. De hecho, el razonamiento que lleva al concepto de "flujo constante" no es concluyente; no hay una justificación rigurosa para la eliminación del tiempo como variable independiente. Por lo tanto, aunque los flujos de Dirichlet (soluciones potenciales) y otros flujos constantes son matemáticamente posibles, no hay razón para suponer que cualquier flujo constante sea estable " . ^[31]

En su reseña de 1951 ^[32] del libro de Birkhoff, el matemático James J. Stoker critica duramente el primer capítulo del libro:

" Al revisor le resultó difícil comprender para qué clase de lectores estaba escrito el primer capítulo. Para los lectores familiarizados con la hidrodinámica, la mayoría de los casos citados como paradojas pertenecen a la categoría de errores que ya han sido corregidos hace tiempo o a la categoría de discrepancias entre la teoría y los experimentos cuyas razones también se comprenden bien. Por otra parte, es muy probable que los no iniciados se formen ideas erróneas sobre algunos de los logros importantes y útiles de la hidrodinámica al leer este capítulo. "

En la segunda edición revisada de la Hidrodinámica de Birkhoff en 1960, las dos afirmaciones anteriores ya no aparecen. ^[33]

Treinta años después, Keith Stewartson analiza la importancia y utilidad de los logros alcanzados en el campo de la paradoja de D'Alembert . Su extenso artículo de 1981 comienza con: ^[10]

" Como la teoría clásica de la no viscosidad lleva a la conclusión patentemente absurda de que la resistencia que experimenta un cuerpo rígido al moverse a través de un fluido con velocidad uniforme es cero, durante los últimos cien años se han hecho grandes esfuerzos para proponer teorías alternativas y explicar cómo una fuerza de fricción extremadamente pequeña en el fluido puede, no obstante, tener un efecto significativo en las propiedades del flujo. Los métodos utilizados son una combinación de observación experimental, cálculos a menudo a gran escala y análisis de la estructura de la forma asintótica de la solución a medida que la fricción tiende a cero. Este triple ataque ha logrado un éxito considerable, especialmente durante los últimos diez años, de modo que ahora la paradoja puede considerarse en gran medida resuelta. "

En el caso de muchas paradojas de la física, su resolución suele consistir en trascender la teoría disponible. ^[34] En el caso de la paradoja de d'Alembert, el mecanismo esencial para su resolución fue proporcionado por Prandtl mediante el descubrimiento y modelado de capas límite delgadas y viscosas , que no desaparecen a números de Reynolds altos . ^[27]

Prueba de arrastre cero en flujo potencial estable

Líneas de corriente para el flujo potencial alrededor de un cilindro circular en un flujo uniforme.

Flujo potencial

Los tres supuestos principales en la derivación de la paradoja de d'Alembert son que el flujo constante es incompresible , no viscoso e irrotacional . ^[35] Un fluido no viscoso se describe mediante las ecuaciones de Euler , que junto con las otras dos condiciones se leen

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {u}}=0&&{\text{(incompressibility)}}\\&{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}=0&&{\text{(irrotational)}}\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {u}}+\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p&&{\text{(Euler equation)}}\end{aligned}}}$

donde u denota la velocidad de flujo del fluido, p la presión , ρ la densidad y ∇ es el operador de gradiente .

Tenemos el segundo término en la ecuación de Euler como:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)-{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)\qquad (1)}$

donde la primera igualdad es una identidad de cálculo vectorial y la segunda igualdad utiliza que el flujo es irrotacional. Además, para cada flujo irrotacional, existe un potencial de velocidad φ tal que u = ∇ φ . Sustituyendo todo esto en la ecuación para la conservación del momento se obtiene

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}+{\frac {p}{\rho }}\right)={\boldsymbol {0}}.}$

Por lo tanto, la cantidad entre paréntesis debe ser constante (cualquier dependencia de t se puede eliminar redefiniendo φ ). Suponiendo que el fluido está en reposo en el infinito y que la presión se define como cero allí, esta constante es cero y, por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}+{\frac {p}{\rho }}=0,\qquad (2)}$

que es la ecuación de Bernoulli para el flujo potencial inestable.

