Teorema de Fubini

Condiciones para cambiar el orden de integración en el cálculo

En el análisis matemático , el teorema de Fubini caracteriza las condiciones bajo las cuales es posible calcular una integral doble mediante una integral iterada . Fue introducido por Guido Fubini en 1907. El teorema establece que si una función es integrable según el método de Lebesgue en un rectángulo , entonces se puede evaluar la integral doble como una integral iterada: Esta fórmula generalmente no es cierta para la integral de Riemann , pero sí lo es si la función es continua en el rectángulo. En el cálculo multivariable , este resultado más débil a veces también se denomina teorema de Fubini, aunque ya lo conocía Leonhard Euler . ${\displaystyle X\times Y}$ $${\displaystyle \,\iint \limits _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right){\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right){\text{d}}y.}$$

El teorema de Tonelli , introducido por Leonida Tonelli en 1909, es similar pero se aplica a una función medible no negativa en lugar de a una función integrable en su dominio. Los teoremas de Fubini y Tonelli suelen combinarse y forman el teorema de Fubini-Tonelli, que proporciona las condiciones en las que es posible cambiar el orden de integración en una integral iterada.

Un teorema relacionado se denomina a menudo teorema de Fubini para series infinitas , ^[1] aunque se debe a Alfred Pringsheim . ^[2] Afirma que si es una secuencia de números reales de doble índice, y si es absolutamente convergente, entonces ${\textstyle \{a_{m,n}\}_{m=1,n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle \displaystyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}}$

${\displaystyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{m,n}.}$

Aunque el teorema de Fubini para series infinitas es un caso especial del teorema de Fubini más general, no es necesariamente apropiado caracterizar al primero como probado por el segundo porque las propiedades de las medidas necesarias para probar el teorema de Fubini propiamente dicho, en particular la subaditividad de la medida, pueden probarse utilizando el teorema de Fubini para series infinitas. ^[3]

Historia

Leonhard Euler ya conocía en el siglo XVIII un caso especial del teorema de Fubini para funciones continuas sobre el producto de subconjuntos cerrados y acotados de espacios vectoriales reales. En 1904, Henri Lebesgue extendió este resultado a funciones medibles acotadas sobre un producto de intervalos. ^[4] Levi conjeturó que el teorema podía extenderse a funciones que fueran integrables en lugar de acotadas ^{[ cita requerida ]} y Fubini lo demostró en 1907. ^[5] En 1909, Leonida Tonelli presentó una variación del teorema de Fubini que se aplica a funciones no negativas en lugar de a funciones integrables. ^[6]

Medidas del producto

Si y son espacios de medida , existen varias formas naturales de definir una medida de producto en el producto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

En el sentido de la teoría de categorías , los conjuntos medibles en el producto de espacios de medida son los elementos del σ-álgebra generados por los productos , donde es medible en y es medible en . ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$

Una medida μ en X  ×  Y se llama medida de producto si μ ( A  ×  B ) =  μ ₁ ( A ) μ ₂ ( B ) para los subconjuntos mensurables A  ⊂  X y B  ⊂  Y y mide μ ₁ en X y μ ₂ en Y . En general, puede haber muchas medidas de producto diferentes en X  ×  Y . El teorema de Fubini y el teorema de Tonelli requieren condiciones técnicas para evitar esta complicación; el enfoque más común es asumir que todos los espacios de medida son σ-finitos , en cuyo caso hay una única medida de producto en X × Y . Siempre hay una única medida de producto máxima en X  ×  Y , donde la medida de un conjunto medible es el inf de las medidas de los conjuntos que lo contienen que son uniones contables de productos de conjuntos mesurables. La medida del producto máximo se puede construir aplicando el teorema de extensión de Carathéodory a la función aditiva μ tal que μ ( A  ×  B ) =  μ ₁ ( A ) μ ₂ ( B ) en el anillo de conjuntos generados por productos de conjuntos medibles. (El teorema de extensión de Carathéodory da una medida en un espacio de medida que en general contiene más conjuntos medibles que el espacio de medida X  ×  Y , por lo que, estrictamente hablando, la medida debería restringirse al σ-álgebra generada por los productos A  ×  B de subconjuntos medibles de X e Y .)

El producto de dos espacios de medida completos no suele ser completo. Por ejemplo, el producto de la medida de Lebesgue sobre el intervalo unitario I consigo mismo no es la medida de Lebesgue sobre el cuadrado I  ×  I . Existe una variante del teorema de Fubini para medidas completas, que utiliza la completitud del producto de medidas en lugar del producto incompleto.

Para funciones integrables

Supongamos que X e Y son espacios de medida σ-finitos y supongamos que a X  ×  Y se le da la medida del producto (que es única ya que X e Y son σ-finitos). El teorema de Fubini establece que si f es X  ×  Y integrable, lo que significa que f es una función medible y entonces $${\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)<\infty ,}$$ $${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$$

Las dos primeras integrales son integrales iteradas con respecto a dos medidas, respectivamente, y la tercera es una integral con respecto a la medida del producto. Las integrales parciales y no necesitan estar definidas en todas partes, pero esto no importa ya que los puntos donde no están definidas forman un conjunto de medida 0. ${\textstyle \int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y}$ ${\textstyle \int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x}$

Si la integral anterior del valor absoluto no es finita, entonces las dos integrales iteradas pueden tener valores diferentes. Vea a continuación una ilustración de esta posibilidad.

