Representación de Gelfand

En matemáticas , la representación de Gelfand en el análisis funcional (llamada así por IM Gelfand ) es una de dos cosas:

• una forma de representar álgebras de Banach conmutativas como álgebras de funciones continuas;
• el hecho de que para las C*-álgebras conmutativas , esta representación es un isomorfismo isométrico.

En el primer caso, se puede considerar la representación de Gelfand como una generalización de largo alcance de la transformada de Fourier de una función integrable. En el segundo caso, el teorema de representación de Gelfand-Naimark es una vía en el desarrollo de la teoría espectral para operadores normales y generaliza la noción de diagonalización de una matriz normal .

Observaciones históricas

Una de las aplicaciones originales de Gelfand (y que históricamente motivó gran parte del estudio de las álgebras de Banach ^{[ cita requerida ]} ) fue dar una prueba mucho más corta y conceptual de un célebre lema de Norbert Wiener (ver la cita a continuación), que caracteriza los elementos de las álgebras de grupo L ¹ ( R ) y cuyas traducidas abarcan subespacios densos en las respectivas álgebras. ${\displaystyle \ell ^{1}({\mathbf {Z} })}$

El álgebra modelo

Para cualquier espacio topológico de Hausdorff localmente compacto X , el espacio C ₀ ( X ) de funciones complejas continuas en X que se anulan en el infinito es de manera natural un C*-álgebra conmutativa:

• La estructura del álgebra sobre los números complejos se obtiene considerando las operaciones puntuales de suma y multiplicación.
• La involución es una conjugación compleja puntual.
• La norma es la norma uniforme sobre funciones.

La importancia de que X sea localmente compacto y Hausdorff es que esto convierte a X en un espacio completamente regular . En un espacio de este tipo, cada subconjunto cerrado de X es el conjunto cero común de una familia de funciones continuas de valor complejo en X , lo que permite recuperar la topología de X a partir de C ₀ ( X ).

Nótese que C ₀ ( X ) es unital si y sólo si X es compacto , en cuyo caso C ₀ ( X ) es igual a C ( X ), el álgebra de todas las funciones continuas de valor complejo en X .

Representación de Gelfand de un álgebra de Banach conmutativa

Sea un álgebra de Banach conmutativa , definida sobre el cuerpo de números complejos. Un homomorfismo de álgebra distinto de cero (un funcional lineal multiplicativo) se denomina carácter de ; el conjunto de todos los caracteres de se denota por . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Phi \colon A\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{A}}$

Se puede demostrar que cada carácter en es automáticamente continuo y, por lo tanto, es un subconjunto del espacio de funcionales lineales continuos en ; además, cuando está equipado con la topología débil relativa * , resulta ser localmente compacto y de Hausdorff. (Esto se desprende del teorema de Banach-Alaoglu ). El espacio es compacto (en la topología que se acaba de definir) si y solo si el álgebra tiene un elemento identidad. ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle A}$

Dado , se define la función por . La definición de y la topología sobre ella aseguran que es continua y se desvanece en el infinito ^{[ cita requerida ]} , y que la función define un homomorfismo algebraico decreciente de norma y preservador de unidades de a . Este homomorfismo es la representación de Gelfand de , y es la transformada de Gelfand del elemento . En general, la representación no es ni inyectiva ni sobreyectiva. ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle {\widehat {a}}:\Phi _{A}\to {\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\widehat {a}}(\phi )=\phi (a)}$ ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle {\widehat {a}}}$ ${\displaystyle a\mapsto {\widehat {a}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{0}(\Phi _{A})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\widehat {a}}}$ ${\displaystyle a}$

En el caso en el que tiene un elemento identidad, hay una biyección entre y el conjunto de ideales maximales en (esto se basa en el teorema de Gelfand-Mazur ). Como consecuencia, el núcleo de la representación de Gelfand puede identificarse con el radical de Jacobson de . Por lo tanto, la representación de Gelfand es inyectiva si y solo si es semisimple (de Jacobson) . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\to C_{0}(\Phi _{A})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos

El espacio de Banach es un álgebra de Banach bajo la convolución, el álgebra de grupo de . Entonces es homeomorfo a y la transformada de Gelfand de es la transformada de Fourier . De manera similar, con , el álgebra de grupo de los reales multiplicativos, la transformada de Gelfand es la transformada de Mellin . ${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} _{+})}$

Para , el espacio de representación es la compactificación de Stone–Čech . De manera más general, si es un espacio de Hausdorff completamente regular, entonces el espacio de representación del álgebra de Banach de funciones continuas acotadas es la compactificación de Stone–Čech de . ^[2] ${\displaystyle A=\ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El caso del álgebra C*

Como motivación, considere el caso especial A = C ₀ ( X ). Dado x en X , sea evaluación puntual en x , es decir . Entonces es un carácter en A , y se puede demostrar que todos los caracteres de A son de esta forma; un análisis más preciso muestra que podemos identificar Φ _A con X , no solo como conjuntos sino como espacios topológicos. La representación de Gelfand es entonces un isomorfismo ${\displaystyle \varphi _{x}\in A^{*}}$ ${\displaystyle \varphi _{x}(f)=f(x)}$ ${\displaystyle \varphi _{x}}$

${\displaystyle C_{0}(X)\to C_{0}(\Phi _{A}).\ }$

El espectro de un C*-álgebra conmutativa

El espectro o espacio de Gelfand de una C*-álgebra conmutativa A , denotada  , consiste en el conjunto de *-homomorfismos distintos de cero desde A hasta los números complejos. Los elementos del espectro se denominan caracteres en A . (Puede demostrarse que todo homomorfismo de álgebra desde A hasta los números complejos es automáticamente un *-homomorfismo , de modo que esta definición del término 'carácter' concuerda con la anterior.)

