La multilateración de pseudorango , a menudo simplemente multilateración ( MLAT ) cuando está en contexto, es una técnica para determinar la posición de un punto desconocido, como un vehículo, basada en la medición de los tiempos de llegada (TOA) de ondas de energía que viajan entre lo desconocido. punto y múltiples estaciones en ubicaciones conocidas. Cuando las ondas son transmitidas por el vehículo, se utiliza MLAT para la vigilancia ; cuando las ondas son transmitidas por las estaciones, se utiliza MLAT para la navegación ( navegación hiperbólica ). En cualquier caso, se supone que los relojes de las estaciones están sincronizados, pero el reloj del vehículo no.
Antes de calcular una solución, el tiempo común de transmisión (TOT) de las ondas es desconocido para los receptores, ya sea en el vehículo (un receptor, navegación) o en las estaciones (múltiples receptores, vigilancia). Por lo tanto, también se desconocen los tiempos de vuelo de las ondas (TOF), es decir, la distancia del vehículo desde las estaciones dividida por la velocidad de propagación de las ondas. Cada pseudorango es el TOA correspondiente multiplicado por la velocidad de propagación con la misma constante arbitraria agregada (que representa el TOT desconocido).
En aplicaciones de navegación, el vehículo suele denominarse "usuario"; en aplicaciones de vigilancia, el vehículo puede denominarse "objetivo". Para una solución matemáticamente exacta, los rangos no deben cambiar durante el período en que se reciben las señales (entre el primero y el último en llegar a un receptor). Así, para la navegación, una solución exacta requiere un vehículo parado; sin embargo, la multilateración se aplica a menudo a la navegación de vehículos en movimiento cuya velocidad es mucho menor que la velocidad de propagación de las ondas.
Si es el número de dimensiones físicas que se consideran (por lo tanto, las coordenadas del vehículo buscadas) y es el número de señales recibidas (por lo tanto, los TOA medidos), se requiere que . Entonces, el conjunto fundamental de ecuaciones de medición es:
Generalmente se requiere procesamiento para extraer los TOA o sus diferencias de las señales recibidas, y generalmente se requiere un algoritmo para resolver este conjunto de ecuaciones. Un algoritmo: (a) determina valores numéricos para el TOT (para el reloj del receptor) y las coordenadas del vehículo; o (b) ignora el TOT y forma (al menos ) la diferencia horaria de llegadas (TDOA), que se utilizan para encontrar las coordenadas del vehículo. Casi siempre (por ejemplo, un plano o la superficie de una esfera) o (por ejemplo, el mundo físico real). Los sistemas que forman TDOA también se denominan sistemas hiperbólicos , [1] por las razones que se analizan a continuación.
Un sistema de navegación de multilateración proporciona información de posición del vehículo a una entidad "en" el vehículo (por ejemplo, piloto de aeronave u operador de receptor GPS). Un sistema de vigilancia de multilateración proporciona la posición del vehículo a una entidad "que no está" en el vehículo (por ejemplo, un controlador de tránsito aéreo o un proveedor de telefonía celular). Por el principio de reciprocidad, cualquier método que pueda utilizarse para la navegación también puede utilizarse para la vigilancia, y viceversa (se trata de la misma información).
Se han desarrollado sistemas para algoritmos TOT y TDOA (que ignoran TOT). En este artículo, se abordan primero los algoritmos TDOA, ya que se implementaron primero. Debido a la tecnología disponible en ese momento, los sistemas TDOA a menudo determinaban la ubicación de un vehículo en dos dimensiones. Los sistemas TOT se abordan en segundo lugar. Se implementaron, aproximadamente, después de 1975 y generalmente involucran satélites. Debido a los avances tecnológicos, los algoritmos TOT generalmente determinan la ubicación de un usuario/vehículo en tres dimensiones. Sin embargo, conceptualmente, los algoritmos TDOA o TOT no están vinculados al número de dimensiones involucradas.
Antes del despliegue del GPS y otros sistemas globales de navegación por satélite (GNSS), los sistemas de multilateración de pseudorango se definían a menudo como (sinónimos de) sistemas TDOA, es decir, sistemas que medían TDOA o formaban TDOA como primer paso en el procesamiento de un conjunto de datos medidos. TOA. Sin embargo, como resultado del despliegue de los GNSS (que deben determinar el TOT), surgieron dos cuestiones: (a) ¿Qué tipo de sistema son los GNSS (multilateración de pseudorango, multilateración de rango verdadero u otro tipo de sistema)? (b) ¿Cuáles son las características definitorias de un sistema de multilateración de pseudorango? (No existen sistemas de vigilancia de multilateración desplegados que determinen el TOT, pero han sido analizados. [2] )
Se han desarrollado sistemas de multilateración de pseudorango para ondas que siguen trayectorias terrestres rectas y curvas y prácticamente para todos los fenómenos ondulatorios: electromagnéticos (varias frecuencias y formas de onda), acústicos (audibles o ultrasónicos, en agua o aire), sísmicos, etc. La técnica de multilateración aparentemente se utilizó por primera vez durante la Primera Guerra Mundial para localizar la fuente de fuego de artillería mediante ondas sonoras audibles (vigilancia TDOA). La vigilancia de multilateración está relacionada con la localización de objetivos de sonar pasivo remolcado (pero no con su identificación), que también se utilizó por primera vez durante la Primera Guerra Mundial.
Los sistemas de navegación por radio de larga distancia se volvieron viables durante la Segunda Guerra Mundial , con el avance de las tecnologías de radio. Aproximadamente entre 1950 y 2000, la multilateración TDOA fue una técnica común en los sistemas de radionavegación fijos en la Tierra , donde se la conocía como navegación hiperbólica . Estos sistemas son relativamente poco exigentes para el receptor del usuario, ya que su "reloj" puede tener un bajo rendimiento/coste y normalmente no está sincronizado con la hora de la estación. [5] La diferencia en la sincronización de la señal recibida se puede incluso medir visiblemente usando un osciloscopio . La introducción del microprocesador simplificó enormemente el funcionamiento, aumentando su popularidad durante la década de 1980. El sistema de navegación hiperbólica TDOA más popular fue Loran-C , que se utilizó en todo el mundo hasta que el sistema se cerró en gran medida.
