Fenómeno de Gibbs

Error oscilatorio en la serie de Fourier

En matemáticas , el fenómeno de Gibbs es el comportamiento oscilatorio de la serie de Fourier de una función periódica continuamente diferenciable por partes alrededor de una discontinuidad de salto . La ^serie de Fourier parcial de la función (formada por la suma de las senos paranasales constituyentes más bajas de la serie de Fourier de la función) produce grandes picos alrededor del salto que sobrepasan o no alcanzan los valores de la función. A medida que se utilizan más senos paranasales, este error de aproximación se acerca a un límite de aproximadamente el 9% del salto, aunque la suma infinita de la serie de Fourier finalmente converge casi en todas partes (convergencia puntual en puntos continuos) excepto en los puntos de discontinuidad. ^[1] ${\textstyle N}$ ${\textstyle N}$

El fenómeno de Gibbs fue observado por físicos experimentales y se creía que se debía a imperfecciones en el aparato de medición, ^[2] pero en realidad es un resultado matemático. Es una de las causas de los artefactos de zumbido en el procesamiento de señales . Recibe su nombre en honor a Josiah Willard Gibbs .

Descripción

Aproximación funcional de onda cuadrada utilizando 5 armónicos

Aproximación funcional de onda cuadrada utilizando 25 armónicos

Aproximación funcional de onda cuadrada utilizando 125 armónicos

El fenómeno de Gibbs es un comportamiento de la serie de Fourier de una función con una discontinuidad de salto y se describe de la siguiente manera:

A medida que se toman más constituyentes o componentes de la serie de Fourier, la serie de Fourier muestra el primer sobreimpulso en el comportamiento oscilatorio alrededor del punto de salto acercándose a ~ 9% del salto (completo) y esta oscilación no desaparece sino que se acerca al punto tal que la integral de la oscilación se acerca a cero.

En el punto de salto, la serie de Fourier da el promedio de los límites de ambos lados de la función hacia el punto.

Ejemplo de onda cuadrada

Las tres imágenes de la derecha demuestran el fenómeno de Gibbs para una onda cuadrada (con una amplitud pico a pico de a y una periodicidad ) cuya ^serie parcial de Fourier es ${\textstyle c}$ ${\textstyle -c/2}$ ${\textstyle c/2}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle N}$ $${\displaystyle {\frac {2c}{\pi }}\left(\sin(\omega x)+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega x)+\cdots +{\frac {1}{2N-1}}\sin((2N-1)\omega x)\right)}$$

donde . Más precisamente, esta onda cuadrada es la función que es igual a entre y y entre y para cada entero ; por lo tanto, esta onda cuadrada tiene una discontinuidad de salto de altura de pico a pico en cada múltiplo entero de . ${\textstyle \omega =2\pi /L}$ ${\textstyle f(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{2}}}$ ${\textstyle 2n(L/2)}$ ${\textstyle (2n+1)(L/2)}$ ${\textstyle -{\tfrac {c}{2}}}$ ${\textstyle (2n+1)(L/2)}$ ${\textstyle (2n+2)(L/2)}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle L/2}$

A medida que se añaden más términos sinusoidales (es decir, se aumenta ), el error de la serie parcial de Fourier converge a una altura fija. Pero debido a que el ancho del error continúa estrechándose, el área del error (y, por lo tanto, la energía del error) converge a 0. ^[3] El análisis de onda cuadrada revela que el error excede la altura (desde cero) de la onda cuadrada en ( OEIS : A243268 ) ${\textstyle N}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{2}}}$ $${\displaystyle {\frac {c}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(t)}{t}}\ dt-{\frac {c}{2}}=c\cdot (0.089489872236\dots ).}$$

o alrededor del 9% del salto completo . De manera más general, en cualquier discontinuidad de una función continuamente diferenciable por partes con un salto de , la ^serie parcial de Fourier de la función (para un valor muy grande ) sobrepasará este salto por un error que se aproxima en un extremo y lo dejará por debajo por la misma cantidad en el otro extremo; por lo tanto, el "salto completo" en la serie parcial de Fourier será aproximadamente un 18% mayor que el salto completo en la función original. En la discontinuidad, la serie parcial de Fourier convergerá al punto medio del salto (independientemente del valor real de la función original en la discontinuidad) como consecuencia del teorema de Dirichlet . ^[4] La cantidad ( OEIS : A036792 ) a veces se conoce como la constante de Wilbraham -Gibbs . ^[5] ${\textstyle c}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle c\cdot (0.089489872236\dots )}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\ dt=(1.851937051982\dots )={\frac {\pi }{2}}+\pi \cdot (0.089489872236\dots )}$$

