Cuadrática (geometría algebraica)

Las dos familias de líneas en una superficie cuadrática lisa (dividida)

En matemáticas , una superficie cuadrática o hipersuperficie cuadrática es el subespacio de un espacio N -dimensional definido por una ecuación polinómica de grado 2 sobre un cuerpo . Las superficies cuadráticas son ejemplos fundamentales en geometría algebraica . La teoría se simplifica al trabajar en el espacio proyectivo en lugar del espacio afín. Un ejemplo es la superficie cuadrática

${\displaystyle xy=zw}$

en el espacio proyectivo sobre los números complejos C. Una cuádrica tiene una acción natural del grupo ortogonal , por lo que el estudio de las cuádricas puede considerarse como un descendiente de la geometría euclidiana . ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{3}}$

Muchas propiedades de las cuádricas se cumplen de manera más general para las variedades homogéneas proyectivas . Otra generalización de las cuádricas la proporcionan las variedades de Fano .

Propiedad de cuádrica Por definición, una cuádrica X de dimensión n sobre un cuerpo k es el subespacio de definido por q = 0, donde q es un polinomio homogéneo distinto de cero de grado 2 sobre k en variables . (Un polinomio homogéneo también se llama forma , y por lo tanto q puede llamarse una forma cuadrática ). Si q es el producto de dos formas lineales, entonces X es la unión de dos hiperplanos . Es común suponer que y q es irreducible , lo que excluye ese caso especial. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n+1}}$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

Aquí las variedades algebraicas sobre un cuerpo k se consideran como una clase especial de esquemas sobre k . Cuando k es algebraicamente cerrado , también se puede pensar en una variedad proyectiva de una manera más elemental, como un subconjunto de definido por ecuaciones polinómicas homogéneas con coeficientes en k . ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{N}(k)=(k^{N+1}-0)/k^{*}}$

Una superficie cuadrática singular, el cono sobre una curva cónica suave

Si q puede escribirse (después de algún cambio lineal de coordenadas) como un polinomio en un subconjunto propio de las variables, entonces X es el cono proyectivo sobre una cuádrica de dimensión inferior. Es razonable centrar la atención en el caso en que X no es un cono. Para k de característica distinta de 2, X no es un cono si y solo si X es suave sobre k . Cuando k tiene característica distinta de 2, la suavidad de una cuádrica también es equivalente a que la matriz hessiana de q tenga determinante distinto de cero , o a que la forma bilineal asociada b ( x , y ) = q ( x + y ) – q ( x ) – q ( y ) sea no degenerada . En general, para k de característica distinta de 2, el rango de una cuádrica significa el rango de la matriz hessiana. Una cuádrica de rango r es un cono iterado sobre una cuádrica suave de dimensión r − 2. ^[1]

Es un resultado fundamental que una cuádrica suave sobre un cuerpo k es racional sobre k si y solo si X tiene un punto k - racional . ^[2] Es decir, si hay una solución de la ecuación q = 0 de la forma con en k , no todo cero (por lo tanto correspondiente a un punto en el espacio proyectivo), entonces hay una correspondencia biunívoca definida por funciones racionales sobre k entre menos un subconjunto de dimensión inferior y X menos un subconjunto de dimensión inferior. Por ejemplo, si k es infinito, se sigue que si X tiene un punto k -racional entonces tiene infinitos. Esta equivalencia se demuestra por proyección estereográfica . En particular, toda cuádrica sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es racional. ${\displaystyle (a_{0},\ldots ,a_{n+1})}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}$

Una cuádrica sobre un cuerpo k se llama isótropa si tiene un punto k -racional. Un ejemplo de una cuádrica anisotrópica es la cuádrica

${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=0}$

en el espacio proyectivo sobre los números reales R . ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n+1}}$

Subespacios lineales de cuadráticas

Una parte central de la geometría de las cuádricas es el estudio de los espacios lineales que contienen. (En el contexto de la geometría proyectiva, un subespacio lineal de es isomorfo a para algún .) Un punto clave es que cada espacio lineal contenido en una cuádrica suave tiene dimensión como máximo la mitad de la dimensión de la cuádrica. Además, cuando k es algebraicamente cerrado, este es un límite óptimo, lo que significa que cada cuádrica suave de dimensión n sobre k contiene un subespacio lineal de dimensión . ^[3] ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{N}}$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{a}}$ ${\displaystyle a\leq N}$ ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$

