Grupo conforme

En matemáticas , el grupo conforme de un espacio de producto interno es el grupo de transformaciones del espacio hacia sí mismo que preservan los ángulos. Más formalmente, es el grupo de transformaciones que preservan la geometría conforme del espacio.

Varios grupos conformes específicos son particularmente importantes:

• El grupo ortogonal conforme . Si V es un espacio vectorial con forma cuadrática Q , entonces el grupo ortogonal conforme CO( V , Q ) es el grupo de transformaciones lineales T de V para las que existe un escalar λ tal que para todo x en V

  ${\displaystyle Q(Tx)=\lambda ^{2}Q(x)}$

Para una forma cuadrática definida , el grupo ortogonal conforme es igual al grupo ortogonal multiplicado por el grupo de dilataciones .

• El grupo conforme de la esfera se genera por las inversiones en círculos . Este grupo también se conoce como grupo de Möbius .
• En el espacio euclidiano E ⁿ , n > 2 , el grupo conforme se genera por inversiones en hiperesferas .
• En un espacio pseudoeuclidiano E ^{p , q} , el grupo conforme es Conf( p , q ) ≃ O( p + 1, q + 1) / Z ₂ . ^[1]

Todos los grupos conformes son grupos de Lie .

Análisis de ángulos

En la geometría euclidiana se puede esperar que el ángulo circular estándar sea característico, pero en el espacio pseudoeuclidiano también existe el ángulo hiperbólico . En el estudio de la relatividad especial , los diversos marcos de referencia, para variar la velocidad con respecto a un marco en reposo, están relacionados por la rapidez , un ángulo hiperbólico. Una forma de describir un impulso de Lorentz es como una rotación hiperbólica que conserva el ángulo diferencial entre las rapidezes. Por lo tanto, son transformaciones conformes con respecto al ángulo hiperbólico.

Un método para generar un grupo conforme apropiado es imitar los pasos del grupo de Möbius como el grupo conforme del plano complejo ordinario . La geometría pseudoeuclidiana está respaldada por planos complejos alternativos donde los puntos son números complejos divididos o números duales . Así como el grupo de Möbius requiere la esfera de Riemann , un espacio compacto , para una descripción completa, los planos complejos alternativos requieren compactificación para una descripción completa de la aplicación conforme. Sin embargo, el grupo conforme en cada caso está dado por transformaciones fraccionarias lineales en el plano apropiado. ^[2]

Definición matemática

Dada una variedad ( pseudo- ) riemanniana con clase conforme , el grupo conforme es el grupo de mapas conformes de a sí mismo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [g]}$ ${\displaystyle {\text{Conf}}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Más concretamente, se trata del grupo de aplicaciones suaves que preservan el ángulo de a sí mismo. Sin embargo, cuando la signatura de no es definida, el "ángulo" es un hiperángulo que es potencialmente infinito. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [g]}$

Para el espacio pseudo-euclidiano , la definición es ligeramente diferente. ^[3] es el grupo conforme de la variedad que surge de la compactificación conforme del espacio pseudo-euclidiano (a veces identificado con después de una elección de base ortonormal ). Esta compactificación conforme se puede definir utilizando , considerado como una subvariedad de puntos nulos en por la inclusión (donde se considera como un único vector espacio-temporal). La compactificación conforme es entonces con 'puntos antípodas' identificados. Esto sucede proyectivizando el espacio . Si es la compactificación conforme, entonces . En particular, este grupo incluye la inversión de , que no es una función de a sí misma ya que asigna el origen al infinito, y asigna el infinito al origen. ${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q)}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{p,q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle S^{p}\times S^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+1,q+1}}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\mapsto X=(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{p}\times S^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+1,q+1}}$ ${\displaystyle N^{p,q}}$ ${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q):={\text{Conf}}(N^{p,q})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$

Conf(p,q)

Para el espacio pseudoeuclidiano , el álgebra de Lie del grupo conforme viene dada por la base con las siguientes relaciones de conmutación: ^[4] y con todos los demás corchetes desapareciendo. Aquí está la métrica de Minkowski . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle \{M_{\mu \nu },P_{\mu },K_{\mu },D\}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

De hecho, esta álgebra de Lie es isomorfa al álgebra de Lie del grupo de Lorentz con una dimensión espacial y una temporal más, es decir, . Se puede comprobar fácilmente que las dimensiones concuerdan. Para demostrar un isomorfismo explícito, definamos . Se puede demostrar entonces que los generadores con obedecen las relaciones del álgebra de Lorentz con métrica . ${\displaystyle {\mathfrak {conf}}(p,q)\cong {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&J_{\mu \nu }=M_{\mu \nu }\,,\\&J_{-1,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }-K_{\mu })\,,\\&J_{0,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }+K_{\mu })\,,\\&J_{-1,0}=D.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle J_{ab}}$ ${\displaystyle a,b=-1,0,\cdots ,n=p+q}$ ${\displaystyle {\tilde {\eta }}_{ab}=\operatorname {diag} (-1,+1,-1,\cdots ,-1,+1,\cdots ,+1)}$

Grupo conforme en dos dimensiones espacio-temporales

En el caso del espacio euclidiano bidimensional o del espacio-tiempo unidimensional, el espacio de simetrías conformes es mucho mayor. En física, a veces se dice que el grupo conforme es de dimensión infinita, pero esto no es del todo correcto, ya que, si bien el álgebra de Lie de simetrías locales es de dimensión infinita, estas no necesariamente se extienden a un grupo de Lie de simetrías globales bien definidas.