El desarrollo de relojes atómicos para sincronizar estaciones muy separadas fue decisivo en el desarrollo del GPS y otros GNSS. El uso generalizado de sistemas de navegación por satélite como el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) ha hecho que los sistemas de navegación TDOA fijos en la Tierra sean en gran medida redundantes y la mayoría han sido desmantelados. Debido a su alta precisión con el bajo costo del equipo del usuario, hoy en día la multilateración es el concepto seleccionado con mayor frecuencia para los nuevos sistemas de navegación y vigilancia, por ejemplo, vigilancia de aeronaves en vuelo (alternativa al radar) y en rodaje (alternativa al visual). [6] [7] [8]
La multilateración se usa comúnmente en aplicaciones civiles y militares para (a) localizar un vehículo (avión, barco, automóvil/camión/autobús o operador de telefonía inalámbrica) midiendo los TOA de una señal del vehículo en múltiples estaciones que tienen coordenadas conocidas y están sincronizadas. "relojes" (aplicación de vigilancia) o (b) permiten que el vehículo se ubique en relación con múltiples transmisores (estaciones) en ubicaciones conocidas y que tengan relojes sincronizados basados en mediciones de señales TOA (aplicación de navegación). Cuando las estaciones están fijadas a la tierra y no proporcionan tiempo, los TOA medidos casi siempre se utilizan para formar un TDOA menos.
Para los vehículos, las agencias gubernamentales suelen proporcionar estaciones de vigilancia o navegación (incluida la infraestructura asociada requerida). Sin embargo, las entidades con financiación privada también han sido (y son) proveedores de estaciones/sistemas (por ejemplo, proveedores de telefonía inalámbrica). [9] La multilateración también es utilizada por las comunidades científica y militar para la vigilancia no cooperativa.
La siguiente tabla resume las ventajas y desventajas de la multilateración de pseudorango, particularmente en relación con las mediciones de rango real .
Las ventajas de los sistemas que emplean pseudorangos benefician en gran medida al vehículo/usuario/objetivo. Las desventajas pesan en gran medida sobre el proveedor del sistema.
Se han desarrollado sistemas de navegación de multilateración de pseudorango utilizando una variedad de frecuencias y formas de onda de radio: pulsos de baja frecuencia (por ejemplo, Loran-C); sinusoides continuos de baja frecuencia (p. ej., Decca); banda ancha continua de alta frecuencia (por ejemplo, GPS). Los sistemas de vigilancia de multilateración de pseudorango suelen utilizar transmisores de impulsos existentes (si son adecuados), por ejemplo, Shot-Spotter, ASDE-X y WAM.
Prácticamente siempre, el marco de coordenadas se selecciona en función de las trayectorias de las ondas. Por lo tanto, los marcos cartesianos bidimensionales o tridimensionales se seleccionan con mayor frecuencia, basándose en la propagación de ondas en línea recta (línea de visión). Sin embargo, a veces se utilizan marcos polares (también denominados circulares/esféricos) para concordar con las trayectorias curvas de propagación de las ondas de la superficie terrestre. Dado el tipo de marco, se pueden seleccionar el origen y la orientación de los ejes, por ejemplo, basándose en las ubicaciones de las estaciones. Se pueden utilizar transformaciones de marcos de coordenadas estándar para colocar los resultados en cualquier marco deseado. Por ejemplo, los receptores GPS generalmente calculan su posición utilizando coordenadas rectangulares y luego transforman el resultado en latitud, longitud y altitud.
Dadas las señales recibidas, los sistemas TDOA forman diferencias de pares TOA (consulte "Cálculo de TDOA o TOA a partir de señales recibidas" a continuación). Todas las señales recibidas deben ser miembros de al menos un par TDOA, pero por lo demás las diferencias utilizadas son arbitrarias (dos cualesquiera de los diversos conjuntos de TDOA pueden relacionarse mediante una transformación lineal invertible). Por lo tanto, al formar un TDOA, el orden de los dos TOA involucrados no es importante.
Algunos sistemas TDOA operativos (por ejemplo, Loran-C) designan una estación como "maestra" y forman sus TDOA como la diferencia entre el TOA del maestro y los TOA de las estaciones "secundarias". Cuando , existen posibles combinaciones de TDOA, cada una de las cuales corresponde a una estación que es la maestra de facto. Cuando , existen posibles conjuntos TDOA, de los cuales no tienen un maestro de facto. Cuando , existen posibles conjuntos TDOA, de los cuales no tienen un maestro de facto.
Si se emite un pulso desde un vehículo, generalmente llegará en momentos ligeramente diferentes a sitios receptores espacialmente separados, debiéndose los diferentes TOA a las diferentes distancias de cada receptor al vehículo. Sin embargo, para ubicaciones dadas de dos receptores cualesquiera, un conjunto de ubicaciones de emisores daría la misma diferencia horaria (TDOA). Dadas dos ubicaciones de receptor y un TDOA conocido, el lugar geométrico de las posibles ubicaciones de emisor es la mitad de un hiperboloide de dos láminas .
En términos simples, con dos receptores en ubicaciones conocidas, se puede ubicar un emisor en un hiperboloide (ver Figura 1). [10] Tenga en cuenta que los receptores no necesitan saber el tiempo absoluto en el que se transmitió el pulso, solo se necesita la diferencia horaria. Sin embargo, para formar un TDOA útil a partir de dos TOA medidos, los relojes del receptor deben estar sincronizados entre sí.
Consideremos ahora un tercer receptor en una tercera ubicación que también tiene un reloj sincronizado. Esto proporcionaría una tercera medición TOA independiente y una segunda TDOA (hay una tercera TDOA, pero depende de las dos primeras TDOA y no proporciona información adicional). El emisor está situado en la curva determinada por los dos hiperboloides que se cruzan. Se necesita un cuarto receptor para otros TOA y TDOA independientes. Esto dará un hiperboloide adicional, la intersección de la curva con este hiperboloide da una o dos soluciones, el emisor se ubica entonces en una de las dos soluciones.
