Invariante de Casson

En topología tridimensional , una parte del campo matemático de la topología geométrica , el invariante de Casson es un invariante de valor entero de homología integral orientada de 3 esferas , introducido por Andrew Casson .

Kevin Walker (1992) encontró una extensión a las 3 esferas de homología racional , llamada invariante de Casson-Walker , y Christine Lescop (1995) extendió la invariante a todas las 3 variedades orientadas cerradas .

Definición

Un invariante de Casson es un mapa sobreyectivo λ de 3 esferas de homología integral orientada a Z que satisface las siguientes propiedades:

• λ( S ³ ) = 0.
• Sea Σ una homología integral de 3 esferas. Entonces, para cualquier nudo K y para cualquier número entero n , la diferencia

${\displaystyle \lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n+1}}\cdot K\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n}}\cdot K\right)}$

es independiente de n . Aquí se denota la cirugía de Dehn en Σ por K. ${\displaystyle \Sigma +{\frac {1}{m}}\cdot K}$ ${\displaystyle {\frac {1}{m}}}$

• Para cualquier vínculo límite K ∪ L en Σ la siguiente expresión es cero:

${\displaystyle \lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m+1}}\cdot K+{\frac {1}{n+1}}\cdot L\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m}}\cdot K+{\frac {1}{n+1}}\cdot L\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m+1}}\cdot K+{\frac {1}{n}}\cdot L\right)+\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m}}\cdot K+{\frac {1}{n}}\cdot L\right)}$

El invariante de Casson es único (con respecto a las propiedades anteriores) hasta una constante multiplicativa general.

Propiedades

• Si K es el trébol entonces

${\displaystyle \lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n+1}}\cdot K\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n}}\cdot K\right)=\pm 1}$.

• El invariante de Casson es 1 (o −1) para la esfera de homología de Poincaré .
• El invariante de Casson cambia de signo si se invierte la orientación de M.
• El invariante de Rokhlin de M es igual al invariante de Casson mod 2.
• El invariante de Casson es aditivo con respecto a la suma conectada de 3 esferas de homología.
• El invariante de Casson es una especie de característica de Euler para la homología de Floer .
• Para cualquier número entero n

${\displaystyle \lambda \left(M+{\frac {1}{n+1}}\cdot K\right)-\lambda \left(M+{\frac {1}{n}}\cdot K\right)=\phi _{1}(K),}$

donde es el coeficiente de en el polinomio de Alexander-Conway y es congruente (mod 2) con el invariante Arf de K. ${\displaystyle \phi _{1}(K)}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle \nabla _{K}(z)}$

• El invariante de Casson es la parte de grado 1 del invariante de Le-Murakami-Ohtsuki.
• El invariante de Casson para la variedad de Seifert viene dado por la fórmula: ${\displaystyle \Sigma (p,q,r)}$

${\displaystyle \lambda (\Sigma (p,q,r))=-{\frac {1}{8}}\left[1-{\frac {1}{3pqr}}\left(1-p^{2}q^{2}r^{2}+p^{2}q^{2}+q^{2}r^{2}+p^{2}r^{2}\right)-d(p,qr)-d(q,pr)-d(r,pq)\right]}$

dónde

${\displaystyle d(a,b)=-{\frac {1}{a}}\sum _{k=1}^{a-1}\cot \left({\frac {\pi k}{a}}\right)\cot \left({\frac {\pi bk}{a}}\right)}$

El invariante de Casson como recuento de representaciones.

Hablando informalmente, el invariante de Casson cuenta la mitad del número de clases de conjugación de representaciones del grupo fundamental de una homología de 3 esferas M en el grupo SU(2) . Esto se puede precisar de la siguiente manera.

El espacio de representación de una variedad M compacta orientada a 3 se define como donde denota el espacio de representaciones SU(2) irreducibles de . Para una división de Heegaard , el invariante de Casson es igual a multiplicado por la intersección algebraica de con . ${\displaystyle {\mathcal {R}}(M)=R^{\mathrm {irr} }(M)/SU(2)}$ ${\displaystyle R^{\mathrm {irr} }(M)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle \Sigma =M_{1}\cup _{F}M_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\frac {(-1)^{g}}{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(M_{1})}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(M_{2})}$

Generalizaciones

Homología racional 3 esferas

Kevin Walker encontró una extensión del invariante de Casson a 3 esferas de homología racional . Un invariante de Casson-Walker es un mapa sobreyectivo λ _CW de 3 esferas de homología racional orientada a Q que satisface las siguientes propiedades:

1. λ( S ³ ) = 0.

2. Para cada presentación de cirugía de Dehn de 1 componente ( K , μ ) de una esfera de homología racional orientada M ′ en una esfera de homología racional orientada M :

${\displaystyle \lambda _{CW}(M^{\prime })=\lambda _{CW}(M)+{\frac {\langle m,\mu \rangle }{\langle m,\nu \rangle \langle \mu ,\nu \rangle }}\Delta _{W}^{\prime \prime }(M-K)(1)+\tau _{W}(m,\mu ;\nu )}$

dónde:

• m es un meridiano orientado de un nudo K y μ es la curva característica de la cirugía.
• ν es un generador del núcleo del mapa natural H ₁ (∂ N ( K ), Z ) → H ₁ ( M − K , Z ).
• ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$es la forma de intersección en la vecindad tubular del nudo, N ( K ).
• Δ es el polinomio de Alexander normalizado de modo que la acción de t corresponde a una acción del generador de en la cobertura cíclica infinita de M − K , y es simétrica y se evalúa como 1 en 1. ${\displaystyle H_{1}(M-K)/{\text{Torsion}}}$
• ${\displaystyle \tau _{W}(m,\mu ;\nu )=-\mathrm {sgn} \langle y,m\rangle s(\langle x,m\rangle ,\langle y,m\rangle )+\mathrm {sgn} \langle y,\mu \rangle s(\langle x,\mu \rangle ,\langle y,\mu \rangle )+{\frac {(\delta ^{2}-1)\langle m,\mu \rangle }{12\langle m,\nu \rangle \langle \mu ,\nu \rangle }}}$

donde x , y son generadores de H ₁ (∂ N ( K ), Z ) tales que , v = δ y para un número entero δ y s ( p , q ) es la suma de Dedekind . ${\displaystyle \langle x,y\rangle =1}$

Tenga en cuenta que para esferas de homología de enteros, la normalización de Walker es el doble que la de Casson: . ${\displaystyle \lambda _{CW}(M)=2\lambda (M)}$

3 colectores orientados compactos

Christine Lescop definió una extensión λ _CWL del invariante de Casson-Walker para 3 variedades compactas orientadas . Se caracteriza únicamente por las siguientes propiedades:

• Si el primer número Betti de M es cero,

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)={\tfrac {1}{2}}\left\vert H_{1}(M)\right\vert \lambda _{CW}(M)}$.

• Si el primer número Betti de M es uno,

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)={\frac {\Delta _{M}^{\prime \prime }(1)}{2}}-{\frac {\mathrm {torsion} (H_{1}(M,\mathbb {Z} ))}{12}}}$

donde Δ es el polinomio de Alexander normalizado para ser simétrico y tomar un valor positivo en 1.

• Si el primer número Betti de M es dos,

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=\left\vert \mathrm {torsion} (H_{1}(M))\right\vert \mathrm {Link} _{M}(\gamma ,\gamma ^{\prime })}$

donde γ es la curva orientada dada por la intersección de dos generadores de y es la curva paralela a γ inducida por la trivialización de la vecindad tubular de γ determinada por . ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle H_{2}(M;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \gamma ^{\prime }}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

• Si el primer número de Betti de M es tres, entonces para a , b , c una base para , entonces ${\displaystyle H_{1}(M;\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=\left\vert \mathrm {torsion} (H_{1}(M;\mathbb {Z} ))\right\vert \left((a\cup b\cup c)([M])\right)^{2}}$.

• Si el primer número Betti de M es mayor que tres, . ${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=0}$

El invariante de Casson-Walker-Lescop tiene las siguientes propiedades:

• Cuando la orientación de M cambia, el comportamiento depende del primer número de Betti de M : si M tiene la orientación opuesta, entonces ${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)}$ ${\displaystyle b_{1}(M)=\operatorname {rank} H_{1}(M;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\overline {M}}}$

${\displaystyle \lambda _{CWL}({\overline {M}})=(-1)^{b_{1}(M)+1}\lambda _{CWL}(M).}$

Es decir, si el primer número de Betti de M es impar, el invariante de Casson-Walker-Lescop no cambia, mientras que si es par cambia de signo.

• Para sumas conectadas de colectores

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M_{1}\#M_{2})=\left\vert H_{1}(M_{2})\right\vert \lambda _{CWL}(M_{1})+\left\vert H_{1}(M_{1})\right\vert \lambda _{CWL}(M_{2})}$

SOL)

En 1990, C. Taubes demostró que el invariante de Casson SU(2) de una esfera de 3 homologías M tiene una interpretación teórica de calibre como la característica de Euler de , donde es el espacio de conexiones SU(2) en M y es el grupo de transformaciones de calibre. Consideró el invariante de Chern-Simons como una función Morse valorada y utilizó la invariancia bajo perturbaciones para definir un invariante que equiparó con el invariante SU (2) de Casson. (Taubes (1990)) ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$

H. Boden y C. Herald (1998) utilizaron un enfoque similar para definir un invariante SU(3) de Casson para 3 esferas de homología integral.

Referencias

• Selman Akbulut y John McCarthy, invariante de Casson para homología orientada de 3 esferas: una exposición. Notas matemáticas, 36. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1990. ISBN  0-691-08563-3
• Michael Atiyah , Nuevas invariantes de variedades de 3 y 4 dimensiones. La herencia matemática de Hermann Weyl (Durham, Carolina del Norte, 1987), 285–299, Proc. Simposios. Matemáticas puras, 48 ​​años, Amer. Matemáticas. Soc., Providencia, RI, 1988.
• Hans Boden y Christopher Herald, El invariante SU(3) de Casson para homología integral de 3 esferas. Revista de geometría diferencial 50 (1998), 147–206.
• Christine Lescop, Fórmula de cirugía global para la invariante de Casson-Walker. 1995, ISBN 0-691-02132-5 
• Nikolai Saveliev, Conferencias sobre la topología de 3 variedades: una introducción al invariante de Casson. de Gruyter, Berlín, 1999. ISBN 3-11-016271-7 ISBN 3-11-016272-5   
• Taubes, Clifford Henry (1990), "Teoría del calibre y el invariante de Casson", Journal of Differential Geometry , 31 : 547–599
• Kevin Walker, una extensión de la invariante de Casson. Annals of Mathematics Studies, 126. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1992. ISBN 0-691-08766-0 ISBN 0-691-02532-0