Arrastre cero

Ahora, supongamos que un cuerpo se mueve con velocidad constante v a través del fluido, que está en reposo infinitamente lejos. Entonces, el campo de velocidad del fluido tiene que seguir al cuerpo, por lo que tiene la forma u ( x , t ) = u ( x − v t , 0) , donde x es el vector de coordenadas espaciales, y por lo tanto: Como u = ∇ φ , esto se puede integrar con respecto a x : $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+\left({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\varphi +R(t)=-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}+R(t).}$$

La fuerza F que el fluido ejerce sobre el cuerpo está dada por la integral de superficie donde A denota la superficie del cuerpo y n el vector normal sobre la superficie del cuerpo. Pero de (2) se deduce que, por lo tanto , la contribución de R ( t ) a la integral es igual a cero. $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\int _{A}p\,{\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S}$$ $${\displaystyle p=-\rho \left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)=\rho \left({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-R(t)\right),}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\int _{A}p\,{\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S=\rho \int _{A}\left({\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right){\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S,}$$

En este punto, resulta más conveniente trabajar con los componentes vectoriales . El componente k de esta ecuación se lee $${\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}({\tfrac {1}{2}}u_{i}^{2}-u_{i}v_{i})n_{k}\,\mathrm {d} S.\qquad (3)}$$

Sea V el volumen ocupado por el fluido. El teorema de divergencia dice que El lado derecho es una integral sobre un volumen infinito, por lo que esto necesita alguna justificación, que puede proporcionarse apelando a la teoría del potencial para mostrar que la velocidad u debe caer como r ⁻³ – correspondiente a un campo de potencial dipolar en el caso de un cuerpo tridimensional de extensión finita – donde r es la distancia al centro del cuerpo. El integrando en la integral de volumen puede reescribirse de la siguiente manera: donde primero se utilizan la igualdad (1) y luego la incompresibilidad del flujo. Sustituyendo esto de nuevo en la integral de volumen y otra aplicación del teorema de divergencia nuevamente. Esto da Sustituyendo esto en (3), encontramos que El fluido no puede penetrar el cuerpo y por lo tanto n · u = n · v en la superficie del cuerpo. Entonces y Finalmente, la resistencia es la fuerza en la dirección en la que se mueve el cuerpo, por lo que Por lo tanto, la resistencia se desvanece. Esta es la paradoja de d'Alembert. $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{A}\sum _{i}u_{i}^{2}n_{k}\,\mathrm {d} S=-{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V.}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)=\sum _{i}u_{i}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}}$$ $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V=-\int _{V}\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} V=\int _{A}u_{k}\sum _{i}u_{i}n_{i}\,\mathrm {d} S.}$$ $${\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}u_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.}$$ ${\textstyle \sum _{i}n_{i}\,v_{i}=\sum _{i}n_{i}\,u_{i}}$ $${\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}v_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.}$$ ${\textstyle v\cdot F=\sum _{k}v_{k}F_{k}=0.}$