Con cuatro receptores sincronizados hay 3 TDOA independientes y se necesitan tres parámetros independientes para un punto en el espacio tridimensional. (Y para la mayoría de las constelaciones, tres TDOA independientes seguirán dando dos puntos en el espacio 3D). Con receptores adicionales se puede obtener una mayor precisión. (Específicamente, para GPS y otros GNSS, la atmósfera influye en el tiempo de viaje de la señal y más satélites dan una ubicación más precisa). Para una constelación sobredeterminada (más de 4 satélites/TOA), se puede utilizar un método de mínimos cuadrados para "reducir" los errores. Promediar durante períodos más prolongados también puede mejorar la precisión.
La precisión también mejora si los receptores se colocan en una configuración que minimice el error de estimación de la posición. [11]
El emisor podrá cooperar o no en el proceso de vigilancia de la multilateración. Así, la vigilancia de multilateración se utiliza con "usuarios" que no cooperan con fines militares y científicos, así como con usuarios que cooperan (por ejemplo, en el transporte civil).
La multilateración también puede ser utilizada por un solo receptor para localizarse, midiendo señales emitidas por transmisores sincronizados en ubicaciones (estaciones) conocidas. Se necesitan al menos tres emisores para la navegación bidimensional (por ejemplo, la superficie de la Tierra); Se necesitan al menos cuatro emisores para la navegación tridimensional. Aunque no es cierto para los sistemas reales, a efectos expositivos, se puede considerar que cada uno de los emisores transmite pulsos estrechos (idealmente, impulsos) exactamente al mismo tiempo en frecuencias separadas (para evitar interferencias). En esta situación, el receptor mide los TOA de los pulsos. En los sistemas TDOA reales, las señales recibidas se correlacionan de forma cruzada con una réplica sin retardo para extraer el pseudo retardo, luego se diferencian con el mismo cálculo para otra estación y se multiplican por la velocidad de propagación para crear diferencias de alcance.
Se han implementado varios métodos para evitar la autointerferencia. Un ejemplo histórico es el sistema británico Decca , desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial. Decca utilizó la diferencia de fase de tres transmisores. Más tarde, Omega desarrolló este principio. Para Loran-C , introducido a finales de la década de 1950, todos los transmisores transmiten pulsos en la misma frecuencia con pequeños retrasos de tiempo diferentes. Los GNSS transmiten continuamente en la misma frecuencia portadora modulada por diferentes códigos pseudoaleatorios (GPS, Galileo, GLONASS revisado).
El concepto TOT se ilustra en la Figura 2 para la función de vigilancia y un escenario plano ( ). La aeronave A, en las coordenadas , transmite una secuencia de pulsos en el tiempo . La transmisión se recibe en estaciones , y en horarios , y respectivamente. Basándose en los tres TOA medidos, el algoritmo de procesamiento calcula una estimación del TOT , a partir de la cual se puede calcular el alcance entre la aeronave y las estaciones. Luego se encuentran las coordenadas del avión .
Cuando el algoritmo calcula el TOT correcto, los tres rangos calculados tienen un punto de intersección común que es la ubicación de la aeronave (los círculos de línea continua en la Figura 2). Si el TOT calculado es posterior al TOT real, los rangos calculados no tienen un punto de intersección común (círculos de línea discontinua en la Figura 2). Está claro que se puede encontrar un algoritmo TOT iterativo. De hecho, el GPS se desarrolló utilizando algoritmos TOT iterativos. Posteriormente se desarrollaron algoritmos TOT de forma cerrada.
Los algoritmos TOT adquirieron importancia con el desarrollo del GPS. GLONASS y Galileo emplean conceptos similares. El principal factor de complicación para todos los GNSS es que las estaciones (transmisores en satélites) se mueven continuamente en relación con la Tierra. Por lo tanto, para calcular su propia posición, el receptor de navegación de un usuario debe conocer las ubicaciones de los satélites en el momento en que se transmite la información en la escala de tiempo del receptor (que se utiliza para medir los TOA). Para lograr esto: (1) las trayectorias de los satélites y los TOT en las escalas de tiempo de los satélites se incluyen en los mensajes de transmisión; y (2) los receptores de los usuarios encuentran la diferencia entre su TOT y el TOT de transmisión por satélite (denominado polarización o compensación del reloj). Los relojes de los satélites GPS están sincronizados con UTC (con una diferencia publicada de unos pocos segundos), así como entre sí. Esto permite a los receptores GPS proporcionar la hora UTC además de su posición.
Considere un emisor (E en la Figura 3) en un vector de ubicación desconocido
que queremos localizar (problema de vigilancia). La fuente está dentro del alcance de receptores en ubicaciones conocidas.
El subíndice se refiere a cualquiera de los receptores:
La distancia ( ) del emisor a uno de los receptores en términos de coordenadas es
Para algunos algoritmos de solución, las matemáticas se facilitan colocando el origen en uno de los receptores ( P 0 ), lo que hace que su distancia al emisor
Las ondas de radio de baja frecuencia siguen la curvatura de la Tierra ( trayectorias de círculo máximo ) en lugar de líneas rectas. En esta situación, la ecuación 1 no es válida. Loran-C [12] y Omega [13] son ejemplos de sistemas que utilizan rangos esféricos. Cuando un modelo esférico para la Tierra es satisfactorio, la expresión más simple para el ángulo central (a veces denominado ángulo geocéntrico ) entre el vehículo y la estación i es
donde las latitudes se indican con y las longitudes con . Se pueden encontrar expresiones equivalentes alternativas y de mejor comportamiento numérico en la navegación de círculo máximo .
La distancia desde el vehículo a la estación i a lo largo de un círculo máximo será entonces
donde es el radio supuesto de la Tierra y se expresa en radianes.
Antes de los GNSS, tenía poco valor determinar el TOT (como lo conoce el receptor) o su equivalente en el contexto de la navegación, el desfase entre los relojes del receptor y del transmisor. Además, cuando se desarrollaron esos sistemas, los recursos informáticos eran bastante limitados. En consecuencia, en esos sistemas (por ejemplo, Loran-C, Omega, Decca), los receptores trataron el TOT como un parámetro molesto y lo eliminaron formando diferencias TDOA (de ahí que se les denominara TDOA o sistemas de diferencia de rango). Estos algoritmos de solución simplificados. Incluso si se necesitara el TOT (en tiempo del receptor) (por ejemplo, para calcular la velocidad del vehículo), el TOT podría encontrarse a partir de un TOA, la ubicación de la estación asociada y la ubicación del vehículo calculada.
