1728 (número)

1728 es el número natural que sigue a 1727 y precede a 1729. Es una docena bruta o una gran bruta (o grand gross ). ^[1] También es el número de pulgadas cúbicas en un pie cúbico .

En matemáticas

1728 es el cubo de 12 , ^[2] y por lo tanto igual al producto de los seis divisores de 12 ( 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12). ^[3] También es el producto de los primeros cuatro números compuestos (4, 6, 8 y 9 ), lo que lo convierte en un compositivo . ^[4] Como potencia cúbica perfecta , ^[5] también es un número muy potente que tiene un valor récord ( 18 ) entre el producto de los exponentes (3 y 6) en su factorización prima. ^[6]^[7]

${\begin{aligned}1728&=3^{3}\times 4^{3}=2^{3}\times 6^{3}={\mathbf {12^{3}}}\\1728&=6^{3}+8^{3}+10^{3}\\1728&=24^{2}+24^{2}+24^{2}\\\end{aligned}}$

También es un número de Jordan–Pólya tal que es un producto de factoriales : . ^[8]^[9] $2!\times (3!)^{2}\times 4!=1728$

1728 tiene veintiocho divisores , lo que es un recuento perfecto (como en el caso de 12, con seis divisores). También tiene un totiente de Euler de 576 o 24 ² , que divide a 1728 tres veces. ^[10]

1728 es un número abundante y semiperfecto , ya que es menor que la suma de sus divisores propios pero igual a la suma de un subconjunto de sus divisores propios. ^[11]^[12]

Es un número práctico ya que cada número más pequeño es la suma de divisores distintos de 1728, ^[13] y un número entero perfecto donde sus divisores se pueden dividir en dos conjuntos disjuntos con suma igual. ^[14]

1728 es 3-suave , ya que sus únicos factores primos distintos son 2 y 3. ^[15] Esto también hace que 1728 sea un número regular ^[16] que son más útiles en el contexto de potencias de 60 , el número más pequeño con doce divisores: ^[17]

60^{3}=216000=1728\times 125=12^{3}\times 5^{3}

1728 también es un número intocable ya que no existe ningún número cuya suma de divisores propios sea 1728. ^[18]

Muchos cálculos relevantes que involucran al número 1728 se calculan en el sistema numérico duodecimal , en el que se representa como "1000".

Modularyo-invariante

1728 aparece en la fórmula algebraica para el j -invariante de una curva elíptica , como una función sobre una variable compleja en el semiplano superior , ^[19] $\,{\mathcal {H}}:\{\tau \in \mathbb {C} ,{\text{ }}\mathrm {Estoy} (\tau )>0\}$

j(\tau )=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{\Delta (\tau )}}=1728{\frac {g_{2}(\tau ) ^{3}}{g_{2}(\tau)^{3}-27g_{3}(\tau)^{2}}}

Ingresando un valor de para , donde es el número imaginario , se obtiene otro entero cúbico : ${\estilo de visualización 2i}$ ${\estilo de visualización \tau}$ ${\estilo de visualización i}$

j(2i)=1728{\frac {g_{2}(2i)^{3}}{g_{2}(2i)^{3}-27g_{3}(2i)^{2}}}=66^{3}

En la teoría de la luz de la luna , los primeros términos en la expansión q de Fourier del invariante j normalizado son, ^[20]

1728{\text{ }}j(\tau )=1/q+744+196884q+21493760q^{2}+\cdots

El álgebra de Griess (que contiene al gigante amistoso como su grupo de automorfismos ) y todas las partes graduadas subsiguientes de su módulo de luz de luna de dimensión infinita contienen representaciones dimensionales cuyos valores son los coeficientes de Fourier en esta q -expansión.

Otras propiedades

El número de giros abiertos dirigidos del caballo en miniajedrez es 1728. ^[21] $5\times 5$

1728 es uno menos que el primer taxi o número de Hardy-Ramanujan 1729 , que es el número más pequeño que puede expresarse como sumas de dos cubos positivos de dos maneras. ^[22]

Dígitos decimales

Respecto a las cadenas de dígitos de 1728,

La suma entre 1 y 7 inclusive (como número triangular ) da como resultado 28 .
Donde 1728 es el cubo de 12 , la suma $1 + 728 = 729 = 9 3$ . La suma de los dígitos de 1728 es 18 .
El producto de los dígitos de 1728 es 112 , al igual que 744 .

En la cultura

1728 es el número de veces que un devoto de Hare Krishna canta diariamente el mantra Hare Krishna . El número se obtiene al dar 16 vueltas a una cuenta de japamala de 108 cuentas . ^[23]

Véase también

El año 1728 d.C.

Referencias

^ "Gran bruto (sustantivo)". Diccionario Merriam-Webster . Merriam-Webster, Inc . Consultado el 4 de abril de 2023 .
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A000578 (Los cubos)". La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS . Consultado el 3 de abril de 2023 .
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^ "1728". Numerosos en abundancia . Consultado el 4 de abril de 2023 .
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Equivalentemente, números regulares .
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^ Śrī Dharmavira Prabhu. "¡Cantando 64 rondas de Harināma al día!". Dharmavira Prahbu . Śrī Gaura Radha Govinda Internacional. Archivado desde el original el 4 de abril de 2023 . Consultado el 3 de marzo de 2023 .

Enlaces externos

1728 en Números Abundantes.