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Función de imagen directa

En matemáticas , el funtor imagen directa es una construcción en la teoría de haces que generaliza el funtor de secciones globales al caso relativo. Es de importancia fundamental en topología y geometría algebraica . Dado un haz F definido en un espacio topológico X y una función continua f : XY , podemos definir un nuevo haz f F en Y , llamado el haz imagen directa o el haz de empuje hacia adelante de F a lo largo de f , tal que las secciones globales de f F están dadas por las secciones globales de F . Esta asignación da lugar a un funtor f de la categoría de haces en X a la categoría de haces en Y , que se conoce como el funtor imagen directa. Existen construcciones similares en muchos otros contextos algebraicos y geométricos, incluido el de haces cuasi coherentes y haces étale en un esquema .

Definición

Sea f : XY una función continua de espacios topológicos, y sea Sh(–) la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. El funtor de imagen directa

envía un haz F en X a su imagen directa prehaz f F en Y , definida en subconjuntos abiertos U de Y por

Esto resulta ser un haz en Y , y se llama haz de imagen directa o haz de empuje hacia adelante de F a lo largo de f .

Puesto que un morfismo de haces φ: FG en X da lugar a un morfismo de haces f (φ): f ( F ) → f ( G ) en Y de manera obvia, tenemos efectivamente que f es un funtor.

Ejemplo

Si Y es un punto, y f : XY es la única función continua, entonces Sh( Y ) es la categoría Ab de los grupos abelianos, y el funtor imagen directa f : Sh( X ) → Ab es igual al funtor de secciones globales .

Variantes

Si se trata de haces de conjuntos en lugar de haces de grupos abelianos, se aplica la misma definición. De manera similar, si f : ( X , O X ) → ( Y , O Y ) es un morfismo de espacios anillados , obtenemos un funtor imagen directo f : Sh( X , O X ) → Sh( Y , O Y ) de la categoría de haces de O X -módulos a la categoría de haces de O Y -módulos. Además, si f es ahora un morfismo de esquemas cuasi-compactos y cuasi-separados , entonces f conserva la propiedad de ser cuasi-coherente, por lo que obtenemos el funtor imagen directo entre categorías de haces cuasi-coherentes. [1]

Una definición similar se aplica a los haces sobre topoi , como los haces de étale . Allí, en lugar de la preimagen anterior f −1 ( U ), se utiliza el producto de fibras de U y X sobre Y .

Propiedades

.

Imágenes directas superiores

El funtor de imagen directa es exacto a la izquierda , pero normalmente no exacto a la derecha. Por lo tanto, se pueden considerar los funtores derivados a la derecha de la imagen directa. Se denominan imágenes directas superiores y se denotan como R q f .

Se puede demostrar que existe una expresión similar a la anterior para imágenes directas superiores: para un haz F en X , el haz R q f ( F ) es el haz asociado al prehaz

,

donde H q denota cohomología del haz .

En el contexto de la geometría algebraica y de un morfismo de esquemas cuasi-compactos y cuasi-separados, se tiene asimismo el funtor derivado correcto

como un funtor entre las categorías derivadas (ilimitadas) de haces cuasi-coherentes. En esta situación, siempre admite un adjunto derecho . [2] Esto está estrechamente relacionado, pero no es generalmente equivalente a, el funtor de imagen inversa excepcional , a menos que también sea propio .

Véase también

Referencias

  1. ^ "Sección 26.24 (01LA): Funcionalidad para módulos cuasi-coherentes: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 20 de septiembre de 2022 .
  2. ^ "Sección 48.3 (0A9D): Adjunto derecho de pushforward—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 20 de septiembre de 2022 .