Con la llegada del GPS y posteriormente de otros sistemas de navegación por satélite: (1) el TOT, tal como lo conoce el receptor del usuario, proporciona información necesaria y útil; y (2) la potencia informática había aumentado significativamente. Los relojes de los satélites GPS se sincronizan no sólo entre sí sino también con el Tiempo Universal Coordinado (UTC) (con un desplazamiento publicado) y sus ubicaciones se conocen en relación con UTC. Así, los algoritmos utilizados para la navegación por satélite resuelven la posición del receptor y su compensación del reloj (equivalente a TOT) simultáneamente. Luego, el reloj del receptor se ajusta para que su TOT coincida con el TOT del satélite (que se conoce por el mensaje GPS). Al encontrar el desfase del reloj, los receptores GNSS son una fuente de información sobre la hora y la posición. Calcular el TOT es una diferencia práctica entre los GNSS y los sistemas de multilateración TDOA anteriores, pero no es una diferencia fundamental. En primer orden, los errores de estimación de la posición del usuario son idénticos. [14]
Las ecuaciones que rigen el sistema de multilateración, que se basan en que "distancia" es igual a "velocidad de propagación" multiplicada por "tiempo de vuelo", suponen que la velocidad de propagación de la onda de energía es constante e igual a lo largo de todas las rutas de la señal. Esto equivale a suponer que el medio de propagación es homogéneo. Sin embargo, esto no siempre es suficientemente exacto; algunos caminos pueden implicar retrasos de propagación adicionales debido a faltas de homogeneidad en el medio. En consecuencia, para mejorar la precisión de la solución, algunos sistemas ajustan los TOA medidos para tener en cuenta dichos retrasos en la propagación. Así, los sistemas de aumentación GNSS basados en el espacio –por ejemplo, el Sistema de Aumentación de Área Amplia (WAAS) y el Servicio Europeo de Navegación Geoestacionaria Superpuesta (EGNOS)– proporcionan ajustes TOA en tiempo real para tener en cuenta la ionosfera. De manera similar, las agencias del gobierno de EE. UU. solían proporcionar ajustes a las mediciones de Loran-C para tener en cuenta las variaciones de conductividad del suelo.
Supongamos que un sistema de vigilancia calcula las diferencias de tiempo ( para ) de los frentes de onda que tocan cada receptor. La ecuación TDOA para receptores y es (donde la velocidad de propagación de la onda es y los rangos verdaderos del vehículo-receptor son y )
La cantidad a menudo se denomina pseudorango. Se diferencia del alcance real entre el vehículo y la estación por un desplazamiento o polarización, que es el mismo para todas las señales. La diferenciación de dos pseudorangos produce la diferencia de los mismos dos rangos verdaderos.
La Figura 4a (dos primeros gráficos) muestra una simulación de una forma de onda de pulso registrada por los receptores y . El espacio entre , y es tal que el pulso tarda 5 unidades de tiempo más en alcanzar que . Las unidades de tiempo en la Figura 4 son arbitrarias. La siguiente tabla proporciona unidades de escala de tiempo aproximadas para registrar diferentes tipos de ondas:
La curva roja en la Figura 4a (tercer gráfico) es la función de correlación cruzada . La función de correlación cruzada desliza una curva en el tiempo a través de la otra y devuelve un valor máximo cuando las formas de la curva coinciden. El pico en el tiempo = 5 es una medida del cambio de tiempo entre las formas de onda registradas, que también es el valor necesario para la ecuación 3 .
La Figura 4b muestra el mismo tipo de simulación para una forma de onda de banda ancha del emisor. El cambio de tiempo es de 5 unidades de tiempo porque la geometría y la velocidad de la onda son las mismas que en el ejemplo de la Figura 4a. Nuevamente, el pico en la correlación cruzada ocurre en .
La Figura 4c es un ejemplo de una forma de onda continua de banda estrecha del emisor. La función de correlación cruzada muestra un factor importante a la hora de elegir la geometría del receptor. Hay un pico en el tiempo = 5 más cada incremento del período de la forma de onda. Para obtener una solución para la diferencia de tiempo medida, el espacio más grande entre dos receptores debe estar más cerca que una longitud de onda de la señal del emisor. Algunos sistemas, como LORAN C y Decca mencionados anteriormente (recuerde los mismos trabajos matemáticos para receptores en movimiento y múltiples transmisores conocidos), usan espacios mayores que 1 longitud de onda e incluyen equipos, como un detector de fase , para contar el número de ciclos. que pasan a medida que se mueve el emisor. Esto solo funciona para formas de onda continuas de banda estrecha debido a la relación entre fase , frecuencia y tiempo :
El detector de fase verá variaciones en la frecuencia como ruido de fase medido , que será una incertidumbre que se propaga a la ubicación calculada. Si el ruido de fase es lo suficientemente grande, el detector de fase puede volverse inestable.
Los sistemas de navegación emplean métodos similares, pero ligeramente más complejos, que los sistemas de vigilancia para obtener diferencias en los retrasos. El cambio principal es que los sistemas de navegación DTOA correlacionan cada señal recibida con una réplica almacenada de la señal transmitida (en lugar de otra señal recibida). El resultado produce el retardo de tiempo de la señal recibida más la polarización del reloj del usuario (pseudorango escalado por ). Al diferenciar los resultados de dos de estos cálculos se obtiene la diferencia de retardo buscada ( en la ecuación 3 ).
Los sistemas de navegación TOT realizan cálculos similares a los sistemas de navegación TDOA. Sin embargo, no se realiza el paso final, restar los resultados de una correlación cruzada de otra. Por lo tanto, el resultado son los retrasos en el tiempo de la señal recibida más la polarización del reloj del usuario ( en la ecuación 3 ).