Sobre cualquier cuerpo k , una cuádrica suave de dimensión n se dice que está dividida si contiene un espacio lineal de dimensión sobre k . Por lo tanto, toda cuádrica suave sobre un cuerpo algebraicamente cerrado está dividida. Si una cuádrica X sobre un cuerpo k está dividida, entonces puede escribirse (después de un cambio lineal de coordenadas) como ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$

${\displaystyle x_{0}x_{1}+x_{2}x_{3}+\cdots +x_{2m-2}x_{2m-1}+x_{2m}^{2}=0}$

si X tiene dimensión 2 m − 1, o

${\displaystyle x_{0}x_{1}+x_{2}x_{3}+\cdots +x_{2m}x_{2m+1}=0}$

si X tiene dimensión 2 m . ^[4] En particular, sobre un campo algebraicamente cerrado, sólo hay una cuádrica suave de cada dimensión, hasta el isomorfismo.

Para muchas aplicaciones, es importante describir el espacio Y de todos los subespacios lineales de dimensión máxima en una cuádrica suave dada X . (Para mayor claridad, suponga que X está dividido en k .) Un fenómeno sorprendente es que Y está conexo si X tiene dimensión impar, mientras que tiene dos componentes conexos si X tiene dimensión par. Es decir, hay dos "tipos" diferentes de espacios lineales máximos en X cuando X tiene dimensión par. Las dos familias se pueden describir de la siguiente manera: para una cuádrica suave X de dimensión 2 m , fije un m -plano Q contenido en X . Luego, los dos tipos de m -planos P contenidos en X se distinguen por si la dimensión de la intersección es par o impar. ^[5] (Aquí se toma la dimensión del conjunto vacío como −1). ${\displaystyle P\cap Q}$

Cuadrículas de baja dimensión

Sea X una cuádrica dividida sobre un cuerpo k . (En particular, X puede ser cualquier cuádrica suave sobre un cuerpo algebraicamente cerrado.) En dimensiones bajas, X y los espacios lineales que contiene se pueden describir de la siguiente manera.

• Una curva cuadrática en se llama cónica . Una cónica dividida sobre k es isomorfa a la línea proyectiva sobre k , incrustada en por la 2.ª incrustación veronesa . ^[6] (Por ejemplo, las elipses, parábolas e hipérbolas son diferentes tipos de cónicas en el plano afín sobre R , pero sus cierres en el plano proyectivo son todos isomorfos a sobre R ). ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

• Una superficie cuadrática dividida X es isomorfa a , incrustada en por la incrustación de Segre . El espacio de líneas en la superficie cuadrática X tiene dos componentes conectados, cada uno isomorfo a . ^[7] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

• Una cuadrática triple dividida X puede verse como un Grassmanniano isótropo para el grupo simpléctico Sp(4, k ). (Esto está relacionado con el isomorfismo excepcional de los grupos algebraicos lineales entre SO(5, k ) y ). Es decir, dado un espacio vectorial de 4 dimensiones V con una forma simpléctica , la cuadrática triple X puede identificarse con el espacio LGr(2,4) de 2 planos en V en el que la forma se restringe a cero. Además, el espacio de líneas en la cuadrática triple X es isomorfo a . ^[8] ${\displaystyle \operatorname {Sp} (4,k)/\{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

• Una X cuadrática dividida de 4 pliegues puede verse como el Grassmanniano Gr(2,4), el espacio de 2 planos en un espacio vectorial de 4 dimensiones (o equivalentemente, de líneas en ). (Esto está relacionado con el isomorfismo excepcional de los grupos algebraicos lineales entre SO(6, k ) y ). El espacio de 2 planos en la X cuadrática de 4 pliegues tiene dos componentes conectados, cada uno isomorfo a . ^[9] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (4,k)/\{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

• El espacio de 2 planos en una cuadrática dividida de 5 pliegues es isomorfo a una cuadrática dividida de 6 pliegues. Asimismo, ambos componentes del espacio de 3 planos en una cuadrática dividida de 6 pliegues son isomorfos a una cuadrática dividida de 6 pliegues. (Esto está relacionado con el fenómeno de trialidad para el grupo Spin(8).)

Como sugieren estos ejemplos, el espacio de m -planos en una cuádrica dividida de dimensión 2 m siempre tiene dos componentes conectados, cada uno isomorfo al Grassmanniano isótropo de ( m − 1)-planos en una cuádrica dividida de dimensión 2 m − 1. ^[10] Cualquier reflexión en el grupo ortogonal asigna un componente isomorfamente al otro.

