En matemáticas , en el ámbito de la teoría de grupos , se dice que un grupo es un grupo CA o un grupo abeliano centralizador si el centralizador de cualquier elemento no identidad es un subgrupo abeliano . Los grupos CA finitos son de importancia histórica como un ejemplo temprano del tipo de clasificaciones que se utilizarían en el teorema de Feit-Thompson y la clasificación de grupos simples finitos . Varios grupos infinitos importantes son grupos CA, como los grupos libres , los monstruos de Tarski y algunos grupos de Burnside , y los grupos CA localmente finitos se han clasificado explícitamente. Los grupos CA también se denominan grupos conmutativos-transitivos (o grupos CT para abreviar) porque la conmutatividad es una relación transitiva entre los elementos no identidad de un grupo si y solo si el grupo es un grupo CA.
Los grupos CA localmente finitos fueron clasificados por varios matemáticos desde 1925 hasta 1998. Primero, se demostró que los grupos CA finitos eran simples o resolubles en (Weisner 1925). Luego, en el teorema de Brauer-Suzuki-Wall (Brauer, Suzuki y Wall 1958), se demostró que los grupos CA finitos de orden par eran grupos de Frobenius , grupos abelianos o grupos lineales especiales proyectivos bidimensionales sobre un cuerpo finito de orden par, PSL(2, 2 f ) para f ≥ 2. Finalmente, se demostró que los grupos CA finitos de orden impar eran grupos de Frobenius o grupos abelianos en (Suzuki 1957), y, en particular, nunca son simples no abelianos.
Los grupos CA fueron importantes en el contexto de la clasificación de grupos finitos simples . Michio Suzuki demostró que cada grupo CA finito , simple y no abeliano es de orden par . Este resultado se extendió primero al teorema de Feit-Hall-Thompson que muestra que los grupos CN finitos, simples y no abelianos tienen orden par, y luego al teorema de Feit-Thompson que establece que cada grupo finito, simple y no abeliano es de orden par. Una exposición de libro de texto de la clasificación de grupos CA finitos se da como ejemplo 1 y 2 en (Suzuki 1986, pp. 291-305). Una descripción más detallada de los grupos de Frobenius que aparecen se incluye en (Wu 1998), donde se muestra que un grupo CA finito y resoluble es un producto semidirecto de un grupo abeliano y un automorfismo libre de punto fijo, y que, a la inversa, cada producto semidirecto de este tipo es un grupo CA finito y resoluble. Wu también extendió la clasificación de Suzuki et al. a los grupos localmente finitos .
Todo grupo abeliano es un CA-grupo, y un grupo con un centro no trivial es un CA-grupo si y solo si es abeliano. Los CA-grupos finitos se clasifican: los resolubles son productos semidirectos de grupos abelianos por grupos cíclicos tales que cada elemento no trivial actúa de forma libre de punto fijo e incluyen grupos como los grupos diedros de orden 4 k +2, y el grupo alternante en 4 puntos de orden 12, mientras que los no resolubles son todos simples y son los grupos lineales especiales proyectivos bidimensionales PSL(2, 2 n ) para n ≥ 2. Los CA-grupos infinitos incluyen grupos libres , PSL(2, R ) y grupos de Burnside de gran exponente primo (Lyndon & Schupp 2001, p. 10). En (Wu 1998) se incluyen algunos resultados más recientes en el caso infinito, incluida una clasificación de grupos CA localmente finitos . Wu también observa que los monstruos de Tarski son ejemplos obvios de grupos CA simples e infinitos.