Historia

El fenómeno de Gibbs fue observado y analizado por primera vez por Henry Wilbraham en un artículo de 1848. ^[6] El artículo atrajo poca atención hasta 1914 cuando fue mencionado en la revisión de análisis matemático de Heinrich Burkhardt en la enciclopedia de Klein . ^[7] En 1898, Albert A. Michelson desarrolló un dispositivo que podía calcular y resintetizar la serie de Fourier. ^[8] Un mito muy extendido dice que cuando los coeficientes de Fourier para una onda cuadrada se ingresaban en la máquina, el gráfico oscilaría en las discontinuidades, y que debido a que era un dispositivo físico sujeto a fallas de fabricación, Michelson estaba convencido de que el sobreimpulso era causado por errores en la máquina. De hecho, los gráficos producidos por la máquina no eran lo suficientemente buenos para exhibir el fenómeno de Gibbs claramente, y Michelson puede no haberlo notado ya que no mencionó este efecto en su artículo (Michelson & Stratton 1898) sobre su máquina o sus cartas posteriores a Nature . ^[9]

Inspirado por la correspondencia en Nature entre Michelson y AEH Love sobre la convergencia de la serie de Fourier de la función de onda cuadrada, J. Willard Gibbs publicó una nota en 1898 señalando la importante distinción entre el límite de los gráficos de las sumas parciales de la serie de Fourier de una onda de diente de sierra y el gráfico del límite de esas sumas parciales. En su primera carta, Gibbs no se dio cuenta del fenómeno de Gibbs, y el límite que describió para los gráficos de las sumas parciales era inexacto. En 1899 publicó una corrección en la que describió el sobreimpulso en el punto de discontinuidad ( Nature , 27 de abril de 1899, p. 606). En 1906, Maxime Bôcher realizó un análisis matemático detallado de ese sobreimpulso, acuñando el término "fenómeno de Gibbs" ^[10] y dándole un uso generalizado. ^[9]

Después de que la existencia del artículo de Henry Wilbraham se hiciera ampliamente conocida, en 1925 Horatio Scott Carslaw comentó: "Todavía podemos llamar a esta propiedad de la serie de Fourier (y algunas otras series) el fenómeno de Gibbs; pero ya no debemos afirmar que la propiedad fue descubierta por primera vez por Gibbs". ^[11]

Explicación

De manera informal, el fenómeno de Gibbs refleja la dificultad inherente a la aproximación de una función discontinua mediante una serie finita de ondas sinusoidales continuas . Es importante hacer hincapié en la palabra finito , porque aunque cada suma parcial de la serie de Fourier se sobrepasa alrededor de cada discontinuidad que está aproximando, el límite de sumar un número infinito de ondas sinusoidales no lo hace. Los picos de sobrepaso se acercan cada vez más a la discontinuidad a medida que se suman más términos, por lo que la convergencia es posible.

No hay contradicción (entre el error de sobreimpulso que converge a una altura distinta de cero aunque la suma infinita no tenga sobreimpulso), porque los picos de sobreimpulso se mueven hacia la discontinuidad. El fenómeno de Gibbs exhibe así convergencia puntual , pero no convergencia uniforme . Para una función continuamente diferenciable por partes (clase C ¹ ) , la serie de Fourier converge a la función en cada punto excepto en las discontinuidades de salto. En las discontinuidades de salto, la suma infinita convergerá al punto medio de la discontinuidad de salto (es decir, el promedio de los valores de la función a cada lado del salto), como consecuencia del teorema de Dirichlet . ^[4]

