Función periódica

Función que repite sus valores a intervalos o periodos regulares

Una ilustración de una función periódica con período. ${\displaystyle P.}$

Una función periódica, también llamada forma de onda periódica (o simplemente onda periódica ), es una función que repite sus valores a intervalos o períodos regulares . La parte repetible de la función o forma de onda se llama ciclo . ^[1] Por ejemplo, las funciones trigonométricas , que se repiten a intervalos de radianes , son funciones periódicas. Las funciones periódicas se utilizan en toda la ciencia para describir oscilaciones , ondas y otros fenómenos que presentan periodicidad . Cualquier función que no sea periódica se llama aperiódica . ${\displaystyle 2\pi }$

Definición

Se dice que una función f es periódica si, para alguna constante P distinta de cero , se cumple que

${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$

para todos los valores de x en el dominio. Una constante P distinta de cero para la que este es el caso se llama período de la función. Si existe una constante P ^{menos positiva [2]} con esta propiedad, se llama período fundamental (también período primitivo , período básico o período primo ). A menudo, "el" período de una función se utiliza para referirse a su período fundamental. Una función con período P se repetirá en intervalos de longitud P , y estos intervalos a veces también se denominan períodos de la función.

Geométricamente, una función periódica puede definirse como una función cuyo gráfico exhibe simetría traslacional , es decir, una función f es periódica con período P si el gráfico de f es invariante bajo traslación en la dirección x por una distancia de P. Esta definición de periodicidad puede extenderse a otras formas y patrones geométricos, así como generalizarse a dimensiones superiores, como teselaciones periódicas del plano. Una secuencia también puede verse como una función definida sobre los números naturales y, para una secuencia periódica, estas nociones se definen en consecuencia.

Ejemplos

Un gráfico de la función seno, que muestra dos períodos completos.

Ejemplos de números reales

La función seno es periódica con período , ya que ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x}$

para todos los valores de . Esta función se repite en intervalos de longitud (ver el gráfico a la derecha). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Los ejemplos cotidianos se dan cuando la variable es el tiempo ; por ejemplo, las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento periódico. El movimiento periódico es aquel en el que las posiciones del sistema se pueden expresar como funciones periódicas, todas con el mismo período.

Para una función sobre números reales o enteros , esto significa que el gráfico entero puede formarse a partir de copias de una porción particular, repetida a intervalos regulares.

Un ejemplo sencillo de función periódica es la función que da la " parte fraccionaria " de su argumento. Su período es 1. En particular, ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=\cdots =0.5}$

La gráfica de la función es la onda de diente de sierra . ${\displaystyle f}$

Una gráfica de y ; ambas funciones son periódicas con período . ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle g(x)=\cos(x)}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Las funciones trigonométricas seno y coseno son funciones periódicas comunes, con período (véase la figura de la derecha). El tema de las series de Fourier investiga la idea de que una función periódica "arbitraria" es una suma de funciones trigonométricas con períodos coincidentes. ${\displaystyle 2\pi }$

Según la definición anterior, algunas funciones exóticas, por ejemplo la función de Dirichlet , también son periódicas; en el caso de la función de Dirichlet, cualquier número racional distinto de cero es un período.

Ejemplos de números complejos

Utilizando variables complejas tenemos la función de periodo común:

${\displaystyle e^{ikx}=\cos kx+i\,\sin kx.}$

Dado que las funciones coseno y seno son periódicas con período , la exponencial compleja está formada por ondas coseno y seno. Esto significa que la fórmula de Euler (arriba) tiene la propiedad de que si es el período de la función, entonces ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L={\frac {2\pi }{k}}.}$

Funciones doblemente periódicas

Una función cuyo dominio son los números complejos puede tener dos periodos inconmensurables sin ser constante. Las funciones elípticas son funciones de este tipo. ("Inconmensurables" en este contexto significa que no son múltiplos reales entre sí).

Propiedades

Las funciones periódicas pueden tomar valores muchas veces. Más específicamente, si una función es periódica con período , entonces para todos en el dominio de y todos los números enteros positivos , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(x+nP)=f(x)}$

Si es una función con período , entonces , donde es un número real distinto de cero tal que está dentro del dominio de , es periódica con período . Por ejemplo, tiene período y, por lo tanto, tendrá período . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(ax)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ax}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle {\frac {P}{a}}}$ ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \sin(5x)}$ ${\textstyle {\frac {2\pi }{5}}}$

Algunas funciones periódicas pueden describirse mediante series de Fourier . Por ejemplo, para las funciones L 2 , el teorema de Carleson establece que tienen una serie de Fourier puntual ( Lebesgue ) convergente casi en todas partes . Las series de Fourier solo se pueden utilizar para funciones periódicas o para funciones en un intervalo acotado (compacto). Si es una función periódica con período que puede describirse mediante una serie de Fourier, los coeficientes de la serie pueden describirse mediante una integral sobre un intervalo de longitud . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Cualquier función que consta únicamente de funciones periódicas con el mismo período también es periódica (con período igual o menor), incluyendo:

• suma, resta, multiplicación y división de funciones periódicas, y
• tomando una potencia o una raíz de una función periódica (siempre que esté definida para todo ). ${\displaystyle x}$

Generalizaciones

Funciones antiperiódicas

Un subconjunto de funciones periódicas es el de las funciones antiperiódicas . Se trata de una función tal que para todo . Por ejemplo, las funciones seno y coseno son -antiperiódicas y -periódicas. Si bien una función -antiperiódica es una función -periódica, la inversa no es necesariamente cierta. ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+P)=-f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 2P}$

Funciones periódicas de Bloch

Una generalización adicional aparece en el contexto de los teoremas de Bloch y la teoría de Floquet , que rigen la solución de varias ecuaciones diferenciales periódicas. En este contexto, la solución (en una dimensión) es típicamente una función de la forma

${\displaystyle f(x+P)=e^{ikP}f(x)~,}$

donde es un número real o complejo (el vector de onda de Bloch o el exponente de Floquet ). Las funciones de esta forma a veces se denominan Bloch-periódicas en este contexto. Una función periódica es el caso especial y una función antiperiódica es el caso especial . Siempre que sea racional, la función también es periódica. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle k=\pi /P}$ ${\displaystyle kP/\pi }$

Espacios cocientes como dominio

En el procesamiento de señales, se encuentra el problema de que las series de Fourier representan funciones periódicas y que las series de Fourier satisfacen teoremas de convolución (es decir, la convolución de las series de Fourier corresponde a la multiplicación de la función periódica representada y viceversa), pero las funciones periódicas no se pueden convolucionar con la definición habitual, ya que las integrales involucradas divergen. Una posible salida es definir una función periódica en un dominio acotado pero periódico. Para este fin, se puede utilizar la noción de espacio cociente :

${\displaystyle {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land y-x\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}}$.

Es decir, cada elemento de es una clase de equivalencia de números reales que comparten la misma parte fraccionaria . Por lo tanto, una función como es una representación de una función 1-periódica. ${\displaystyle {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }\to \mathbb {R} }$

Periodo de cálculo

Considere una forma de onda real que consiste en frecuencias superpuestas, expresadas en un conjunto como razones a una frecuencia fundamental, f: F = 1 ⁄ f  [f ₁ f ₂ f ₃ ... f _N ] donde todos los elementos distintos de cero ≥1 y al menos uno de los elementos del conjunto es 1. Para encontrar el período, T, primero encuentre el mínimo común denominador de todos los elementos en el conjunto. El período se puede encontrar como T = LCD ⁄ f . Considere que para una sinusoide simple, T = 1 ⁄ f . Por lo tanto, el LCD puede verse como un multiplicador de periodicidad.

• Para el conjunto que representa todas las notas de la escala mayor occidental: [1 9 ⁄ 8 5 ⁄ 4 4 ⁄ 3 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 15 ⁄ 8 ] el MCD es 24, por lo tanto T = 24 ⁄ f .
• Para el conjunto que representa todas las notas de una tríada mayor: [1 5 ⁄ 4 3 ⁄ 2 ] el MCD es 4, por lo tanto T = 4 ⁄ f .
• Para el conjunto que representa todas las notas de una tríada menor: [1 6 ⁄ 5 3 ⁄ 2 ] el MCD es 10, por lo tanto T = 10 ⁄ f .

Si no existe un mínimo común denominador, por ejemplo si uno de los elementos anteriores fuera irracional, entonces la onda no sería periódica. ^[4]

Véase también

• Función casi periódica
• Amplitud
• Onda continua
• Tono definido
• Método de la doble esfera de Fourier
• Función doblemente periódica
• Transformada de Fourier para calcular la periodicidad en datos espaciados uniformemente
• Frecuencia
• Espectro de frecuencia
• Ecuación diferencial de Hill
• Análisis espectral de mínimos cuadrados para calcular la periodicidad en datos espaciados de forma desigual
• Secuencia periódica
• Suma periódica
• Onda viajera periódica
• Función cuasiperiódica
• Estacionalidad
• Variación secular
• Longitud de onda
• Lista de funciones periódicas

Referencias

1. "IEC 60050 — Detalles para el número IEV 103-05-08: "ciclo"". Vocabulario Electrotécnico Internacional . Consultado el 20 de noviembre de 2023 .
2. Para algunas funciones, como una función constante o la función de Dirichlet (la función indicadora de los números racionales ), puede no existir un período mínimo positivo (el ínfimo de todos los períodos positivos P es cero).
3. Weisstein, Eric W. "Función antiperiódica". mathworld.wolfram.com . Consultado el 6 de junio de 2024 .
4. Summerson, Samantha R. (5 de octubre de 2009). «Periodicidad, series reales de Fourier y transformadas de Fourier» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 25 de agosto de 2019. Consultado el 24 de marzo de 2018 .

• Ekeland, Ivar (1990). "Uno". Métodos de convexidad en mecánica hamiltoniana . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)]. vol. 19. Berlín: Springer-Verlag. págs.x+247. ISBN 3-540-50613-6.Señor 1051888  .

Enlaces externos

• "Función periódica". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "Función periódica". MathWorld .