Generalmente, utilizando un algoritmo directo (no iterativo), las ecuaciones de medición se pueden reducir a una única "ecuación de solución" escalar no lineal que tiene una variable desconocida (algo análoga a la eliminación de Gauss-Jordan para ecuaciones lineales); por ejemplo, un polinomio cuadrático en una Coordenada cartesiana del vehículo. [15] La posición del vehículo y el TOT siguen fácilmente en secuencia. Cuando , las ecuaciones de medición generalmente tienen dos conjuntos de soluciones (pero a veces cuatro), de los cuales sólo uno es "correcto" (produce el TOT verdadero y la posición del vehículo en ausencia de errores de medición). Las soluciones "incorrectas" de la ecuación de solución no corresponden a la posición del vehículo y al TOT y son ambiguas (producen otras posiciones del vehículo que tienen las mismas medidas) o extrañas (no proporcionan posiciones del vehículo que tienen las mismas medidas, pero son el resultado de manipulaciones matemáticas).
Sin mediciones redundantes (es decir, ), todos los algoritmos válidos producen el mismo conjunto de soluciones "correctas" (pero quizás uno o más conjuntos diferentes de soluciones "incorrectas"). Por supuesto, errores de medición estadísticamente mayores dan como resultado errores estadísticamente mayores en las coordenadas calculadas correctas del vehículo y en el TOT. Con mediciones redundantes (es decir, ), se minimiza una función de pérdida o función de costo (también llamada función de error) (una función de pérdida cuadrática es común). En el caso de mediciones redundantes en ausencia de errores de medición, las ecuaciones de medición suelen tener una solución única. Si hay errores de medición, diferentes algoritmos producen diferentes soluciones "correctas"; algunos son estadísticamente mejores que otros.
Existen varias categorías de algoritmos de multilateración y algunas categorías tienen varios miembros. Quizás el primer factor que gobierna la selección del algoritmo: ¿se requiere una estimación inicial de la posición del usuario (como lo hacen los algoritmos iterativos ) o no? Los algoritmos directos (de forma cerrada) estiman la posición del usuario utilizando únicamente los TOA medidos y no requieren una estimación de la posición inicial. Un factor relacionado que rige la selección del algoritmo: ¿el algoritmo está fácilmente automatizado o, por el contrario, se necesita/espera interacción humana? La mayoría de los algoritmos directos (forma cerrada) tienen múltiples soluciones, lo que va en detrimento de su automatización. Un tercer factor es: ¿Funciona bien el algoritmo tanto con el número mínimo ( ) de mediciones TOA como con mediciones adicionales (redundantes)?
Los algoritmos directos se pueden clasificar aún más según la ruta de propagación de las ondas de energía, ya sea en línea recta o curva. Esto último es aplicable a las ondas de radio de baja frecuencia, que siguen la superficie terrestre; el primero se aplica a frecuencias más altas (digamos, superiores a un megahercio) y a rangos más cortos (cientos de millas).
Esta taxonomía tiene cinco categorías: cuatro para algoritmos directos y una para algoritmos iterativos (que pueden usarse con una o más mediciones y cualquier tipo de ruta de propagación). Sin embargo, parece que sólo se han implementado algoritmos en tres de estas categorías. Cuando se dispone de mediciones redundantes para cualquiera de las rutas de propagación de ondas, se prefieren los algoritmos iterativos a los algoritmos de forma cerrada. [16] A menudo, los sistemas en tiempo real emplean algoritmos iterativos, mientras que los estudios fuera de línea utilizan algoritmos de forma cerrada.
Todos los algoritmos de multilateración suponen que las ubicaciones de las estaciones se conocen en el momento en que se transmite cada onda. Para los sistemas TDOA, las estaciones se fijan a la tierra y se inspeccionan sus ubicaciones. Para los sistemas TOA, los satélites siguen órbitas bien definidas y transmiten información orbital. (Para la navegación, el reloj del receptor del usuario debe estar sincronizado con los relojes del transmisor; esto requiere que se encuentre el TOT). La ecuación 3 es el hiperboloide descrito en la sección anterior, donde 4 receptores (0 ≤ m ≤ 3) conducen a 3 no -ecuaciones lineales en 3 coordenadas cartesianas desconocidas (x,y,z). Luego, el sistema debe buscar la ubicación desconocida del usuario (a menudo, el vehículo) en tiempo real. (Una variación: los sistemas de multilateración de control de tráfico aéreo utilizan el mensaje del transpondedor SSR Modo C para encontrar la altitud de una aeronave. Se utilizan tres o más receptores en ubicaciones conocidas para encontrar las otras dos dimensiones, ya sea (x,y) para una aplicación de aeropuerto, o latitud/longitud para aplicaciones fuera del aeropuerto.)
Steven Bancroft fue aparentemente el primero en publicar una solución de forma cerrada al problema de localizar a un usuario (por ejemplo, un vehículo) en tres dimensiones y el TOT común utilizando cuatro o más medidas TOA. [17] El algoritmo de Bancroft, como muchos, reduce el problema a la solución de una ecuación algebraica cuadrática; su solución produce las tres coordenadas cartesianas del receptor así como la señal común TOT. Posteriormente se desarrollaron otras soluciones comparables. [18] [19] [20] [21] [22] En particular, todas las soluciones de forma cerrada se encontraron una década o más después de que se iniciara el programa GPS utilizando métodos iterativos.
Las soluciones de forma cerrada a menudo implican elevar al cuadrado la distancia o el pseudorango para evitar la linealización local de una operación de raíz cuadrada. Sin embargo, esta cuadratura altera las estadísticas de ruido y puede conducir a soluciones subóptimas. Normalmente, se emplea una simplificación de dos pasos: primero, resolver un problema de mínimos cuadrados lineal ignorando las restricciones esféricas (distancia al cuadrado) y luego encontrar la intersección con la restricción. Este enfoque puede sufrir una degradación del rendimiento en presencia de ruido.
Una técnica más refinada implica resolver directamente un problema de "mínimos cuadrados restringidos", y al mismo tiempo abordar las estadísticas de ruido modificadas. Si bien este método puede no producir una solución cerrada y a menudo requiere enfoques iterativos, ofrece ventajas significativas. Al evitar la linealización local, se facilita la convergencia a un mínimo global sin requerir una suposición inicial. Además, tiende a encontrar menos mínimos locales y demuestra una mayor precisión, particularmente en entornos ruidosos.