El fenómeno de Gibbs está estrechamente relacionado con el principio de que la suavidad de una función controla la tasa de decaimiento de sus coeficientes de Fourier. Los coeficientes de Fourier de las funciones más suaves decaerán más rápidamente (lo que dará como resultado una convergencia más rápida), mientras que los coeficientes de Fourier de las funciones discontinuas decaerán lentamente (lo que dará como resultado una convergencia más lenta). Por ejemplo, la onda cuadrada discontinua tiene coeficientes de Fourier que decaen solo a una tasa de , mientras que la onda triangular continua tiene coeficientes de Fourier que decaen a una tasa mucho más rápida de . ${\displaystyle ({\tfrac {1}{1}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{3}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{5}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{7}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{9}},{\scriptstyle {\text{0}}},\dots )}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{1^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {-1}{3^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{5^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {-1}{7^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{9^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},\dots )}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n^{2}}}}$

Esto sólo proporciona una explicación parcial del fenómeno de Gibbs, ya que las series de Fourier con coeficientes de Fourier absolutamente convergentes serían uniformemente convergentes según la prueba M de Weierstrass y, por lo tanto, no podrían exhibir el comportamiento oscilatorio anterior. Por la misma razón, es imposible que una función discontinua tenga coeficientes de Fourier absolutamente convergentes, ya que la función sería entonces el límite uniforme de las funciones continuas y, por lo tanto, sería continua, una contradicción. Véase Convergencia de series de Fourier § Convergencia absoluta .

Soluciones

Dado que el fenómeno de Gibbs proviene de un error de cálculo, se puede eliminar utilizando núcleos que nunca sean negativos, como el núcleo de Fejér . ^{[12] [13]}

En la práctica, las dificultades asociadas con el fenómeno de Gibbs se pueden mejorar utilizando un método más suave de suma de series de Fourier, como la suma de Fejér o la suma de Riesz , o utilizando la aproximación sigma . Utilizando una transformada wavelet continua , el fenómeno de Gibbs wavelet nunca supera al fenómeno de Gibbs de Fourier. ^[14] Además, utilizando la transformada wavelet discreta con funciones de base de Haar , el fenómeno de Gibbs no ocurre en absoluto en el caso de datos continuos en discontinuidades de salto, ^[15] y es mínimo en el caso discreto en grandes puntos de cambio. En el análisis wavelet, esto se conoce comúnmente como el fenómeno de Longo. En el entorno de interpolación polinomial, el fenómeno de Gibbs se puede mitigar utilizando el algoritmo S-Gibbs. ^[16]

Descripción matemática formal del fenómeno de Gibbs

Sea una función continuamente diferenciable por partes que es periódica con un período . Supongamos que en algún punto , el límite izquierdo y el límite derecho de la función difieren en un salto distinto de cero de : ${\textstyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$ ${\textstyle L>0}$ ${\textstyle x_{0}}$ ${\textstyle f(x_{0}^{-})}$ ${\textstyle f(x_{0}^{+})}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle c}$ $${\displaystyle f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})=c\neq 0.}$$

Para cada entero positivo ≥ 1, sea la ^ésima serie parcial de Fourier ( puede tratarse como un operador matemático en funciones). ${\textstyle N}$ ${\textstyle S_{N}f(x)}$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle S_{N}}$ $${\displaystyle S_{N}f(x):=\sum _{-N\leq n\leq N}{\widehat {f}}(n)e^{\frac {i2\pi nx}{L}}={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\right),}$$

donde los coeficientes de Fourier para números enteros se dan mediante las fórmulas habituales ${\textstyle {\widehat {f}}(n),a_{n},b_{n}}$ ${\textstyle n}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(n):={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(x)e^{-{\frac {i2\pi nx}{L}}}\,dx}$$ $${\displaystyle a_{0}:={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\ dx}$$ $${\displaystyle a_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\,dx}$$ $${\displaystyle b_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\,dx.}$$

Entonces tenemos y pero $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{+})+c\cdot (0.089489872236\dots )}$$ $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}-{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{-})-c\cdot (0.089489872236\dots )}$$ $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f(x_{0})={\frac {f(x_{0}^{-})+f(x_{0}^{+})}{2}}.}$$

De manera más general, si es cualquier secuencia de números reales que converge a como , y si el salto de es positivo entonces y ${\textstyle x_{N}}$ ${\textstyle x_{0}}$ ${\textstyle N\to \infty }$ ${\textstyle a}$ $${\displaystyle \limsup _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\leq f(x_{0}^{+})+c\cdot (0.089489872236\dots )}$$ $${\displaystyle \liminf _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\geq f(x_{0}^{-})-c\cdot (0.089489872236\dots ).}$$

