Heegaard se divide

Descomposición de una variedad orientada compacta de 3 dimensiones dividiéndola en dos cuerpos de manija

En el campo matemático de la topología geométrica , una división de Heegaard ( en danés: [ˈhe̝ˀˌkɒˀ] ^ⓘ ) es una descomposición de una variedad 3-orientada compactaque resulta de dividirla en doscuerpos de manija.

Definiciones

Sean V y W cuerpos de manija de género g , y sea ƒ un homeomorfismo de inversión de orientación desde el límite de V hasta el límite de W . Al pegar V a W a lo largo de ƒ obtenemos la variedad 3- orientada compacta

${\displaystyle M=V\cup _{f}W.}$

Toda variedad tridimensional cerrada y orientable puede obtenerse de esta manera; esto se desprende de resultados profundos sobre la triangulación de variedades tridimensionales debido a Moise . Esto contrasta fuertemente con variedades de dimensiones superiores que no necesitan admitir estructuras lineales suaves o por partes. Suponiendo suavidad, la existencia de una división de Heegaard también se desprende del trabajo de Smale sobre descomposiciones de mangos a partir de la teoría de Morse.

La descomposición de M en dos cuerpos de asa se denomina desdoblamiento de Heegaard y su límite común H se denomina superficie de desdoblamiento de Heegaard . Los desdoblamientos se consideran hasta la isotopía .

El mapa de pegado ƒ solo necesita especificarse hasta tomar una clase lateral doble en el grupo de clases de mapeo de H . Esta conexión con el grupo de clases de mapeo fue realizada por primera vez por WBR Lickorish .

Las divisiones de Heegaard también se pueden definir para variedades 3-compactas con límite reemplazando los cuerpos de agarre con cuerpos de compresión . El mapa de unión se encuentra entre los límites positivos de los cuerpos de compresión.

Una curva cerrada se denomina esencial si no es homotópica a un punto, una punción o un componente límite. ^[1]

Una división de Heegaard es reducible si existe una curva cerrada simple esencial en H que limita un disco tanto en V como en W. Una división es irreducible si no es reducible. Del lema de Haken se sigue que en una variedad reducible toda división es reducible. ${\displaystyle \alpha }$

Una división de Heegaard se estabiliza si existen curvas cerradas simples esenciales y en H donde limita un disco en V , limita un disco en W , y y se intersecan exactamente una vez. Del teorema de Waldhausen se deduce que toda división reducible de una variedad irreducible se estabiliza. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Una división de Heegaard es débilmente reducible si hay curvas cerradas simples esenciales disjuntas y en H donde limita un disco en V y limita un disco en W. Una división es fuertemente irreducible si no es débilmente reducible. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Una división de Heegaard es mínima o de género mínimo si no hay otra división de la variedad tridimensional ambiental de género inferior . El valor mínimo g de la superficie de división es el género de Heegaard de M .

Escisiones generalizadas de Heegaard

Una descomposición generalizada de Heegaard de M es una descomposición en cuerpos y superficies de compresión tales que y . Los interiores de los cuerpos de compresión deben estar disjuntos por pares y su unión debe ser toda de . La superficie forma una superficie de Heegaard para la subvariedad de . (Obsérvese que aquí se permite que cada V _i y W _i tengan más de un componente). ${\displaystyle V_{i},W_{i},i=1,\dotsc ,n}$ ${\displaystyle H_{i},i=1,\dotsc ,n}$ ${\displaystyle \partial _{+}V_{i}=\partial _{+}W_{i}=H_{i}}$ ${\displaystyle \partial _{-}W_{i}=\partial _{-}V_{i+1}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}\cup W_{i}}$ ${\displaystyle M}$

Una división de Heegaard generalizada se denomina fuertemente irreducible si cada uno es fuertemente irreducible. ${\displaystyle V_{i}\cup W_{i}}$