La descomposición de Bruhat

Una cuádrica suave sobre un cuerpo k es una variedad homogénea proyectiva para el grupo ortogonal (y para el grupo ortogonal especial ), vistos como grupos algebraicos lineales sobre k . Como cualquier variedad homogénea proyectiva para un grupo reductivo dividido , una cuádrica dividida X tiene una descomposición en celdas algebraicas, conocida como descomposición de Bruhat . (En particular, esto se aplica a toda cuádrica suave sobre un cuerpo algebraicamente cerrado). Es decir, X puede escribirse como una unión finita de subconjuntos disjuntos que son isomorfos a espacios afines sobre k de varias dimensiones. (Para las variedades homogéneas proyectivas, las celdas se denominan celdas de Schubert y sus cierres se denominan variedades de Schubert ). Las variedades celulares son muy especiales entre todas las variedades algebraicas. Por ejemplo, una variedad celular es racional , y (para k = C ) la teoría de Hodge de una variedad celular proyectiva suave es trivial, en el sentido de que para . Para una variedad celular, el grupo de Chow de ciclos algebraicos en X es el grupo abeliano libre en el conjunto de celdas, como lo es la homología integral de X (si k = C ). ^[11] ${\displaystyle h^{p,q}(X)=0}$ ${\displaystyle p\neq q}$

Una cuádrica X dividida de dimensión n tiene sólo una celda de cada dimensión r , excepto en la dimensión media de una cuádrica de dimensión par, donde hay dos celdas. Los cierres de celda correspondientes (variedades de Schubert) son: ^[12]

• Para , un espacio lineal contenido en X . ${\displaystyle 0\leq r<n/2}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$

• Para r = n /2, ambas variedades de Schubert son espacios lineales contenidos en X , uno de cada una de las dos familias de espacios lineales de dimensión media (como se describió anteriormente). ${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$

• Para , la variedad de Schubert de dimensión r es la intersección de X con un espacio lineal de dimensión r + 1 en ; por lo tanto, es una cuádrica de dimensión r . Es el cono iterado sobre una cuádrica suave de dimensión 2 r − n . ${\displaystyle n/2<r\leq n}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n+1}}$

Utilizando la descomposición de Bruhat, es sencillo calcular el anillo de Chow de una cuádrica dividida de dimensión n sobre un cuerpo, de la siguiente manera. ^[13] Cuando el cuerpo base son los números complejos, este es también el anillo de cohomología integral de una cuádrica suave, con mapeo isomorfo a . (La cohomología en grados impares es cero). ${\displaystyle CH^{j}}$ ${\displaystyle H^{2j}}$

• Para n = 2 m − 1, , donde | h | = 1 y | l | =  m . ${\displaystyle CH^{*}(X)\cong \mathbb {Z} [h,l]/(h^{m}-2l,l^{2})}$

• Para n = 2 m , , donde | h | = 1 y | l | =  m , y a es 0 para m impar y 1 para m par. ${\displaystyle CH^{*}(X)\cong \mathbb {Z} [h,l]/(h^{m+1}-2hl,l^{2}-ah^{m}l)}$

Aquí h es la clase de una sección de hiperplano y l es la clase de un subespacio lineal maximal de X . (Para n  = 2 m , la clase del otro tipo de subespacio lineal maximal es .) Este cálculo muestra la importancia de los subespacios lineales de una cuádrica: el anillo de Chow de todos los ciclos algebraicos en X es generado por el elemento "obvio" h (retirado de la clase de un hiperplano en ) junto con la clase de un subespacio lineal maximal de X . ${\displaystyle h^{m}-l}$ ${\displaystyle c_{1}O(1)}$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n+1}}$

Grassmanianos isótropos y la variedad proyectiva de espinor puro

El espacio de r -planos en una cuádrica n -dimensional suave (como la cuádrica misma) es una variedad homogénea proyectiva, conocida como Grassmanniana isótropa o Grassmanniana ortogonal OGr( r  + 1,  n  + 2). (La numeración se refiere a las dimensiones de los espacios vectoriales correspondientes. En el caso de subespacios lineales de dimensión media de una cuádrica de dimensión par 2 m , se escribe para uno de los dos componentes conectados.) Como resultado, las Grassmannianas isótropas de una cuádrica dividida sobre un cuerpo también tienen descomposiciones de celdas algebraicas. ${\displaystyle \operatorname {OGr} _{+}(m+1,2m+2)}$