Si en cambio el salto de es negativo, es necesario intercambiar el límite superior ( ) con el límite inferior ( ), y también intercambiar los signos y , en las dos desigualdades anteriores. ${\textstyle c}$ ${\textstyle \limsup }$ ${\textstyle \liminf }$ ${\textstyle \leq }$ ${\textstyle \geq }$

Prueba del fenómeno de Gibbs en un caso general

Dicho de otro modo, sea una función continuamente diferenciable por partes que es periódica con un período , y esta función tiene múltiples puntos de discontinuidad de salto denotados donde y así sucesivamente. En cada discontinuidad, la cantidad del salto completo vertical es . ${\textstyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$ ${\textstyle L>0}$ ${\textstyle x_{i}}$ ${\textstyle i=0,1,2,}$ ${\textstyle c_{i}}$

Entonces, se puede expresar como la suma de una función continua y una función de múltiples pasos que es la suma de funciones de pasos como ^[17] ${\textstyle f}$ ${\textstyle f_{c}}$ ${\textstyle f_{s}}$

$${\displaystyle f=f_{c}+f_{s},}$$ $${\displaystyle f_{s}=f_{s_{1}}+f_{s_{2}}+f_{s_{3}}+\cdots ,}$$ $${\displaystyle f_{s_{i}}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq x_{i},\\c_{i},&{\text{if }}x>x_{i}.\end{cases}}}$$

${\textstyle S_{N}f(x)}$como la ^serie parcial de Fourier de convergerá bien en todos los puntos excepto en los puntos cercanos a las discontinuidades . Alrededor de cada punto de discontinuidad , solo tendrá el fenómeno de Gibbs propio (el error de convergencia oscilatoria máxima de ~ 9% del salto , como se muestra en el análisis de onda cuadrada) porque otras funciones son continuas ( ) o cero plano ( donde ) alrededor de ese punto. Esto demuestra cómo ocurre el fenómeno de Gibbs en cada discontinuidad. ${\textstyle N}$ ${\textstyle f=f_{c}+f_{s}=f_{c}+\left(f_{s_{1}}+f_{s_{2}}+f_{s_{3}}+\ldots \right)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle x_{i}}$ ${\textstyle x_{i}}$ ${\textstyle f_{s_{i}}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle f_{s_{j}}}$ ${\displaystyle j\neq i}$

Explicación del procesamiento de señales

La función sinc , la respuesta al impulso de un filtro de paso bajo ideal . El escalamiento estrecha la función y, en consecuencia, aumenta la magnitud (que no se muestra aquí), pero no reduce la magnitud del subimpulso, que es la integral de la cola.

Desde el punto de vista del procesamiento de señales , el fenómeno de Gibbs es la respuesta de paso de un filtro de paso bajo , y las oscilaciones se denominan "ringing" o "ringing artefactos" . Truncar la transformada de Fourier de una señal en la línea real, o la serie de Fourier de una señal periódica (equivalentemente, una señal en el círculo), corresponde a filtrar las frecuencias más altas con un filtro de paso bajo ideal ( de pared de ladrillos ). Esto se puede representar como una convolución de la señal original con la respuesta al impulso del filtro (también conocida como kernel ), que es la función sinc . Por lo tanto, el fenómeno de Gibbs puede verse como el resultado de convolucionar una función de paso de Heaviside (si no se requiere periodicidad) o una onda cuadrada (si es periódica) con una función sinc: las oscilaciones en la función sinc causan las ondulaciones en la salida.

La integral del seno , que exhibe el fenómeno de Gibbs para una función escalonada en la línea real

En el caso de la convolución con una función escalonada de Heaviside, la función resultante es exactamente la integral de la función sinc, la integral seno ; para una onda cuadrada, la descripción no es tan simple. Para la función escalonada, la magnitud del subimpulso es, por lo tanto, exactamente la integral de la cola izquierda hasta el primer cero negativo: para la sinc normalizada de período de muestreo unitario, esto es El sobreimpulso es, en consecuencia, de la misma magnitud: la integral de la cola derecha o (equivalentemente) la diferencia entre la integral desde el infinito negativo hasta el primer cero positivo menos 1 (el valor que no sobreimpulsa). ${\textstyle \int _{-\infty }^{-1}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx.}$

El sobreimpulso y el subimpulso se pueden entender de la siguiente manera: los núcleos generalmente se normalizan para tener una integral de 1, por lo que dan como resultado una asignación de funciones constantes a funciones constantes; de lo contrario, tienen ganancia . El valor de una convolución en un punto es una combinación lineal de la señal de entrada, con coeficientes (pesos) que son los valores del núcleo.