Existe una noción análoga de posición delgada, definida para nudos, para desdoblamientos de Heegaard. La complejidad de una superficie conectada S , c(S) , se define como ; la complejidad de una superficie desconectada es la suma de las complejidades de sus componentes. La complejidad de un desdoblamiento de Heegaard generalizado es el multiconjunto , donde el índice recorre las superficies de Heegaard en el desdoblamiento generalizado. Estos multiconjuntos pueden ordenarse bien mediante ordenamiento lexicográfico (decreciente monótonamente). Un desdoblamiento de Heegaard generalizado es delgado si su complejidad es mínima. ${\displaystyle \operatorname {max} \left\{0,1-\chi (S)\right\}}$ ${\displaystyle \{c(S_{i})\}}$

Ejemplos

Tres esferas

La triesfera es el conjunto de vectores en con longitud uno. Al intersectarla con el hiperplano se obtiene una biesfera . Esta es la división estándar de género cero de . A la inversa, por el truco de Alexander , todas las variedades que admiten una división de género cero son homeomorfas a . ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle xyz}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Bajo la identificación habitual de con podemos considerar que vivimos en . Entonces el conjunto de puntos donde cada coordenada tiene norma forma un toro de Clifford , . Esta es la división estándar de género uno de . (Véase también la discusión en el haz de Hopf .) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Estabilización

Dado un desdoblamiento de Heegaard H en M, la estabilización de H se forma tomando la suma conexa del par con el par . Es fácil demostrar que el procedimiento de estabilización produce desdoblamientos estabilizados. Inductivamente, un desdoblamiento es estándar si es la estabilización de un desdoblamiento estándar. ${\displaystyle (M,H)}$ ${\displaystyle \left(S^{3},T^{2}\right)}$

Espacios de lentes

Todos tienen una división estándar de género uno. Esta es la imagen del toro de Clifford bajo la función cociente utilizada para definir el espacio de lentes en cuestión. De la estructura del grupo de clases de funciones de los dos toros se deduce que solo los espacios de lentes tienen divisiones de género uno. ${\displaystyle S^{3}}$

Tres toros

Recordemos que el tritoro es el producto cartesiano de tres copias de ( círculos ). Sea un punto de y consideremos el grafo . Es un ejercicio fácil demostrar que V , un entorno regular de , es un cuerpo de manija como es . Por lo tanto, el límite de V en es una división de Heegaard y esta es la división estándar de . Charles Frohman y Joel Hass demostraron que cualquier otra división de Heegaard de género 3 del tritoro es topológicamente equivalente a esta. Michel Boileau y Jean-Pierre Otal demostraron que, en general, cualquier división de Heegaard del tritoro es equivalente al resultado de estabilizar este ejemplo. ${\displaystyle T^{3}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Gamma =S^{1}\times \{x_{0}\}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{0}\}\times S^{1}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{0}\}\times \{x_{0}\}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle T^{3}-V}$ ${\displaystyle T^{3}}$ ${\displaystyle T^{3}}$

Teoremas

Lema de Alexander

Hasta la isotopía, hay una incrustación única ( lineal por partes ) de la biesfera en la triesfera. (En dimensiones superiores, esto se conoce como el teorema de Schoenflies . En la dimensión dos, este es el teorema de la curva de Jordan ). Esto se puede reformular de la siguiente manera: la división del género cero de es única. ${\displaystyle S^{3}}$

Teorema de Waldhausen

Cada división de se obtiene estabilizando la división única del género cero. ${\displaystyle S^{3}}$

Supongamos ahora que M es una variedad tridimensional cerrada y orientable.

Teorema de Reidemeister-Singer

Para cualquier par de desdoblamientos y en M hay un tercer desdoblamiento en M que es una estabilización de ambos. ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H}$

Lema de Haken

Supongamos que hay una biesfera esencial en M y H es una división de Heegaard. Entonces hay una biesfera esencial en M que se encuentra con H en una sola curva. ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$

Clasificaciones

Existen varias clases de variedades tridimensionales en las que el conjunto de desdoblamientos de Heegaard es completamente conocido. Por ejemplo, el teorema de Waldhausen muestra que todos los desdoblamientos de son estándar. Lo mismo se aplica a los espacios de lentes (como demostraron Francis Bonahon y Otal). ${\displaystyle S^{3}}$

Las divisiones de los espacios de fibras de Seifert son más sutiles. En este caso, todas las divisiones pueden isotoparse como verticales u horizontales (como lo demostraron Yoav Moriah y Jennifer Schultens ).