La condición de que X e Y sean σ-finitos es usualmente inofensiva porque casi todos los espacios de medida para los cuales uno desea usar el teorema de Fubini son σ-finitos. El teorema de Fubini tiene algunas extensiones bastante técnicas para el caso cuando no se supone que X e Y sean σ-finitos (Fremlin 2003). La principal complicación adicional en este caso es que puede haber más de una medida de producto en X × Y . El teorema de Fubini continúa siendo válido para la medida de producto máxima pero puede fallar para otras medidas de producto. Por ejemplo, hay una medida de producto y una función medible no negativa f para la cual la integral doble de | f | es cero pero las dos integrales iteradas tienen valores diferentes; vea la sección sobre contraejemplos a continuación para un ejemplo de esto. El teorema de Tonelli y el teorema de Fubini–Tonelli (enunciado a continuación) pueden fallar en espacios no σ-finitos, incluso para la medida de producto máxima.

Teorema de Tonelli para funciones medibles no negativas

El teorema de Tonelli , llamado así en honor aLeonida Tonelli, es un sucesor del teorema de Fubini. La conclusión del teorema de Tonelli es idéntica a la del teorema de Fubini, pero la suposición de quetiene una integral finita se reemplaza por la suposición de quees una función medible no negativa. ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$

El teorema de Tonelli establece que si y son espacios de medida σ-finitos , mientras que es una función medible no negativa, entonces ${\displaystyle (X,A,\mu )}$ ${\displaystyle (Y,B,\nu )}$ ${\displaystyle f:X\times Y\to [0,\infty ]}$ $${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$$

Un caso especial del teorema de Tonelli es el intercambio de las sumas, como en , donde son no negativas para todos los x e y . El quid del teorema es que el intercambio del orden de la suma se cumple incluso si la serie diverge. En efecto, la única forma en que un cambio en el orden de la suma puede cambiar la suma es cuando existen algunas subsecuencias que divergen hacia y otras que divergen hacia . Con todos los elementos no negativos, esto no sucede en el ejemplo indicado. ${\textstyle \sum _{x}\sum _{y}a_{xy}=\sum _{y}\sum _{x}a_{xy}}$ ${\displaystyle a_{xy}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Sin la condición de que los espacios de medida sean σ-finitos, las tres integrales pueden tener valores diferentes. Algunos autores generalizan el teorema de Tonelli a algunos espacios de medida que no son σ-finitos, pero estas generalizaciones a menudo añaden condiciones que reducen inmediatamente el problema al caso σ-finito. Por ejemplo, se podría tomar la σ-álgebra de A × B como la generada por el producto de subconjuntos de medida finita, en lugar de la generada por todos los productos de subconjuntos medibles, aunque esto tiene la consecuencia indeseable de que las proyecciones del producto a sus factores A y B no son medibles. Otra forma es añadir la condición de que el soporte de f esté contenido en una unión numerable de productos de conjuntos de medidas finitas. Fremlin (2003) ofrece algunas extensiones bastante técnicas del teorema de Tonelli a algunos espacios no σ-finitos. Ninguna de estas generalizaciones ha encontrado aplicaciones significativas fuera de la teoría de medidas abstractas, en gran medida porque casi todos los espacios de medidas de interés práctico son σ-finitos.

Teorema de Fubini-Tonelli

Combinando el teorema de Fubini con el teorema de Tonelli se obtiene el teorema de Fubini-Tonelli. A menudo llamado simplemente teorema de Fubini, establece que si y son espacios de medida σ-finitos , y si es una función medible, entonces Además, si cualquiera de estas integrales es finita, entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}|f(x,y)|\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)}$$ $${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$$

El valor absoluto de en las condiciones anteriores se puede reemplazar por la parte positiva o negativa de ; estas formas incluyen el teorema de Tonelli como un caso especial, ya que la parte negativa de una función no negativa es cero y, por lo tanto, tiene una integral finita. De manera informal, todas estas condiciones indican que la integral doble de está bien definida, aunque posiblemente sea infinita. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

La ventaja del teorema de Fubini-Tonelli sobre el de Fubini es que las integrales repetidas de pueden ser más fáciles de estudiar que la integral doble. Como en el teorema de Fubini, las integrales simples pueden no estar definidas en un conjunto de medida 0. ${\displaystyle |f|}$

