Número muy poderoso

Números enteros positivos que tienen una propiedad sobre sus divisores

En la teoría de números elementales , un número altamente potente es un entero positivo que satisface una propiedad introducida por el matemático indocanadiense Mathukumalli V. Subbarao . ^[1] El conjunto de números altamente potentes es un subconjunto propio del conjunto de números potentes .

Defina prodex (1) = 1. Sea un entero positivo, tal que , donde son primos distintos en orden creciente y es un entero positivo para . Defina . (secuencia A005361 en la OEIS ) El entero positivo se define como un número altamente poderoso si y solo si, para cada entero positivo implica que ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{e_{p_{i}}(n)}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e_{p_{i}}(n)}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$ ${\displaystyle \operatorname {prodex} (n)=\prod _{i=1}^{k}e_{p_{i}}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m,\,1\leq m<n}$ ${\displaystyle \operatorname {prodex} (m)<\operatorname {prodex} (n).}$

Los primeros 25 números altamente poderosos son: 1, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 144, 216, 288, 432, 864, 1296, 1728, 2592, 3456, 5184, 7776, 10368, 15552, 20736, 31104, 41472, 62208, 86400. (secuencia A005934 en la OEIS )

Referencias

1. Hardy, GE; Subbarao, MV (1983). "Números altamente poderosos". Congr. Numer. 37. págs. 277–307.
2. Lacampagne, CB ; Selfridge, JL (junio de 1984). "Los números grandes y muy potentes son cúbicos". Actas de la American Mathematical Society . 91 (2): 173–181. doi : 10.1090/s0002-9939-1984-0740165-6 .