Cooper y Scharlemann (1999) clasificaron las escisiones de los fibrados toroidales (que incluyen todas las variedades tridimensionales con geometría Sol ). De su trabajo se desprende que todos los fibrados toroidales tienen una única escisión de género mínimo. Todas las demás escisiones del fibrado toroidal son estabilizaciones de la de género mínimo.

Un artículo de Kobayashi (2001) clasifica las divisiones de Heegaard de variedades hiperbólicas de tres tipos que son complementos de nudos de dos puentes.

Se pueden utilizar métodos computacionales para determinar o aproximar el género de Heegaard de una variedad 3-variedad. El software Heegaard de John Berge estudia las divisiones de Heegaard generadas por el grupo fundamental de una variedad.

Aplicaciones y conexiones

Superficies mínimas

Las descomposiciones de Heegaard aparecieron en la teoría de superficies mínimas por primera vez en el trabajo de Blaine Lawson , quien demostró que las superficies mínimas embebidas en variedades compactas de curvatura seccional positiva son descomposiciones de Heegaard. William Meeks extendió este resultado a las variedades planas, excepto que demostró que una superficie mínima embebida en una variedad tridimensional plana es una superficie de Heegaard o totalmente geodésica .

Meeks y Shing-Tung Yau utilizaron los resultados de Waldhausen para demostrar resultados sobre la unicidad topológica de superficies mínimas de género finito en . La clasificación topológica final de las superficies mínimas incrustadas en fue dada por Meeks y Frohman. El resultado se basó en gran medida en técnicas desarrolladas para estudiar la topología de las divisiones de Heegaard. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Homología de Heegaard-Floer

Los diagramas de Heegaard, que son descripciones combinatorias simples de las divisiones de Heegaard, se han utilizado ampliamente para construir invariantes de tres variedades. El ejemplo más reciente de esto es la homología de Heegaard-Floer de Peter Ozsvath y Zoltán Szabó . La teoría utiliza el producto simétrico de una superficie de Heegaard como espacio ambiente y toros construidos a partir de los límites de los discos meridianos para los dos cuerpos de asa como subvariedades de Lagrange . ${\displaystyle g^{th}}$

Historia

La idea de una división de Heegaard fue introducida por Poul Heegaard  (1898). Si bien las divisiones de Heegaard fueron estudiadas extensamente por matemáticos como Wolfgang Haken y Friedhelm Waldhausen en la década de 1960, no fue hasta unas décadas más tarde que el campo fue rejuvenecido por Andrew Casson y Cameron Gordon  (1987), principalmente a través de su concepto de irreducibilidad fuerte .

Véase también

• Descomposición múltiple
• Manejar descomposiciones de 3-variedades
• Cuerpo de compresión

Referencias

1. Farb, B.; Margalit, D. Una introducción al mapeo de grupos de clases . Princeton University Press. pág. 22.

• Farb, Benson ; Margalit, Dan, Introducción al mapeo de grupos de clases , Princeton University Press
• Casson, Andrew J. ; Gordon, Cameron McA. (1987), "Reducción de las divisiones de Heegaard", Topología y sus aplicaciones , 27 (3): 275–283, doi : 10.1016/0166-8641(87)90092-7 , ISSN  0166-8641, MR  0918537
• Cooper, Daryl; Scharlemann, Martin (1999), "La estructura de las divisiones de Heegaard de una solvvariedad", Revista Turca de Matemáticas , 23 (1): 1–18, ISSN  1300-0098, MR  1701636, archivado desde el original el 2011-08-22 , consultado el 2020-01-11
• Heegaard, Poul (1898), Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhang (PDF) , Tesis (en danés), JFM  29.0417.02
• Hempel, John (1976), 3-variedades , Anales de estudios matemáticos, vol. 86, Princeton University Press , ISBN 978-0-8218-3695-8, Sr.  0415619
• Kobayashi, Tsuyoshi (2001), "Divisiones de Heegaard de los exteriores de dos nudos de puente", Geometry and Topology , 5 (2): 609–650, arXiv : math/0101148 , doi : 10.2140/gt.2001.5.609 , S2CID  13991798