Si un kernel no es negativo, como en el caso de un kernel gaussiano , entonces el valor de la señal filtrada será una combinación convexa de los valores de entrada (los coeficientes (el kernel) se integran en 1 y no son negativos) y, por lo tanto, se encontrará entre el mínimo y el máximo de la señal de entrada; no se quedará por debajo ni por encima. Si, por otro lado, el kernel asume valores negativos, como la función sinc, entonces el valor de la señal filtrada será en cambio una combinación afín de los valores de entrada y puede quedar fuera del mínimo y el máximo de la señal de entrada, lo que resultará en un exceso o defecto, como en el fenómeno de Gibbs.

Tomar una expansión más larga –cortar a una frecuencia más alta– corresponde en el dominio de la frecuencia a ensanchar la pared de ladrillos, lo que en el dominio del tiempo corresponde a estrechar la función sinc y aumentar su altura por el mismo factor, dejando sin cambios las integrales entre los puntos correspondientes. Esta es una característica general de la transformada de Fourier: la ampliación en un dominio corresponde a estrechar y aumentar la altura en el otro. Esto da como resultado que las oscilaciones en sinc sean más estrechas y más altas, y (en la función filtrada después de la convolución) produce oscilaciones que son más estrechas (y por lo tanto con un área más pequeña ) pero que no tienen una magnitud reducida : cortar en cualquier frecuencia finita da como resultado una función sinc, por estrecha que sea, con las mismas integrales de cola. Esto explica la persistencia del sobreimpulso y el subimpulso.

• 
  Las oscilaciones se pueden interpretar como convolución con una sinc.
• 
  Un corte más alto hace que el sinc sea más estrecho pero más alto, con integrales de cola de la misma magnitud, lo que produce oscilaciones de frecuencia más alta, pero cuya magnitud no desaparece.

Así pues, las características del fenómeno de Gibbs se interpretan de la siguiente manera:

• El subimpulso se debe a que la respuesta al impulso tiene una integral de cola negativa, lo cual es posible porque la función toma valores negativos;
• El sobreimpulso compensa esto, por simetría (la integral general no cambia bajo el filtrado);
• La persistencia de las oscilaciones se debe a que al aumentar el límite de corte se estrecha la respuesta al impulso pero no se reduce su integral; por lo tanto, las oscilaciones se mueven hacia la discontinuidad, pero no disminuyen en magnitud.

Análisis de ondas cuadradas

Animación de la síntesis aditiva de una onda cuadrada (con una periodicidad de 1 y una amplitud de pico a pico de 2, de -1 a 1) con un número creciente de armónicos. El fenómeno de Gibbs, en forma de oscilaciones alrededor de discontinuidades de salto, es visible especialmente cuando el número de armónicos es grande.

Examinamos la ^serie parcial de Fourier de una onda cuadrada con la periodicidad y una discontinuidad de un salto vertical "completo" desde en . Como el caso de impar es muy similar, tratemos sólo el caso cuando es par: ${\textstyle N}$ ${\textstyle S_{N}f(x)}$ ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle y=y_{0}}$ ${\textstyle x=x_{0}}$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle N}$

$${\displaystyle S_{N}f(x)=\left(y_{0}+{\frac {c}{2}}\right)+{\frac {2c}{\pi }}\left(\sin(\omega (x-x_{0}))+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega (x-x_{0}))+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin((N-1)\omega (x-x_{0}))\right)}$$

con . ( donde es el número de componentes de la serie de Fourier sinusoidal distintos de cero, por lo que hay literatura que utiliza en lugar de .) Sustituyendo (un punto de discontinuidad), obtenemos lo que se afirma anteriormente. (El primer término que solo sobrevive es el promedio de la serie de Fourier). ${\textstyle \omega ={\frac {2\pi }{L}}}$ ${\textstyle N=2N'}$ ${\textstyle N'}$ ${\textstyle N'}$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle x=x_{0}}$ $${\displaystyle S_{N}f(x_{0})=\left(y_{0}+{\frac {c}{2}}\right)={\frac {f(0^{-})+f(0^{+})}{2}}={\frac {y_{0}+(y_{0}+c)}{2}}}$$