En particular, el espectro de un C*-álgebra conmutativa es un espacio de Hausdorff localmente compacto: En el caso unital, es decir, donde el C*-álgebra tiene un elemento unitario multiplicativo 1, todos los caracteres f deben ser unital, es decir, f (1) es el número complejo uno. Esto excluye el homomorfismo cero. Por lo tanto ,  es cerrado bajo convergencia débil-* y el espectro es realmente compacto . En el caso no unital, el cierre débil-* de  es  ∪ {0}, donde 0 es el homomorfismo cero, y la eliminación de un solo punto de un espacio de Hausdorff compacto produce un espacio de Hausdorff localmente compacto.

Nótese que espectro es una palabra sobrecargada. También se refiere al espectro σ( x ) de un elemento x de un álgebra con unidad 1, es decir, el conjunto de números complejos r para los cuales x  −  r 1 no es invertible en A . Para las C*-álgebras unitarias, las dos nociones están conectadas de la siguiente manera: σ( x ) es el conjunto de números complejos f ( x ) donde f se extiende sobre el espacio de Gelfand de A . Junto con la fórmula del radio espectral , esto muestra que  es un subconjunto de la bola unidad de A* y, como tal, se le puede dar la topología relativa débil-*. Esta es la topología de convergencia puntual. Una red { f _k } _k de elementos del espectro de A converge a f si y solo si para cada x en A , la red de números complejos { f _k ( x )} _k converge a f ( x ).

Si A es una C*-álgebra separable , la topología débil-* es metrizable en subconjuntos acotados. Por lo tanto, el espectro de una C*-álgebra conmutativa separable A puede considerarse como un espacio métrico. Por lo tanto, la topología puede caracterizarse mediante la convergencia de sucesiones.

Equivalentemente, σ( x ) es el rango de γ( x ), donde γ es la representación de Gelfand.

Enunciado del teorema conmutativo de Gelfand-Naimark

Sea A una C*-álgebra conmutativa y sea X el espectro de A. Sea

${\displaystyle \gamma :A\to C_{0}(X)}$

sea ​​la representación de Gelfand definida anteriormente.

Teorema . La función de Gelfand γ es un *-isomorfismo isométrico de A sobre C ₀ ( X ).

Vea la referencia de Arveson a continuación.

El espectro de un C*-álgebra conmutativa también puede verse como el conjunto de todos los ideales máximos m de A , con la topología hull-kernel . (Véanse las observaciones anteriores para el caso general del álgebra de Banach conmutativa). Para cualquier m de este tipo, el álgebra cociente A/m es unidimensional (por el teorema de Gelfand-Mazur) y, por lo tanto, cualquier a en A da lugar a una función de valor complejo en Y .

En el caso de las C*-álgebras con unidad, la función espectral da lugar a un funtor contravariante de la categoría de las C*-álgebras conmutativas con unidad y de los *-homomorfismos continuos que preservan la unidad, a la categoría de los espacios de Hausdorff compactos y las funciones continuas. Este funtor es la mitad de una equivalencia contravariante entre estas dos categorías (siendo su adjunto el funtor que asigna a cada espacio de Hausdorff compacto X la C*-álgebra C ₀ ( X )). En particular, dados los espacios de Hausdorff compactos X e Y , entonces C ( X ) es isomorfo a C ( Y ) (como una C*-álgebra) si y solo si X es homeomorfo a Y .

El teorema de Gelfand-Naimark "completo" es un resultado para C*-álgebras no conmutativas arbitrarias (abstractas) A , que aunque no es exactamente análogo a la representación de Gelfand, sí proporciona una representación concreta de A como un álgebra de operadores.

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más significativas es la existencia de un cálculo funcional continuo para elementos normales en el C*-álgebra A : un elemento x es normal si y solo si x conmuta con su adjunto x* , o equivalentemente si y solo si genera un C*-álgebra conmutativa C*( x ). Por el isomorfismo de Gelfand aplicado a C*( x ), esto es *-isomorfo a un álgebra de funciones continuas en un espacio localmente compacto. Esta observación conduce casi inmediatamente a:

Teorema . Sea A una C*-álgebra con identidad y x un elemento normal de A . Entonces existe un *-morfismo f → f ( x ) del álgebra de funciones continuas en el espectro σ( x ) en A tal que

• Asigna 1 a la identidad multiplicativa de A ;
• Asigna la función identidad en el espectro a x .

Esto nos permite aplicar funciones continuas a operadores normales acotados en el espacio de Hilbert.

Referencias

1. Charles Rickart (1974), Teoría general de las álgebras de Banach , van Nostrand, pág. 114
2. Kainuth (2009) Un curso de álgebras de Banach conmutativas , pág. 72

• Arveson, W. (1981). Una invitación a las C*-álgebras . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90176-0.
• Bonsall, FF; Duncan, J. (1973). Álgebras normalizadas completas . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
• Conway, JB (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 96. Springer Verlag . ISBN. 0-387-97245-5.
• Wiener, N. (1932). "Teoremas de Tauber". Ann. of Math . II. 33 (1). Anales de Matemáticas: 1–100. doi :10.2307/1968102. JSTOR  1968102.