La solución de mínimos cuadrados restringidos para sistemas TDOA aparentemente fue propuesta inicialmente por Huang et al. [23] y explorado más a fondo por investigadores posteriores. [24] [25] [26] Se introdujeron metodologías similares para los sistemas TOT [27] que también ilustran cómo convertir un problema de TDOA a TOT incorporando una ecuación adicional y un sesgo de reloj desconocido. La solución TOT supera a la solución TDOA debido a la susceptibilidad de esta última a la coloración del ruido, causada por la resta del TOA de la estación de referencia. También se analiza la versión robusta, como las "desviaciones mínimas absolutas restringidas", que muestra un rendimiento superior a los mínimos cuadrados en escenarios que involucran ruido no gaussiano y contaminación de mediciones atípicas.
La solución para la posición de una aeronave que tiene una altitud conocida utilizando 3 mediciones TOA requiere resolver un polinomio cuártico (de cuarto orden). [14] [28]
Los sistemas de multilateración y los estudios que emplean mediciones de rango esférico (por ejemplo, Loran-C, Decca, Omega) utilizaron una variedad de algoritmos de solución basados en métodos iterativos o trigonometría esférica. [29]
Para coordenadas cartesianas, cuando hay cuatro TOA disponibles y se necesita el TOT, el algoritmo de Bancroft [17] u otro algoritmo de forma cerrada (directo) son opciones, incluso si las estaciones se están moviendo. Cuando las cuatro estaciones están estacionarias y no se necesita el TOT, una opción es la extensión del algoritmo de Fang (basado en DTOA) a tres dimensiones. [14] Otra opción, y probablemente la más utilizada en la práctica, es el método iterativo de mínimos cuadrados no lineales de Gauss-Newton. [16] [14]
La mayoría de los algoritmos de forma cerrada reducen la búsqueda de la ubicación del vehículo del usuario desde los TOA medidos hasta la solución de una ecuación cuadrática. Una solución de la cuadrática produce la ubicación del usuario. La otra solución es ambigua o extraña; ambas pueden ocurrir (cuál depende de las dimensiones y la ubicación del usuario). Generalmente, eliminar la solución incorrecta no es difícil para un ser humano, pero puede requerir el movimiento del vehículo y/o información de otro sistema. Un método alternativo utilizado en algunos sistemas de multilateración es emplear el método NLLS de Gauss-Newton y requerir un TOA redundante al establecer por primera vez la vigilancia de un vehículo. A partir de entonces, solo se requiere la cantidad mínima de TOA.
Los sistemas de navegación por satélite como el GPS son los ejemplos más destacados de multilateración tridimensional. [3] [4] Multilateración de área amplia (WAM), un sistema de vigilancia de aeronaves en 3-D, emplea una combinación de tres o más mediciones TOA y un informe de altitud de la aeronave.
Para encontrar la ubicación de un usuario en una geometría cartesiana bidimensional (2-D), se puede adaptar uno de los muchos métodos desarrollados para la geometría 3-D, la mayoría motivados por GPS, por ejemplo, el de Bancroft [30] o el de Krause. [19] Además, existen algoritmos TDOA especializados para dos dimensiones y estaciones en ubicaciones fijas; destaca el método de Fang. [15]
Se ha realizado una comparación de algoritmos cartesianos 2-D para la vigilancia de superficies aeroportuarias. [31] Sin embargo, como en la situación 3-D, es probable que los algoritmos más utilizados se basen en Gauss-Newton NLLS. [16] [14]
Ejemplos de sistemas de multilateración cartesiana 2-D son los que se utilizan en los principales aeropuertos de muchos países para vigilar aeronaves en la superficie o en altitudes muy bajas.
Razin [29] desarrolló un algoritmo de forma cerrada para una Tierra esférica. Williams y Last [32] ampliaron la solución de Razin a un modelo terrestre de esfera osculante.
Cuando lo requiera la combinación de la distancia vehículo-estación (por ejemplo, cientos de millas o más) y la precisión requerida de la solución, se debe considerar la forma elipsoidal de la Tierra. Esto se ha logrado utilizando el método NLLS de Gauss-Newton [33] junto con algoritmos elipsoides de Andoyer, [34] Vincenty [35] y Sodano. [36]
Ejemplos de sistemas de navegación de multilateración 'esféricos' 2-D que tuvieron en cuenta la forma elipsoidal de la Tierra son los sistemas de radionavegación Loran-C y Omega , ambos operados por grupos de naciones. Se entiende que sus homólogos rusos, CHAYKA y Alpha (respectivamente), operan de manera similar.
Considere un escenario cartesiano tridimensional. Mejorar la precisión con una gran cantidad de receptores (digamos, numerados ) puede ser un problema para dispositivos con pequeños procesadores integrados, debido al tiempo necesario para resolver varias ecuaciones no lineales simultáneas ( 1 , 2 , 3 ). El problema TDOA se puede convertir en un sistema de ecuaciones lineales cuando hay tres o más receptores, lo que puede reducir el tiempo de cálculo. Comenzando con la ecuación 3 , resuelva , eleve al cuadrado ambos lados, recopile los términos y divida todos los términos entre :
Eliminar el término eliminará todos los términos de raíz cuadrada. Eso se hace restando la ecuación TDOA del receptor de cada una de las demás ( )
Concéntrese por un momento en la ecuación 1 . Eleva al cuadrado , agrupa términos similares y usa la ecuación 2 para reemplazar algunos de los términos con .
Combine las ecuaciones 5 y 6 y escriba como un conjunto de ecuaciones lineales (para ) de la ubicación desconocida del emisor
Utilice la ecuación 7 para generar las cuatro constantes a partir de las distancias y el tiempo medidos para cada receptor . Este será un conjunto de ecuaciones lineales no homogéneas.
Hay muchos métodos robustos de álgebra lineal que pueden resolver , como la eliminación gaussiana . El capítulo 15 de Recetas numéricas [37] describe varios métodos para resolver ecuaciones lineales y estimar la incertidumbre de los valores resultantes.
