Cirugía de Dehn

Operación utilizada para modificar espacios topológicos tridimensionales

En topología , una rama de las matemáticas, una cirugía de Dehn , llamada así por Max Dehn , es una construcción utilizada para modificar variedades de 3 elementos . El proceso toma como entrada una variedad de 3 elementos junto con un enlace . A menudo se conceptualiza como dos pasos: perforación y luego llenado .

Definiciones

• Dado un 3-variedad y un enlace , la variedad perforada a lo largo se obtiene eliminando un vecindario tubular abierto de de . Si , la variedad perforada a lo largo tiene componentes de contorno de toro . La variedad perforada a lo largo también se conoce como complemento de enlace , ya que si se elimina el vecindario tubular cerrado correspondiente de , se obtiene una variedad difeomórfica a . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L\subset M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L=L_{1}\cup \dots \cup L_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T_{1}\cup \dots \cup T_{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\setminus L}$
• Dada una variedad 3 cuyo límite está formado por 2-toros , podemos pegar un toro sólido mediante un homeomorfismo (o difeomorfismo ) de su límite a cada uno de los componentes del límite del toro de la variedad 3 original. En general, hay muchas formas no equivalentes de hacer esto. Este proceso se llama relleno de Dehn . ${\displaystyle T_{1}\cup \dots \cup T_{k}}$ ${\displaystyle T_{i}}$
• La cirugía de Dehn en una variedad de 3 que contiene un enlace consiste en perforar un vecindario tubular del enlace junto con el relleno de Dehn en todos los componentes del límite correspondiente al enlace.

Para describir una cirugía de Dehn, ^[1] se escogen dos curvas cerradas simples orientadas y en el toro límite correspondiente de la variedad 3 perforada, donde es un meridiano de (una curva que permanece en una pequeña bola en y que tiene un número de enlace +1 con o, equivalentemente, una curva que limita un disco que interseca una vez el componente ) y es una longitud de (una curva que viaja una vez a lo largo o, equivalentemente, una curva en tal que la intersección algebraica es igual a +1). Las curvas y generan el grupo fundamental del toro , y forman una base de su primer grupo de homología . Esto da a cualquier curva cerrada simple en el toro dos coordenadas y , de modo que . Estas coordenadas solo dependen de la clase de homotopía de . ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{i}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{i}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle \langle \ell _{i},m_{i}\rangle }$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{i}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle [\gamma _{i}]=[a_{i}\ell _{i}+b_{i}m_{i}]}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$

Podemos especificar un homeomorfismo del límite de un toro sólido a haciendo que la curva meridiana del toro sólido se asigne a una curva homotópica a . Mientras el meridiano se asigne a la pendiente de la cirugía , la cirugía de Dehn resultante producirá una variedad de 3 dimensiones que no dependerá del pegado específico (hasta el homeomorfismo). La relación se denomina coeficiente de cirugía de . ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle [\gamma _{i}]}$ ${\displaystyle b_{i}/a_{i}\in \mathbb {Q} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle L_{i}}$

En el caso de enlaces en la 3-esfera o, más generalmente, en una esfera de homología integral orientada, existe una elección canónica de las longitudes : cada longitud se elige de modo que sea nulamente homóloga en el complemento del nudo, equivalentemente, si es el límite de una superficie de Seifert . ${\displaystyle \ell _{i}}$

Cuando los cocientes son todos enteros (nótese que esta condición no depende de la elección de las longitudes, ya que corresponde a que los nuevos meridianos intersecan exactamente una vez a los antiguos), la cirugía se denomina cirugía integral . Tales cirugías están estrechamente relacionadas con los cuerpos de manija , el cobordismo y las funciones de Morse . ${\displaystyle b_{i}/a_{i}}$

Ejemplos

• Si todos los coeficientes de la cirugía son infinitos, entonces cada nuevo meridiano es homotópico al meridiano antiguo . Por lo tanto, el tipo de homeomorfismo de la variedad no cambia con la cirugía. ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$

• Si es la 3-esfera , es el nudo y el coeficiente de cirugía es , entonces la 3-variedad aumentada es . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}}$

• Si es la 3-esfera , es el nudo no y el coeficiente de cirugía es , entonces la 3-variedad aumentada es el espacio de lentes . En particular, si el coeficiente de cirugía tiene la forma , entonces la 3-variedad aumentada sigue siendo la 3-esfera. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle b/a}$ ${\displaystyle L(b,a)}$ ${\displaystyle \pm 1/r}$

• Si es la 3-esfera, es el nudo trebolado diestro y el coeficiente de cirugía es , entonces la 3-variedad aumentada es el espacio dodecaédrico de Poincaré . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle +1}$

Resultados

Toda variedad 3- cerrada , orientable y conexa se obtiene realizando una cirugía de Dehn sobre un eslabón de la 3-esfera . Este resultado, el teorema de Lickorish-Wallace , fue demostrado por primera vez por Andrew H. Wallace en 1960 e independientemente por WBR Lickorish en una forma más fuerte en 1962. A través de la relación ahora bien conocida entre la cirugía genuina y el cobordismo , este resultado es equivalente al teorema de que el grupo de cobordismo orientado de variedades 3-es trivial, un teorema demostrado originalmente por Vladimir Abramovich Rokhlin en 1951.

Dado que todas las variedades orientables de 3 dimensiones pueden generarse mediante enlaces adecuadamente decorados, uno podría preguntarse cómo podrían relacionarse las distintas presentaciones quirúrgicas de una variedad dada de 3 dimensiones. La respuesta se llama cálculo de Kirby .

Véase también

• Cirugía hiperbólica de Dehn
• Barrio tubular
• Cirugía sobre colectores, en sentido general, también llamada modificación esférica.

Notas al pie

1. Rolfsen (1976), pág. 259.

Referencias

• Dehn, Max (1938), "Die Gruppe der Abbildungsklassen", Acta Mathematica , 69 (1): 135–206, doi : 10.1007/BF02547712.
• Thom, René (1954), "Quelques propriétés globales des variétés différentiables", Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86, doi :10.1007/BF02566923, MR  0061823, S2CID  120243638
• Rolfsen, Dale (1976), Nudos y enlaces (PDF) , Serie de conferencias de matemáticas, vol. 346, Berkeley, California: Publish or Perish, ISBN 9780914098164
• Kirby, Rob (1978), "Un cálculo para enlaces enmarcados en S ³ ", Inventiones Mathematicae , 45 (1): 35–56, Bibcode :1978InMat..45...35K, doi :10.1007/BF01406222, MR  0467753, S2CID  120770295.
• Fenn, Roger; Rourke, Colin (1979), "Sobre el cálculo de enlaces de Kirby", Topología , 18 (1): 1–15, doi : 10.1016/0040-9383(79)90010-7 , MR  0528232.
• Gompf, Robert ; Stipsicz, András (1999), 4-Variedades y cálculo de Kirby , Graduate Studies in Mathematics , vol. 20, Providence, RI: American Mathematical Society, doi :10.1090/gsm/020, ISBN 0-8218-0994-6, Sr.  1707327.