Supóngase que G es un grupo de Frobenius que consiste en permutaciones de un conjunto X . Un subgrupo H de G que fija un punto de X se llama complemento de Frobenius . El elemento identidad junto con todos los elementos que no están en ningún conjugado de H forman un subgrupo normal llamado núcleo de Frobenius K . (Este es un teorema debido a Frobenius (1901); todavía no hay ninguna prueba de este teorema que no utilice la teoría de caracteres , aunque véase [1] .) El grupo de Frobenius G es el producto semidirecto de K y H :
.
Tanto el núcleo de Frobenius como el complemento de Frobenius tienen estructuras muy restringidas. JG Thompson (1960) demostró que el núcleo de Frobenius K es un grupo nilpotente . Si H tiene orden par entonces K es abeliano. El complemento de Frobenius H tiene la propiedad de que todo subgrupo cuyo orden es el producto de 2 primos es cíclico; esto implica que sus subgrupos de Sylow son grupos cíclicos o cuaterniones generalizados . Cualquier grupo tal que todos los subgrupos de Sylow sean cíclicos se llama grupo Z , y en particular debe ser un grupo metacíclico : esto significa que es la extensión de dos grupos cíclicos. Si un complemento de Frobenius H no es resoluble, entonces Zassenhaus demostró que tiene un subgrupo normal de índice 1 o 2 que es el producto de SL(2,5) y un grupo metacíclico de orden coprimo a 30. En particular, si un complemento de Frobenius coincide con su subgrupo derivado, entonces es isomorfo con SL(2,5). Si un complemento de Frobenius H es resoluble, entonces tiene un subgrupo metacíclico normal tal que el cociente es un subgrupo del grupo simétrico en 4 puntos. Un grupo finito es un complemento de Frobenius si y solo si tiene una representación fiel y finito-dimensional sobre un cuerpo finito en el que los elementos del grupo no identidad corresponden a transformaciones lineales sin puntos fijos distintos de cero.
El núcleo de Frobenius K está determinado de forma única por G , ya que es el subgrupo de ajuste , y el complemento de Frobenius está determinado de forma única hasta la conjugación por el teorema de Schur-Zassenhaus . En particular, un grupo finito G es un grupo de Frobenius en, como máximo, un sentido.
Ejemplos
El avión de Fano
El ejemplo más pequeño es el grupo simétrico de 3 puntos, con 6 elementos. El núcleo de Frobenius K tiene orden 3 y el complemento H tiene orden 2.
Para cada cuerpo finito F q con q (> 2) elementos, el grupo de transformaciones afines invertibles que actúan naturalmente sobre F q es un grupo de Frobenius. El ejemplo precedente corresponde al caso F 3 , el cuerpo con tres elementos.
Otro ejemplo lo proporciona el subgrupo de orden 21 del grupo de colineación del plano de Fano generado por una simetría triple σ que fija un punto y una permutación cíclica τ de los 7 puntos, que satisface στ = τ 2 σ. Identificando F 8 × con el plano de Fano, σ puede tomarse como la restricción del automorfismo de Frobenius σ( x ) = x 2 de F 8 y τ como la multiplicación por cualquier elemento distinto de 0 o 1 (es decir, un generador del grupo multiplicativo cíclico de F 8 ). Este grupo de Frobenius actúa simplemente de forma transitiva sobre las 21 banderas del plano de Fano, es decir, las líneas con puntos marcados.
El grupo diedro de orden 2 n con n impar es un grupo de Frobenius con complemento de orden 2. De manera más general, si K es cualquier grupo abeliano de orden impar y H tiene orden 2 y actúa sobre K por inversión, entonces el producto semidirecto K.H es un grupo de Frobenius.
Se pueden generar muchos otros ejemplos con las siguientes construcciones. Si reemplazamos el complemento de Frobenius de un grupo de Frobenius por un subgrupo no trivial obtenemos otro grupo de Frobenius. Si tenemos dos grupos de Frobenius K 1 . H y K 2 . H entonces ( K 1 × K 2 ). H también es un grupo de Frobenius.
Si K es el grupo no abeliano de orden 7 3 con exponente 7, y H es el grupo cíclico de orden 3, entonces existe un grupo de Frobenius G que es una extensión KH de H por K . Esto da un ejemplo de un grupo de Frobenius con núcleo no abeliano. Este fue el primer ejemplo de grupo de Frobenius con núcleo no abeliano (fue construido por Otto Schmidt).
Si H es el grupo SL 2 ( F 5 ) de orden 120, actúa libremente en un punto fijo sobre un espacio vectorial bidimensional K sobre un cuerpo de 11 elementos. La extensión KH es el ejemplo más pequeño de un grupo de Frobenius no resoluble .
El subgrupo de un grupo de Zassenhaus que fija un punto es un grupo de Frobenius.
Los grupos de Frobenius cuyo subgrupo de ajuste tiene una clase de nilpotencia arbitrariamente grande fueron construidos por Ito: Sea q una potencia prima, d un entero positivo y p un divisor primo de q −1 con d ≤ p . Fijemos algún cuerpo F de orden q y algún elemento z de este cuerpo de orden p . El complemento de Frobenius H es el subgrupo cíclico generado por la matriz diagonal cuya i,i' ésima entrada es z i . El núcleo de Frobenius K es el q -subgrupo de Sylow de GL( d , q ) que consiste en matrices triangulares superiores con unos en la diagonal. El núcleo K tiene una clase de nilpotencia d −1, y el producto semidirecto KH es un grupo de Frobenius.
Teoría de la representación
Las representaciones complejas irreducibles de un grupo de Frobenius G pueden leerse a partir de las de H y K . Hay dos tipos de representaciones irreducibles de G :
Cualquier representación irreducible R de H da una representación irreducible de G usando la función cociente de G a H. Estas dan las representaciones irreducibles de G con K en su núcleo.
Si S es cualquier representación irreducible no trivial de K , entonces la representación inducida correspondiente de G también es irreducible. Estos dan las representaciones irreducibles de G con K no en su núcleo.
Definiciones alternativas
Hay una serie de propiedades teóricas de grupo que son interesantes por sí mismas, pero que resultan ser equivalentes a que el grupo posea una representación de permutación que lo convierte en un grupo de Frobenius.
G es un grupo de Frobenius si y solo si G tiene un subgrupo propio no identidad H tal que H ∩ H g es el subgrupo identidad para cada g ∈ G − H , es decir , H es un subgrupo mal normal de G .
Esta definición se generaliza luego al estudio de conjuntos de intersección triviales, lo que permitió que los resultados sobre los grupos de Frobenius utilizados en la clasificación de los grupos CA se extendieran a los resultados sobre los grupos CN y finalmente al teorema de orden impar .
Suponiendo que es el producto semidirecto del subgrupo normal K y complemento H , entonces las siguientes restricciones sobre los centralizadores son equivalentes a que G sea un grupo de Frobenius con complemento de Frobenius H :
El centralizador C G ( k ) es un subgrupo de K para cada no identidad k en K .
C H ( k ) = 1 para cada no identidad k en K .
C G ( h ) ≤ H para cada no identidad h en H.
Referencias
^ Terence Tao sobre el teorema de Frobenius
Frobenius, G. (1901), "Über auflösbare Gruppen. IV.", Berl. Ber. (en alemán): 1216–1230, doi :10.3931/e-rara-18836, JFM 32.0137.01
B. Huppert, Endliche Gruppen I , Springer 1967
IM Isaacs, Teoría de caracteres de grupos finitos , AMS Chelsea 1976
