Conexión Gauss-Manin

En matemáticas , la conexión Gauss-Manin es una conexión en un determinado paquete de vectores sobre un espacio base S de una familia de variedades algebraicas . Las fibras del haz de vectores son los grupos de cohomología de De Rham de las fibras de la familia. Fue introducido por Yuri Manin  (1958) para las curvas S y por Alexander Grothendieck  (1966) en dimensiones superiores. ${\displaystyle V_{s}}$ ${\displaystyle H_{DR}^{k}(V_{s})}$ ${\displaystyle V_{s}}$

Las secciones planas del paquete se describen mediante ecuaciones diferenciales ; la más conocida de ellas es la ecuación de Picard-Fuchs , que surge cuando la familia de variedades se toma como la familia de curvas elípticas . En términos intuitivos, cuando la familia es localmente trivial, las clases de cohomología se pueden trasladar de una fibra de la familia a fibras cercanas, proporcionando el concepto de "sección plana" en términos puramente topológicos. La existencia de la unión se deduce de las secciones planas.

Intuición

Considere un morfismo suave de esquemas sobre la característica 0. Si consideramos estos espacios como espacios analíticos complejos, entonces el teorema de fibración de Ehresmann nos dice que cada fibra es una variedad suave y cada fibra es difeomorfa. Esto nos dice que los grupos de cohomología de De-Rham son todos isomórficos. Podemos usar esta observación para preguntar qué sucede cuando intentamos diferenciar clases de cohomología usando campos vectoriales del espacio base . ${\displaystyle X\to B}$ ${\displaystyle X_{b}=f^{-1}(b)}$ ${\displaystyle H^{k}(X_{b})}$ ${\displaystyle B}$

Considere una clase de cohomología tal que ¿dónde está el mapa de inclusión? Entonces, si consideramos las clases ${\displaystyle \alpha \in H^{k}(X)}$ ${\displaystyle i_{b}^{*}(\alpha )\in H^{k}(X_{b})}$ ${\displaystyle i_{b}\colon X_{b}\to X}$

${\displaystyle \left[i_{b}^{\ast }\left({\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}\alpha }{\partial b_{1}^{i_{1}}\cdots \partial b_{n}^{i_{n}}}}\right)\right]\in H^{k}(X_{b})}$

eventualmente habrá una relación entre ellos, llamada ecuación de Picard-Fuchs . La conexión Gauss-Manin es una herramienta que codifica esta información en una conexión en el paquete de vectores planos construido a partir de . ^[1] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H^{k}(X_{b})}$

Ejemplo

Un ejemplo comúnmente citado es la construcción de Dwork de la ecuación de Picard-Fuchs . Dejar

${\displaystyle V_{\lambda }(x,y,z)}$ser la curva elíptica . ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}-\lambda xyz=0\;}$

Aquí hay un parámetro libre que describe la curva; es un elemento de la línea proyectiva compleja (la familia de hipersuperficies en dimensiones de grado n , definidas de manera análoga, ha sido intensamente estudiada en los últimos años, en relación con el teorema de modularidad y sus extensiones). ^[2] Por lo tanto, el espacio base del paquete se considera la línea proyectiva. Para un espacio fijo en la base, considere un elemento del grupo de cohomología de De Rham asociado. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega _{\lambda }}$

${\displaystyle \omega _{\lambda }\in H_{dR}^{1}(V_{\lambda }).}$

Cada uno de estos elementos corresponde a un período de la curva elíptica. La cohomología es bidimensional. La conexión Gauss-Manin corresponde a la ecuación diferencial de segundo orden

${\displaystyle (\lambda ^{3}-27){\frac {\partial ^{2}\omega _{\lambda }}{\partial \lambda ^{2}}}+3\lambda ^{2}{\frac {\partial \omega _{\lambda }}{\partial \lambda }}+\lambda \omega _{\lambda }=0.}$

Explicación del módulo D

En el marco más abstracto de la teoría del módulo D , la existencia de tales ecuaciones se incluye en una discusión general de la imagen directa .

Ecuaciones "que surgen de la geometría"

Se ha utilizado toda la clase de conexiones Gauss-Manin para intentar formular el concepto de ecuaciones diferenciales que "surgen de la geometría". En relación con la conjetura de la curvatura p de Grothendieck , Nicholas Katz demostró que la clase de conexiones de Gauss-Manin con coeficientes numéricos algebraicos satisface la conjetura. Este resultado está directamente relacionado con el concepto de función G de Siegel de la teoría de números trascendental , para soluciones de funciones meromórficas. La conjetura de Bombieri-Dwork , también atribuida a Yves André , que se da en más de una versión, postula una dirección inversa: soluciones como funciones G , o p -curvatura nilpotente mod p para casi todos los primos p , significa que surge una ecuación de la geometría". ^{[3] [4]}

Ver también

• Conjetura de simetría especular
• Módulo Hodge mixto
• Conexión meromórfica

Referencias

1. "Referencia para la conexión Gauss-Manin". math.stackexchange.com .
2. Katz, Nicolás M. (2009). "Otra mirada a la familia Dwork". Álgebra, aritmética y geometría Vol II (PDF) . Boston: Birkhäuser. págs. 89-126. doi :10.1007/978-0-8176-4747-6_4. ISBN 978-0-8176-4746-9. SEÑOR  2641188.
3. Reiter, Stefan (2002). "Sobre aplicaciones del funtor de convolución media de Katz (Deformación de ecuaciones diferenciales y análisis asintótico)" (PDF) . Repositorio de información de investigación de la Universidad de Kioto .
4. Totaro, Burt (2007). «Euler y la geometría algebraica» (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 44 (4): 541–559. doi : 10.1090/S0273-0979-07-01178-0 . SEÑOR  2338364.

• Kulikov, Valentine (1998), Singularidades y estructuras mixtas de Hodge , Cambridge Tracts in Mathematics, págs.(Ofrece una excelente introducción a las conexiones Gauss-Manin)
• Dimca, Alexandru , Gavillas en topología , págs. 55–57, 206–207(Da un ejemplo de las conexiones Gauss-Manin y su relación con la teoría del módulo D y la correspondencia Riemmann-Hilbert)
• Griffiths, Phillip , Períodos de integrales en variedades algebraicas: resumen de los principales resultados y discusión de problemas abiertos(Da un breve esbozo del teorema de la estructura principal de las conexiones Gauss-Manin)
• Barrientos, Ivan, La conexión Gauss-Manin y los puntos singulares regulares. (PDF)
• Grothendieck, Alexander (1966), "Sobre la cohomología de variedades algebraicas de De Rham", Publications Mathématiques de l'IHÉS , carta a Atiyah, 14 de octubre de 1963, 29 (29): 95–103, doi :10.1007/BF02684807, ISSN  0073-8301, SEÑOR  0199194, S2CID  123434721
• "Conexión Gauss-Manin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Manin, Ju. I. (1958), "Curvas algebraicas sobre campos con diferenciación", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (en ruso), 22 : 737–756, SEÑOR  0103889Traducción al inglés en Manin, Ju. I. (1964) [1958], "Curvas algebraicas sobre campos con diferenciación", traducciones de la American Mathematical Society: 22 artículos sobre álgebra, teoría de números y geometría diferencial, vol. 37, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 59–78, ISBN 978-0-8218-1737-7, SEÑOR  0103889