A continuación, encontramos el primer máximo de la oscilación alrededor de la discontinuidad comprobando la primera y la segunda derivada de . La primera condición para el máximo es que la primera derivada sea igual a cero como ${\textstyle x=x_{0}}$ ${\textstyle S_{N}f(x)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}S_{N}f(x)={\frac {2c}{\pi }}\left(\cos(\omega (x-x_{0}))+\cos(3\omega (x-x_{0}))+\cdots +\cos((N-1)\omega (x-x_{0}))\right)={\frac {c}{\pi }}{\frac {\sin(N\omega (x-x_{0}))}{\sin(\omega (x-x_{0}))}}=0}$$

donde la segunda igualdad proviene de una de las identidades trigonométricas de Lagrange . Al resolver esta condición se obtiene que para los números enteros se excluyen los múltiplos de para evitar el denominador cero, por lo que se permiten y sus negativos. ${\textstyle x-x_{0}=k\pi /(N\omega )=kL/(2N)}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle N\omega }$ ${\textstyle k=1,2,\ldots ,N\omega -1,N\omega +1,\ldots }$

La segunda derivada de at es ${\textstyle S_{N}f(x)}$ ${\textstyle x-x_{0}=kL/(2N)}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}S_{N}f(x)={\frac {c\omega }{\pi }}\left({\frac {N\cos(N\omega (x-x_{0}))\sin(\omega (x-x_{0}))-\sin(N\omega (x-x_{0}))\cos(\omega (x-x_{0}))}{\sin ^{2}(\omega (x-x_{0}))}}\right),}$$ $${\displaystyle \left.{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}S_{N}f(x)\right\vert _{x_{0}+kL/(2N)}={\begin{cases}{\frac {2c}{L}}{\frac {N}{\sin(k\pi /N)}},&{\text{if }}k{\text{ is even,}}\\[4pt]{\frac {2c}{L}}{\frac {-N}{\sin(k\pi /N)}},&{\text{if }}k{\text{ is odd.}}\end{cases}}}$$

Por lo tanto, el primer máximo se produce en ( ) y en este valor es ${\textstyle x=x_{0}+L/(2N)}$ ${\textstyle k=1}$ ${\textstyle S_{N}f(x)}$ ${\textstyle x}$ $${\displaystyle S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=\left(y_{0}+{\frac {c}{2}}\right)+{\frac {2c}{\pi }}\left(\sin \left({\frac {\pi }{N}}\right)+{\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {3\pi }{N}}\right)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin \left({\frac {(N-1)\pi }{N}}\right)\right)}$$

Si introducimos la función sinc normalizada para , podemos reescribir esto como ${\textstyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$ ${\textstyle x\neq 0}$ $${\displaystyle S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+c\left[{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{N}}\right)+{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {3}{N}}\right)+\cdots +{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {(N-1)}{N}}\right)\right].}$$

Para un valor suficientemente grande , la expresión entre corchetes es una aproximación de suma de Riemann a la integral (más precisamente, es una aproximación de regla de punto medio con espaciamiento ). Dado que la función sinc es continua, esta aproximación converge a la integral cuando . Por lo tanto, tenemos ${\textstyle N}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\ dx}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{N}}}$ ${\displaystyle N\to \infty }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)&=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+c\int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\,dx\\[8pt]&=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+{\frac {c}{\pi }}\int _{x=0}^{1}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,d(\pi x)\\[8pt]&=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+{\frac {c}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(t)}{t}}\ dt\quad =\quad (y_{0}+c)+c\cdot (0.089489872236\dots ),\end{aligned}}}$$

que se afirmó en la sección anterior. Un cálculo similar muestra

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}-{\frac {L}{2N}}\right)=-c\int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\,dx=y_{0}-c\cdot (0.089489872236\dots ).}$$

Consecuencias

El fenómeno de Gibbs es indeseable porque provoca artefactos, en concreto, recortes debidos a los sobreimpulsos y subimpulsos, y artefactos de zumbido debidos a las oscilaciones. En el caso del filtrado de paso bajo, estos pueden reducirse o eliminarse utilizando diferentes filtros de paso bajo.