La característica definitoria y la principal desventaja de los métodos iterativos es que se requiere una estimación inicial "razonablemente precisa" de la ubicación del "vehículo". Si la estimación inicial no se acerca lo suficiente a la solución, es posible que el método no converja o converja a una solución ambigua o extraña. Sin embargo, los métodos iterativos tienen varias ventajas: [16]
Muchos sistemas de multilateración en tiempo real proporcionan una secuencia rápida de soluciones de posición del usuario; por ejemplo, los receptores GPS suelen proporcionar soluciones a intervalos de 1 segundo. Casi siempre, estos sistemas implementan: (a) un modo transitorio de "adquisición" (vigilancia) o de "arranque en frío" (navegación), mediante el cual la ubicación del usuario se encuentra únicamente a partir de las mediciones actuales; y (b) un modo de 'seguimiento' (vigilancia) o 'arranque en caliente' (navegación) de estado estable, mediante el cual la ubicación calculada previamente por el usuario se actualiza en función de las mediciones actuales (lo que hace que la principal desventaja de los métodos iterativos sea discutible). A menudo, los dos modos emplean diferentes algoritmos y/o tienen diferentes requisitos de medición, siendo (a) más exigente. El algoritmo iterativo de Gauss-Newton se utiliza a menudo para (b) y puede utilizarse para ambos modos.
Cuando hay más mediciones de TOA que cantidades desconocidas (por ejemplo, 5 o más TOA de satélites GPS), a menudo se prefiere el algoritmo iterativo de Gauss-Newton para resolver problemas de mínimos cuadrados no lineales (NLLS). Excepto en el caso de las ubicaciones de las estaciones patológicas, una situación sobredeterminada elimina posibles soluciones ambiguas y/o extrañas que pueden ocurrir cuando solo está disponible el número mínimo de mediciones de TOA. Otra ventaja importante del método de Gauss-Newton sobre algunos algoritmos de forma cerrada es que trata los errores de medición de forma lineal, que suele ser su naturaleza, reduciendo así el efecto de los errores de medición al promediar. El método de Gauss-Newton también se puede utilizar con el número mínimo de mediciones.
Si bien el algoritmo iterativo Gauss-Newton NLLS se usa ampliamente en sistemas operativos (por ejemplo, ASDE-X), el método iterativo Nelder-Mead también está disponible. Se encuentran disponibles códigos de ejemplo para este último, tanto para sistemas TOA como TDOA. [38]
La multilateración suele ser más precisa para localizar un objeto que la multilateración o la multiangulación de alcance real , ya que (a) es inherentemente difícil y/o costoso medir con precisión el alcance (distancia) real entre un vehículo en movimiento y una estación, particularmente en distancias grandes. y (b) las mediciones precisas de ángulos requieren antenas grandes que son costosas y difíciles de ubicar.
La precisión de un sistema de multilateración es función de varios factores, entre ellos:
La precisión se puede calcular utilizando el límite de Cramér-Rao y teniendo en cuenta los factores anteriores en su formulación. Además, se puede elegir una configuración de los sensores que minimice una métrica obtenida del límite Cramér-Rao para optimizar la estimación de la posición real del objetivo en una región de interés. [11]
En cuanto a la primera cuestión (geometría de las estaciones de usuario), la planificación de un sistema de multilateración a menudo implica un análisis de dilución de precisión (DOP) para informar las decisiones sobre el número y la ubicación de las estaciones y el área de servicio del sistema (dos dimensiones) o el volumen (tres dimensiones). ). En un análisis DOP, se supone que los errores de medición de TOA son estadísticamente independientes y están distribuidos de manera idéntica. Esta suposición razonable separa los efectos de la geometría de la estación del usuario y los errores de medición del TOA en el error en la posición calculada del usuario. [2] [39]
La multilateración requiere que las estaciones espacialmente separadas –ya sean transmisores (navegación) o receptores (vigilancia)– tengan 'relojes' sincronizados. Hay dos requisitos de sincronización distintos: (1) mantener la precisión de la sincronización continuamente durante la vida útil del equipo del sistema involucrado (por ejemplo, 25 años); y (2) para vigilancia, medir con precisión el intervalo de tiempo entre TOA para cada transmisión por 'vehículo'. El requisito (1) es transparente para el usuario, pero es una consideración importante en el diseño del sistema. Para mantener la sincronización, los relojes de las estaciones deben sincronizarse o restablecerse periódicamente (por ejemplo, cada medio día para GPS, cada pocos minutos para ASDE-X). A menudo, la precisión del sistema es monitoreada continuamente por "usuarios" en ubicaciones conocidas; por ejemplo, el GPS tiene cinco sitios de monitoreo.
Se han utilizado múltiples métodos para la sincronización de estaciones. Normalmente, el método se selecciona en función de la distancia entre estaciones. En orden aproximado de distancia creciente, los métodos han incluido:
Si bien el rendimiento de todos los sistemas de navegación y vigilancia depende de la ubicación del usuario en relación con las estaciones, los sistemas de multilateración son más sensibles a la geometría de la estación del usuario que la mayoría de los sistemas. A modo de ejemplo, consideremos un hipotético sistema de vigilancia de dos estaciones que monitorea la ubicación de una locomotora de ferrocarril a lo largo de un tramo recto de vía: una situación unidimensional . La locomotora lleva un transmisor y la vía es recta en ambos sentidos más allá del tramo supervisado. Por conveniencia, deje que el origen del sistema esté a medio camino entre las estaciones; luego ocurre en el origen.
Un sistema de este tipo funcionaría bien cuando haya una locomotora entre las dos estaciones. Cuando está en movimiento, una locomotora se dirige directamente hacia una estación y se aleja directamente de la otra. Si una locomotora está alejada del origen, en ausencia de errores de medición, el TDOA sería (donde está la velocidad de propagación de la onda conocida). Por lo tanto, (ignorando el factor de escala ) la cantidad de desplazamiento se duplica en el TDOA. Si se midieran rangos verdaderos en lugar de pseudorangos, la diferencia de medición sería idéntica.