El Grassmanniano isótropo W = OGr( m ,2 m  + 1) de ( m  − 1)-planos en una cuádrica suave de dimensión 2 m  − 1 también puede verse como la variedad de Espinores puros proyectivos , o variedad de espinores simples , ^{[14] [15]} de dimensión m ( m  + 1)/2. (Otra descripción de la variedad de espinores puros es como . ^[10] ) Para explicar el nombre: la incrustación proyectiva SO(2 m  + 1) -equivariante más pequeña de W aterriza en el espacio proyectivo de dimensión . ^[16] La acción de SO(2 m  + 1) en este espacio proyectivo no proviene de una representación lineal de SO(2 m + 1) sobre k , sino más bien de una representación de su doble cubierta simplemente conexa , el grupo de espín Spin(2 m  + 1) sobre k . Esto se llama la representación de espín de Spin(2 m  + 1), de dimensión . ${\displaystyle \operatorname {OGr} _{+}(m+1,2m+2)}$ ${\displaystyle 2^{m}-1}$ ${\displaystyle 2^{m}}$

Sobre los números complejos, el Grassmanniano isótropo OGr( r  + 1,  n  + 2) de los planos r en una X cuadrática n -dimensional es un espacio homogéneo para el grupo algebraico complejo , y también para su subgrupo compacto máximo , el grupo de Lie compacto SO( n  + 2). Desde este último punto de vista, este Grassmanniano isótropo es ${\displaystyle G=\operatorname {SO} (n+2,\mathbf {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (n+2)/(\operatorname {U} (r+1)\times \operatorname {SO} (n-2r)),}$

donde U( r +1) es el grupo unitario . Para r = 0, el Grassmanniano isótropo es el propio cuádrico, que por lo tanto puede verse como

${\displaystyle \operatorname {SO} (n+2)/(\operatorname {U} (1)\times \operatorname {SO} (n)).}$

Por ejemplo, la variedad de espinor pura proyectivizada compleja OGr( m , 2 m  + 1) puede verse como SO(2 m  + 1)/U( m ), y también como SO(2 m +2)/U( m +1). Estas descripciones pueden usarse para calcular el anillo de cohomología (o equivalentemente el anillo de Chow) de la variedad de espinor:

${\displaystyle CH^{*}\operatorname {OGr} (m,2m+1)\cong \mathbb {Z} [e_{1},\ldots ,e_{m}]/(e_{j}^{2}-2e_{j-1}e_{j+1}+2e_{j-2}e_{j+2}-\cdots +(-1)^{j}e_{2j}=0{\text{ for all }}j),}$

donde las clases de Chern del fibrado vectorial de rango natural m son iguales a . ^[17] Aquí se entiende que significa 0 para  j  >  m . ${\displaystyle c_{j}}$ ${\displaystyle 2e_{j}}$ ${\displaystyle e_{j}}$

Ficheros espinoriales en cuádricas

Los fibrados espinoriales desempeñan un papel especial entre todos los fibrados vectoriales de una cuádrica, análogo a los subespacios lineales máximos entre todas las subvariedades de una cuádrica. Para describir estos fibrados, sea X una cuádrica dividida de dimensión n sobre un cuerpo k . El grupo ortogonal especial SO( n +2) sobre k actúa sobre X , y por lo tanto también lo hace su doble recubrimiento, el grupo de espín G = Spin( n +2) sobre k . En estos términos, X es un espacio homogéneo G / P , donde P es un subgrupo parabólico máximo de G. La parte semisimple de P es el grupo de espín Spin( n ), y existe una forma estándar de extender las representaciones de espín de Spin( n ) a representaciones de P. (Hay dos representaciones de espín para n = 2 m , cada una de dimensión , y una representación de espín V para n = 2 m − 1, de dimensión .) Entonces los fibrados de espinores en la cuádrica X = G / P se definen como los fibrados vectoriales G -equivariantes asociados a estas representaciones de P . Por lo tanto, hay dos fibrados de espinores de rango para n = 2 m , y un fibrado de espinores de rango S para n = 2 m − 1. Para n par, cualquier reflexión en el grupo ortogonal conmuta los dos fibrados de espinores en X . ^[16] ${\displaystyle V_{+},V_{-}}$ ${\displaystyle 2^{m-1}}$ ${\displaystyle 2^{m-1}}$ ${\displaystyle S_{+},S_{-}}$ ${\displaystyle 2^{m-1}}$ ${\displaystyle 2^{m-1}}$