En la resonancia magnética , el fenómeno de Gibbs provoca artefactos en presencia de regiones adyacentes con una intensidad de señal marcadamente diferente. Esto se observa con mayor frecuencia en las resonancias magnéticas de columna, donde el fenómeno de Gibbs puede simular la apariencia de una siringomielia .

El fenómeno de Gibbs se manifiesta como un artefacto de patrón cruzado en la transformada de Fourier discreta de una imagen, ^[18] donde la mayoría de las imágenes (por ejemplo, micrografías o fotografías) tienen una discontinuidad aguda entre los límites en la parte superior/inferior e izquierda/derecha de una imagen. Cuando se imponen condiciones de límite periódicas en la transformada de Fourier, esta discontinuidad de salto se representa mediante un continuo de frecuencias a lo largo de los ejes en el espacio recíproco (es decir, un patrón cruzado de intensidad en la transformada de Fourier).

Y aunque este artículo se centró principalmente en la dificultad de intentar construir discontinuidades sin artefactos en el dominio del tiempo con solo una serie de Fourier parcial, también es importante considerar que debido a que la transformada de Fourier inversa es extremadamente similar a la transformada de Fourier , existe de manera equivalente una dificultad al intentar construir discontinuidades en el dominio de la frecuencia utilizando solo una serie de Fourier parcial. Así, por ejemplo, debido a que los filtros de pared de ladrillo y rectangulares idealizados tienen discontinuidades en el dominio de la frecuencia , su representación exacta en el dominio del tiempo requiere necesariamente una respuesta de impulso de filtro sinc infinitamente larga , ya que una respuesta de impulso finita dará como resultado una ondulación de Gibbs en la respuesta de frecuencia cerca de las frecuencias de corte , aunque esta ondulación se puede reducir mediante la creación de ventanas en los filtros de respuesta de impulso finito (a expensas de bandas de transición más amplias). ^[19]

Véase también

• Bandas de Mach
• Fenómeno de Pinsky
• Fenómeno de Runge (un fenómeno similar en aproximaciones polinomiales)
• Aproximación σ que ajusta una suma de Fourier para eliminar el fenómeno de Gibbs que de otro modo ocurriría en las discontinuidades.
• Integral de seno