Sin embargo, este sistema unidimensional de pseudodistancia no funcionaría en absoluto si no hubiera una locomotora entre las dos estaciones. En cualquiera de las regiones de extensión, si una locomotora se mueve entre dos transmisiones, necesariamente alejándose de ambas estaciones, el TDOA no cambiaría. En ausencia de errores, los cambios en los dos TOA se cancelarían perfectamente en la formación del TDOA. En las zonas de ampliación, el sistema siempre indicaba que una locomotora se encontraba en la estación más cercana, independientemente de su posición real. Por el contrario, un sistema que mida alcances reales funcionaría en las regiones de extensión exactamente como lo hace cuando la locomotora está entre las estaciones. Este sistema unidimensional proporciona un ejemplo extremo del área de servicio de un sistema de multilateración.
En una situación multidimensional (es decir, o ), los extremos de medición de un escenario unidimensional rara vez ocurren. Cuando se encuentra dentro del perímetro que rodea las estaciones, un vehículo normalmente se aleja parcialmente de algunas estaciones y parcialmente hacia otras estaciones. Es muy poco probable que se mueva directamente hacia una estación y simultáneamente se aleje directamente de otra; además, no puede acercarse o alejarse directamente de todas las estaciones al mismo tiempo. En pocas palabras, dentro del perímetro de las estaciones, los TDOA consecutivos normalmente amplificarán, pero no duplicarán, el movimiento de vehículos que ocurrió durante ese intervalo, es decir ,. Por el contrario, fuera del perímetro, los TDOA consecutivos normalmente atenuarán pero no cancelarán el movimiento del vehículo asociado, es decir ,. La cantidad de amplificación o atenuación dependerá de la ubicación del vehículo. El rendimiento del sistema, promediado en todas las direcciones, varía continuamente en función de la ubicación del usuario.
Al analizar un sistema de multilateración 2D o 3D, generalmente se emplea la dilución de precisión (DOP) para cuantificar el efecto de la geometría de la estación del usuario en la precisión de la determinación de la posición. [41] La métrica DOP básica es
El símbolo transmite la noción de que existen múltiples "sabores" de DOP: la elección depende del número de dimensiones espaciales involucradas y de si el error de la solución TOT está incluido en la métrica. Se deben utilizar las mismas unidades de distancia en el numerador y denominador de esta fracción (por ejemplo, metros). ?DOP es un factor adimensional que suele ser mayor que uno, pero es independiente del error de medición de pseudorango (PR). (Cuando se trata de estaciones redundantes, es posible tener 0 < ?DOP < 1.) Generalmente se emplea HDOP (? = H y XXX = posición horizontal) cuando el interés se centra en la posición de un vehículo en un avión.
Se supone que los errores de pseudorango se suman a los TOA medidos, tienen distribución gaussiana, tienen media cero (valor promedio) y tienen la misma desviación estándar independientemente de la ubicación del vehículo o de la estación involucrada. Al etiquetar los ejes ortogonales en el plano como y , el error de posición horizontal se caracteriza estadísticamente como
Matemáticamente, cada "sabor" de DOP es una sensibilidad diferente ("derivada") de la desviación estándar de una cantidad de solución (por ejemplo, posición horizontal) con respecto a la desviación estándar del error de pseudorango. (Aproximadamente, DOP corresponde a la condición .) Es decir, ?DOP es la tasa de cambio de la desviación estándar de una cantidad de solución de su valor correcto debido a errores de medición, suponiendo que se utilice un algoritmo de mínimos cuadrados linealizado. (También es la varianza más pequeña para cualquier algoritmo. [42] ) Específicamente, HDOP es la sensibilidad ("derivada") de la desviación estándar de la posición horizontal del usuario (es decir, su sensibilidad) a la desviación estándar del error de pseudorango.
Para tres estaciones, la precisión de la multilateración es bastante buena dentro de casi todo el triángulo que rodea las estaciones, digamos, 1 < HDOP < 1,5 y está cerca del HDOP para mediciones de alcance real utilizando las mismas estaciones. Sin embargo, el HDOP de un sistema de multilateración se degrada rápidamente en ubicaciones fuera del perímetro de la estación. La Figura 5 ilustra el área de servicio aproximada del sistema de multilateración bidimensional que tiene tres estaciones que forman un triángulo equilátero. Las estaciones son M – U – V. BLU denota unidad de línea base (separación de estaciones ). El círculo interior es más "conservador" y corresponde a un "arranque en frío" (sin conocimiento de la posición inicial del vehículo). El círculo exterior es más típico y corresponde a partir de un lugar conocido. Los ejes están normalizados por la separación entre estaciones.
La Figura 6 muestra los contornos de HDOP para el mismo sistema de multilateración. El HDOP mínimo, 1,155, se produce en el centro del triángulo formado por las estaciones (y sería el mismo valor para mediciones de alcance real). Comenzando con HDOP = 1,25, los contornos mostrados siguen una progresión de factor de 2. Su espaciado aproximadamente igual (fuera de las tres áreas en forma de V entre las extensiones de la línea de base) es consistente con el rápido crecimiento del error de posición horizontal con la distancia desde las estaciones. El comportamiento HDOP del sistema es cualitativamente diferente en las tres áreas en forma de V entre las extensiones de la línea base. HDOP es infinito a lo largo de las extensiones de la línea base y es significativamente mayor en estas áreas. (HDOP no está definido matemáticamente en las estaciones; por lo tanto, múltiples contornos DOP pueden terminar en una estación). No se debe utilizar un sistema de tres estaciones entre las extensiones de la línea base.
Para ubicaciones fuera del perímetro de las estaciones, normalmente se debe utilizar un sistema de multilateración sólo cerca del centro de la línea de base más cercana que conecta dos estaciones (situación plana bidimensional) o cerca del centro del plano más cercano que contiene tres estaciones (situación tridimensional). Además, un sistema de multilateración sólo debe emplearse para ubicaciones de usuario que estén a una fracción de la longitud de una línea de base promedio (por ejemplo, menos del 25 %) de la línea de base o plano más cercano. Por ejemplo:
Cuando hay más estaciones disponibles que el mínimo requerido (suele ser el caso de un usuario de GPS), HDOP se puede mejorar (reducir). Sin embargo, persisten en gran medida las limitaciones en el uso del sistema fuera del perímetro de la estación poligonal. Por supuesto, el sistema de procesamiento (por ejemplo, el receptor GPS) debe poder utilizar los TOA adicionales. Esto no es un problema hoy, pero ha sido una limitación en el pasado.