Para la dimensión espacio-temporal , todas las simetrías conformes locales se extienden a simetrías globales. Para el espacio euclidiano, después de cambiar a una coordenada compleja, las simetrías conformes locales se describen mediante el espacio de dimensión infinita de campos vectoriales de la forma Por lo tanto, las simetrías conformes locales del espacio euclidiano 2d son el álgebra de Witt de dimensión infinita . ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ $${\displaystyle l_{n}=-z^{n+1}\partial _{z}.}$$

Grupo conforme del espacio-tiempo

En 1908, Harry Bateman y Ebenezer Cunningham , dos jóvenes investigadores de la Universidad de Liverpool , abordaron la idea de un grupo conforme del espacio-tiempo ^{[5] [6] [7]} Argumentaron que los grupos cinemáticos son forzosamente conformes ya que preservan la forma cuadrática del espacio-tiempo y son similares a las transformaciones ortogonales , aunque con respecto a una forma cuadrática isótropa . Las libertades de un campo electromagnético no se limitan a los movimientos cinemáticos, sino que solo se requiere que sean localmente proporcionales a una transformación que preserva la forma cuadrática. El artículo de Harry Bateman en 1910 estudió la matriz jacobiana de una transformación que preserva el cono de luz y demostró que tenía la propiedad conforme (proporcional a un preservador de forma). ^[8] Bateman y Cunningham demostraron que este grupo conforme es "el grupo más grande de transformaciones que dejan las ecuaciones de Maxwell estructuralmente invariantes". ^[9] El grupo conforme del espacio-tiempo ha sido denotado C(1,3) ^[10]

Isaak Yaglom ha contribuido a las matemáticas de las transformaciones conformes del espacio-tiempo en números duales y complejos divididos . ^[11] Dado que los números duales y complejos divididos forman anillos , no campos , las transformaciones fraccionarias lineales requieren una línea proyectiva sobre un anillo para ser aplicaciones biyectivas.

Desde el trabajo de Ludwik Silberstein en 1914, ha sido tradicional utilizar el anillo de biquaterniones para representar el grupo de Lorentz . Para el grupo conforme del espacio-tiempo, es suficiente considerar transformaciones fraccionarias lineales en la línea proyectiva sobre ese anillo. Los elementos del grupo conforme del espacio-tiempo fueron llamados transformaciones de onda esférica por Bateman. Los detalles del estudio de la forma cuadrática del espacio-tiempo han sido absorbidos por la geometría de esferas de Lie .

Al comentar sobre el continuo interés mostrado en la ciencia física, AO Barut escribió en 1985: "Una de las principales razones del interés en el grupo conforme es que es quizás el más importante de los grupos más grandes que contienen al grupo de Poincaré ". ^[12]

Véase también

• Mapa conforme
• Simetría conforme

Referencias

1. Jayme Vaz, hijo; Roldão da Rocha, Jr. (2016). Introducción a las álgebras y espinores de Clifford . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 140.ISBN​ 9780191085789.
2. Tsurusaburo Takasu (1941) "Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie", 2, Actas de la Academia Imperial 17(8): 330–8, enlace del Proyecto Euclid , MR 14282
3. Schottenloher, Martin (2008). Introducción matemática a la teoría de campos conformes (PDF) . Springer Science & Business Media. pág. 23. ISBN 978-3540686255.
4. Di Francesco, Philippe; Mathieu, Pedro; Sénéchal, David (1997). Teoría de campos conforme . Nueva York: Springer. ISBN 9780387947853.
5. Bateman, Harry (1908). "Las transformaciones conformes de un espacio de cuatro dimensiones y sus aplicaciones a la óptica geométrica"  . Actas de la London Mathematical Society . 7 : 70–89. doi :10.1112/plms/s2-7.1.70.
6. Bateman, Harry (1910). "La transformación de las ecuaciones electrodinámicas"  . Actas de la London Mathematical Society . 8 : 223–264. doi :10.1112/plms/s2-8.1.223.
7. Cunningham, Ebenezer (1910). "El principio de relatividad en electrodinámica y una extensión del mismo"  . Actas de la London Mathematical Society . 8 : 77–98. doi :10.1112/plms/s2-8.1.77.
8. Warwick, Andrew (2003). Maestros de la teoría: Cambridge y el auge de la física matemática . Chicago: University of Chicago Press . Págs. 416-424. ISBN. 0-226-87375-7.
9. Robert Gilmore (1994) [1974] Grupos de Lie, álgebras de Lie y algunas de sus aplicaciones , página 349, Robert E. Krieger Publishing ISBN 0-89464-759-8 MR 1275599 
10. Boris Kosyakov (2007) Introducción a la teoría clásica de partículas y campos, página 216, Springer books vía Google Books
11. Isaak Yaglom (1979) Una geometría no euclidiana simple y su base física , Springer, ISBN 0387-90332-1 , MR 520230 
12. AO Barut y H.-D. Doebner (1985) Grupos conformes y simetrías relacionadas: resultados físicos y antecedentes matemáticos , Lecture Notes in Physics #261 Springer books , consulte el prefacio para la cita

Lectura adicional

• Kobayashi, S. (1972). Grupos de transformación en geometría diferencial . Clásicos de las matemáticas. Springer. ISBN 3-540-58659-8.OCLC 31374337  .
• Sharpe, RW (1997), Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein , Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-94732-9.
• Peter Scherk (1960) "Algunos conceptos de geometría conforme", American Mathematical Monthly 67(1): 1−30 doi :10.2307/2308920
• Martin Schottenloher, El grupo conforme, capítulo 2 de Una introducción matemática a la teoría de campos conforme, 2008 (pdf)
• Grupo conforme en nLab