Notas

1. HS Carslaw (1930). "Capítulo IX". Introducción a la teoría de las series e integrales de Fourier (tercera edición). Nueva York: Dover Publications Inc.
2. Vretblad 2000 Sección 4.7.
3. "6.7: Fenómenos de Gibbs". Ingeniería LibreTexts . 2020-05-24 . Consultado el 2022-03-03 .
4. M. Pinsky (2002). Introducción al análisis de Fourier y wavelets . Estados Unidos de América: Brooks/Cole. pág. 27.
5. Steven R. Finch, Constantes matemáticas , Cambridge University Press, 2003, Sección 4.1 Constante de Gibbs-Wilbraham, pág. 249.
6. Wilbraham, Henry (1848) "Sobre una cierta función periódica", The Cambridge and Dublin Mathematical Journal , 3  : 198–201.
7. Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen (PDF) . vol. II T. 1 H 1. Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag. 1914. pág. 1049 . Consultado el 14 de septiembre de 2016 .
8. Hammack, Bill; Kranz, Steve; Carpenter, Bruce (29 de octubre de 2014). El analizador armónico de Albert Michelson: un recorrido visual por una máquina del siglo XIX que realiza análisis de Fourier. Articulate Noise Books. ISBN 9780983966173. Recuperado el 14 de septiembre de 2016 .
9. Hewitt, Edwin; Hewitt, Robert E. (1979). "El fenómeno de Gibbs-Wilbraham: un episodio en el análisis de Fourier". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 21 (2): 129–160. doi :10.1007/BF00330404. S2CID  119355426.Disponible en línea en: National Chiao Tung University: Open Course Ware: Hewitt & Hewitt, 1979. Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
10. Bôcher, Maxime (abril de 1906) "Introducción a la teoría de las series de Fourier", Anales de Matemáticas , segunda serie, 7 (3): 81-152. El fenómeno de Gibbs se analiza en las páginas 123-132; el papel de Gibbs se menciona en la página 129.
11. Carslaw, HS (1 de octubre de 1925). «Una nota histórica sobre el fenómeno de Gibbs en las series de Fourier y las integrales». Boletín de la American Mathematical Society . 31 (8): 420–424. doi : 10.1090/s0002-9904-1925-04081-1 . ISSN:  0002-9904 . Consultado el 14 de septiembre de 2016 .
12. Gottlieb, David; Shu, Chi-Wang (enero de 1997). "Sobre el fenómeno de Gibbs y su resolución". SIAM Review . 39 (4): 644–668. doi :10.1137/S0036144596301390. ISSN  0036-1445.
13. Gottlieb, Sigal; Jung, Jae-Hun; Kim, Saeja (marzo de 2011). "Una revisión del trabajo de David Gottlieb sobre la resolución del fenómeno de Gibbs". Communications in Computational Physics . 9 (3): 497–519. doi :10.4208/cicp.301109.170510s. ISSN  1815-2406.
14. Rasmussen, Henrik O. "El fenómeno wavelet de Gibbs". En Wavelets, fractales y transformadas de Fourier , Eds M. Farge et al., Clarendon Press, Oxford, 1993.
15. Susan E., Kelly (1995). "Fenómeno de Gibbs para wavelets" (PDF) . Análisis armónico computacional y aplicado (3). Archivado desde el original (PDF) el 2013-09-09 . Consultado el 2012-03-31 .
16. De Marchi, Stefano; Marchetti, Francesco; Perracchione, Emma; Poggiali, Davide (2020). "Interpolación polinómica a través de bases mapeadas sin remuestreo". J. Comput. Appl. Math . 364 : 112347. doi : 10.1016/j.cam.2019.112347 . ISSN  0377-0427. S2CID  199688130.
17. Fay, Temple H.; Kloppers, P. Hendrik (2001). "El fenómeno de Gibbs". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 32 (1): 73–89. doi :10.1080/00207390117151.
18. R. Hovden, Y. Jiang, HL Xin, LF Kourkoutis (2015). "Reducción periódica de artefactos en transformadas de Fourier de imágenes de resolución atómica de campo completo". Microscopía y microanálisis . 21 (2): 436–441. arXiv : 2210.09024 . doi :10.1017/S1431927614014639. PMID  25597865. S2CID  22435248.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
19. "El fenómeno Gibbs | RecordingBlogs" www.recordingblogs.com . Consultado el 5 de marzo de 2022 .

Referencias

• Gibbs, J. Willard (1898), "Serie de Fourier", Nature , 59 (1522): 200, doi : 10.1038/059200b0 , ISSN  0028-0836, S2CID  4004787
• Gibbs, J. Willard (1899), "Serie de Fourier", Nature , 59 (1539): 606, doi : 10.1038/059606a0 , ISSN  0028-0836, S2CID  13420929
• Michelson, AA; Stratton, SW (1898), "Un nuevo analizador armónico", Philosophical Magazine , 5 (45): 85–91
• Zygmund, Antoni (1959). Series trigonométricas (2.ª ed.). Cambridge University Press.Volumen 1, Volumen 2.
• Wilbraham, Henry (1848), "Sobre una determinada función periódica", The Cambridge and Dublin Mathematical Journal , 3 : 198–201
• Paul J. Nahin , La fabulosa fórmula del Dr. Euler, Princeton University Press, 2006. Cap. 4, Sec. 4.
• Vretblad, Anders (2000), Análisis de Fourier y sus aplicaciones , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 223, Nueva York: Springer Publishing , pág. 93, ISBN 978-0-387-00836-3

Enlaces externos

• Medios relacionados con el fenómeno de Gibbs en Wikimedia Commons
• "Fenómeno de Gibbs", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W., " El fenómeno de Gibbs ". De MathWorld, un recurso web de Wolfram.
• Prandoni, Paolo, " El fenómeno Gibbs ".
• Radaelli-Sanchez, Ricardo y Richard Baraniuk, " El fenómeno de Gibbs ". The Connexions Project. (Licencia Creative Commons Attribution)
• Horatio S Carslaw: Introducción a la teoría de las series de Fourier y las integrales.pdf (introductiontot00unkngoog.pdf) en archive.org
• Una implementación en Python del algoritmo S-Gibbs que mitiga el fenómeno de Gibbs https://github.com/pog87/FakeNodes.