Notas

1. Jean le Rond d'Alembert (1752).
2. Grimberg, Pauls y Frisch (2008).
3. Falkovich (2011), pág. 32.
4. Reimpreso en: Jean le Rond d'Alembert (1768).
5. MJ Lighthill (1956), "Física del flujo de gas a velocidades muy altas", Nature , 178 (4529): 343, Bibcode :1956Natur.178..343., doi : 10.1038/178343a0Informe de una conferencia.
6. Landau y Lifshitz (1987), pág. 15.
7. Batchelor (2000), págs. 264-265, 303, 337.
8. Schlichting, Hermann ; Gersten, Klaus (2000), Teoría de la capa límite (octava edición revisada y ampliada), Springer, ISBN 978-3-540-66270-9, págs. XIX–XXIII.
9. Veldman, AEP (2001), "Expansiones asintóticas emparejadas y el tratamiento numérico de la interacción viscosa-inviscida", Journal of Engineering Mathematics , 39 (1): 189–206, Bibcode :2001JEnMa..39..189V, doi :10.1023/A:1004846400131, S2CID  189820383
10. Stewartson (1981).
11. Feynman, RP ; Leighton, RB ; Sands, M. (1963), Las conferencias Feynman sobre física , Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-02116-5, Vol. 2, §41–5: El límite de viscosidad cero, págs. 41–9 – 41–10.
12. Saint-Venant, A. (1847), "Mémoire sur la théorie de la résistance des fluides. Solution du paradoxe proposé à ce sujet par d'Alembert aux géomètres. Comparaison de la théorie aux expériences", Comptes Rendus des Séances de l 'Académie des Sciences , 24 : 243–246 , consultado el 15 de agosto de 2008
13. Stokes, GG (1851), "Sobre el efecto de la fricción interna de los fluidos en el movimiento de los péndulos", Trans. Camb. Philos. Soc. , 9 : 8–106, Bibcode :1851TCaPS...9....8S. Reimpreso en Stokes, GG, "Sobre el efecto...", Mathematical and Physical Papers , vol. 3 (2.ª ed.), Cambridge Univ. Press
14. Las ecuaciones de flujo de Stokes tienen una solución para el flujo alrededor de una esfera, pero no para el flujo alrededor de un cilindro circular. Esto se debe a que en el flujo de Stokes no se tiene en cuenta la aceleración convectiva . La aceleración convectiva predomina sobre los efectos viscosos lejos del cilindro (Batchelor, 2000, pág. 245). Se puede encontrar una solución cuando se tiene en cuenta la aceleración convectiva, por ejemplo, utilizando las ecuaciones de Oseen (Batchelor, 2000, pp. 245-246).
15. Batchelor (2000), págs. 337–343 y láminas.
16. Batchelor (2000), pág. 499, ecuación (6.13.12).
17. Kirchhoff, G. (1869), "Zur Theorie freier Flüssigkeitsstrahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1869 (70): 289–298, doi :10.1515/crll.1869.70.289, S2CID  120541431
18. Rayleigh, Lord (1876), "Sobre la resistencia de los fluidos", Philosophical Magazine , 5 (2): 430–441. Reimpreso en: Scientific Papers 1 :287–296.
19. Helmholtz, HLF von (1868), "Über discontinuierliche Flüssigkeitsbewegungen", Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , 23 : 215–228. Reimpreso en: Philosophical Magazine (1868) 36 :337–346.
20. Batchelor (2000), págs. 338-339
21. Wu, TY (1972), "Flujos de cavidad y de estela", Annual Review of Fluid Mechanics , 4 : 243–284, Bibcode :1972AnRFM...4..243W, doi :10.1146/annurev.fl.04.010172.001331
22. Lamb, H. (1994), Hidrodinámica (6.ª ed.), Cambridge University Press, pág. 679, ISBN 978-0-521-45868-9
23. Levi-Civita, T. (1907), "Scie e leggi di resistenza", Rendeconti del Circolo Matematico di Palermo , 23 : 1–37, doi :10.1007/bf03013504, S2CID  118652934
24. Lord Kelvin (1894), "Sobre la doctrina de la discontinuidad del movimiento de fluidos, en relación con la resistencia contra un sólido que se mueve a través de un fluido", Nature , 50 (1300): 524–5, 549, 573–5, 597–8, Bibcode :1894Natur..50..524K, doi : 10.1038/050524e0Reimpreso en: Mathematical and Physical Papers 4 : 215–230.
25. Batchelor (2000), pág. 500.
26. Batchelor (2000), págs. 493–494.
27. Prandtl (1904).
28. Batchelor (2000) págs. 302–314 y 331–337.
29. Garrett Birkhoff, Hidrodinámica: un estudio de lógica, hechos y similitudes , Princeton University Press, 1950
30. Birkhoff (1950) pág. 4.
31. Birkhoff (1950) pág. 21.
32. James J. Stoker (1951), "Reseña: Garrett Birkhoff, Hidrodinámica, un estudio de lógica, hechos y similitudes", Bull. Amer. Math. Soc. , 57 (6): 497–499, doi : 10.1090/S0002-9904-1951-09552-X .
33. La cita más cercana a la primera aparece en la página 5:

    " ...Hoy en día se suele afirmar que tales paradojas se deben a las diferencias entre fluidos "reales" que tienen una viscosidad pequeña pero finita, y fluidos "ideales" que tienen una viscosidad cero. Por lo tanto, se da por sentado esencialmente que se puede rectificar la afirmación de Lagrange sustituyendo "Navier-Stokes" por "Euler". Esta afirmación se analizará críticamente en el capítulo II; bien puede ser correcta en principio para el flujo viscoso incompresible . Sin embargo, si se toma literalmente, creo que sigue siendo muy engañosa, a menos que se preste atención explícita a las hipótesis plausibles enumeradas anteriormente y a la falta de rigor que implica su uso. Aunque no conozco ningún caso en el que una deducción, tanto física como matemáticamente rigurosa, haya llevado a una conclusión errónea, muy pocas de las deducciones de la hidrodinámica racional se pueden establecer de forma rigurosa. Las más interesantes implican el uso libre de las hipótesis (A)-(F)... "

    La afirmación de Lagrange la da Birkhoff en la página 3:

    " ...A Euler se le deben las primeras fórmulas generales para el movimiento de fluidos... presentadas en la simple y luminosa notación de diferencias parciales... Con este descubrimiento, toda la mecánica de fluidos quedó reducida a un único punto de análisis, y si las ecuaciones implicadas eran integrables, se podía determinar completamente, en todos los casos, el movimiento de un fluido movido por cualquier fuerza... "

    (Birkhoff, 1960, 2ª ed.)
34. Por ejemplo, la paradoja de la constancia de la velocidad de la luz en todas las direcciones fue resuelta por la teoría especial de la relatividad .
35. Este artículo sigue la derivación de la Sección 6.4 de Batchelor (2000).

Referencias

Histórico

• d'Alembert, Jean le Rond (1752), Ensayo de una nueva teoría de la resistencia de los fluidos
• d'Alembert, Jean le Rond (1768), "Memoria XXXIV", Opuscules Mathématiques , vol. 5 (§I ed.), págs. 132-138
• Prandtl, Ludwig (1904), Movimiento de fluidos con muy poca viscosidad (PDF) , vol. 452, Memorando técnico de la NACA

Lectura adicional

• Batchelor, G. (2000), Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge Mathematical Library (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-66396-0, Sr.  1744638
• Falkovich, G. (2011), Mecánica de fluidos, un curso breve para físicos , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-00575-4
• Grimberg, G.; Pauls, W.; Frisch, U. (2008), "Génesis de la paradoja de d'Alembert y elaboración analítica del problema de la resistencia", Physica D , 237 (14–17): 1878–1886, arXiv : 0801.3014 , Bibcode :2008PhyD..237.1878G, doi :10.1016/j.physd.2008.01.015, S2CID  15979390
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1987), Mecánica de fluidos , Curso de física teórica , vol. 6 (2.ª ed.), Pergamon Press , ISBN 978-0-08-009104-4
• Stewartson, K. (1981), "La paradoja de D'Alembert", SIAM Review , 23 (3): 308–343, doi :10.1137/1023063

Enlaces externos

• Flujo potencial y paradoja de D'Alembert en MathPages