Por ejemplo, los dos fibrados espinoriales de una superficie cuadrática son los fibrados lineales O(−1,0) y O(0,−1). El fibrado espinorial de una X cuadrática triple es el subfibrado natural de rango 2 de X visto como el Grassmanniano isótropo de 2 planos en un espacio vectorial simpléctico de 4 dimensiones. ${\displaystyle X\cong \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1}}$

Para indicar la importancia de los fibrados espinorales: Mikhail Kapranov demostró que la categoría derivada acotada de haces coherentes en una cuádrica dividida X sobre un cuerpo k tiene una colección excepcional completa que involucra los fibrados espinorales, junto con los fibrados lineales "obvios" O ( j ) restringidos desde el espacio proyectivo:

${\displaystyle D^{b}(X)=\langle S_{+},S_{-},O,O(1),\ldots ,O(n-1)\rangle }$

si n es par, y

${\displaystyle D^{b}(X)=\langle S,O,O(1),\ldots ,O(n-1)\rangle }$

si n es impar. ^[18] Concretamente, esto implica el caso dividido del cálculo de Richard Swan del grupo de Grothendieck de fibrados vectoriales algebraicos en una cuádrica suave; es el grupo abeliano libre

${\displaystyle K_{0}(X)=\mathbb {Z} \{S_{+},S_{-},O,O(1),\ldots ,O(n-1)\}}$

para n par, y

${\displaystyle K_{0}(X)=\mathbb {Z} \{S,O,O(1),\ldots ,O(n-1)\}}$

para n impar. ^[19] Cuando k = C , el grupo K topológico (de fibrados vectoriales complejos continuos en la cuádrica X ) viene dado por la misma fórmula y es cero. ${\displaystyle K^{0}(X)}$ ${\displaystyle K^{1}(X)}$

Notas

1. Harris (1995), Ejemplo 3.3.
2. Elman, Karpenko y Merkurjev (2008), Proposición 22.9.
3. Harris (1995), Teorema 22.13.
4. Elman, Karpenko y Merkurjev (2008), Proposición 7.28.
5. Harris (1995), Teorema 22.14.
6. Harris (1995), Conferencia 22, pág. 284.
7. Harris (1995), Conferencia 22, pág. 285.
8. Harris (1995), Ejercicio 22.6.
9. Harris (1995), Ejemplo 22.7.
10. Harris (1995), Teorema 22.14.
11. Fulton (1998), Ejemplo 19.1.11.
12. Elman, Karpenko y Merkurjev (2008), Proposición 68.1.
13. Elman, Karpenko y Merkurjev (2008), Ejercicio 68.3.
14. Cartan, Élie (1981) [1938], La teoría de los espinores, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-64070-9, Sr.  0631850
15. Chevalley, Claude (1996) [1954]. La teoría algebraica de los espinores y las álgebras de Clifford (edición reimpresa). Columbia University Press (1954); Springer (1996). ISBN  978-3-540-57063-9.
16. Ottaviani (1988), sección 1.
17. Mimura y Toda (1991), Teorema III.6.11.
18. Kapranov (1988), Teorema 4.10.
19. Swan (1985), Teorema 1.

Referencias

• Elman, Richard ; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008), Teoría algebraica y geométrica de formas cuadráticas , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4329-1, Sr.  2427530
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7, Sr.  1644323
• Harris, Joe (1995), Geometría algebraica: un primer curso , Springer-Verlag, ISBN 0-387-97716-3, Sr.  1416564
• Kapranov, Mikhail (1988), "Sobre las categorías derivadas de haces coherentes en algunos espacios homogéneos", Inventiones Mathematicae , 92 (3): 479–508, Bibcode :1988InMat..92..479K, doi :10.1007/BF01393744, MR  0939472, S2CID  119584668
• Mimura, Mamoru; Toda, Hirosi (1992), Topología de grupos de Lie , American Mathematical Society, ISBN 978-0821813423, Sr.  1122592
• Ottaviani, Giorgio (1988), "Fibrados espinoriales en cuadráticas", Transactions of the American Mathematical Society , 307 : 301–316, doi : 10.1090/S0002-9947-1988-0936818-5 , MR  0936818
• Swan, Richard (1985), "Teoría K de hipersuperficies cuadráticas", Annals of Mathematics , 122 (1): 113–153, doi :10.2307/1971371, JSTOR  1971371, MR  0799254