Para medidas completas

Las versiones de los teoremas de Fubini y Tonelli anteriores no se aplican a la integración en el producto de la línea real consigo misma con medida de Lebesgue. El problema es que la medida de Lebesgue en no es el producto de la medida de Lebesgue en consigo misma, sino más bien la completitud de ésta: un producto de dos espacios de medida completos y, en general, no es completo. Por esta razón, a veces se utilizan versiones del teorema de Fubini para medidas completas: en términos generales, se reemplazan todas las medidas con sus compleciones. Las diversas versiones del teorema de Fubini son similares a las versiones anteriores, con las siguientes pequeñas diferencias: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• En lugar de tomar un producto de dos espacios de medida, se toma la completitud de algún producto. ${\displaystyle X\times Y}$
• Si es medible al completarse, entonces sus restricciones a líneas verticales u horizontales pueden no ser mensurables para un subconjunto de líneas de medida cero, por lo que hay que tener en cuenta la posibilidad de que las integrales verticales u horizontales no estén definidas en un conjunto de medida 0 porque implican la integración de funciones no mensurables. Esto no supone mucha diferencia, porque ya pueden estar indefinidas debido a que las funciones no son integrables. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times Y}$
• En general, también se supone que las medidas de y son completas; de lo contrario, las dos integrales parciales a lo largo de líneas verticales u horizontales pueden estar bien definidas pero no ser mensurables. Por ejemplo, si es la función característica de un producto de un conjunto medible y un conjunto no medible contenido en un conjunto de medida 0, entonces su integral única está bien definida en todas partes pero no es medible. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Pruebas

Las demostraciones de los teoremas de Fubini y Tonelli son necesariamente algo técnicas, ya que deben utilizar una hipótesis relacionada con la σ-finitez . La mayoría de las demostraciones implican la construcción de los teoremas completos mediante su demostración para funciones cada vez más complicadas, con los pasos que se indican a continuación.

1. Utilice el hecho de que la medida del producto es multiplicativa para rectángulos para demostrar los teoremas de las funciones características de los rectángulos.
2. Utilice la condición de que los espacios sean σ-finitos (o alguna condición relacionada) para demostrar el teorema de las funciones características de los conjuntos mensurables. Esto también cubre el caso de funciones mensurables simples (funciones mensurables que toman solo un número finito de valores).
3. Utilice la condición de que las funciones sean mensurables para demostrar los teoremas de funciones mensurables positivas aproximándolas mediante funciones mensurables simples. Esto demuestra el teorema de Tonelli.
4. Utilice la condición de que las funciones sean integrables para escribirlas como la diferencia de dos funciones integrables positivas y aplique el teorema de Tonelli a cada una de ellas. Esto demuestra el teorema de Fubini.

Integrales de Riemann

Para las integrales de Riemann , el teorema de Fubini se demuestra refinando las particiones a lo largo del eje x y del eje y para crear una partición conjunta de la forma , que es una partición sobre . Esto se utiliza para demostrar que las integrales dobles de cualquier orden son iguales a la integral sobre . ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]\times [y_{j},y_{j+1}]}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Contraejemplos

Los siguientes ejemplos muestran cómo el teorema de Fubini y el teorema de Tonelli pueden fallar si se omite alguna de sus hipótesis.

Fallo del teorema de Tonelli para espacios no σ-finitos

Supóngase que X es el intervalo unitario con los conjuntos medibles de Lebesgue y la medida de Lebesgue, e Y es el intervalo unitario con todos los subconjuntos medibles y la medida de conteo , de modo que Y no es σ-finito. Si f es la función característica de la diagonal de X × Y , entonces la integración de f a lo largo de X da la función 0 en Y , pero la integración de f a lo largo de Y da la función 1 en X . Por lo tanto, las dos integrales iteradas son diferentes. Esto muestra que el teorema de Tonelli puede fallar para espacios que no sean σ-finitos sin importar qué medida de producto se elija. Ambas medidas son descomponibles , lo que muestra que el teorema de Tonelli falla para medidas descomponibles (que son ligeramente más generales que las medidas σ-finitas).

Fallo del teorema de Fubini para medidas de producto no máximas

El teorema de Fubini se cumple para espacios incluso si no se supone que sean σ-finitos, siempre que se utilice la medida del producto máximo. En el ejemplo anterior, para la medida del producto máximo, la diagonal tiene una medida infinita, por lo que la integral doble de | f | es infinita, y el teorema de Fubini se cumple sin ningún problema. Sin embargo, si damos a X × Y la medida del producto de modo que la medida de un conjunto sea la suma de las medidas de Lebesgue de sus secciones horizontales, entonces la integral doble de | f | es cero, pero las dos integrales iteradas siguen teniendo valores diferentes. Esto da un ejemplo de una medida del producto en la que el teorema de Fubini falla.

Esto da un ejemplo de dos medidas de producto diferentes en el mismo producto de dos espacios de medida. Para los productos de dos espacios de medida σ-finitos, solo hay una medida de producto.

Fallo del teorema de Tonelli para funciones no medibles

Supóngase que X es el primer ordinal incontable, con la medida finita donde los conjuntos medibles son o bien contables (con medida 0) o bien los conjuntos de complemento contable (con medida 1). El subconjunto (no medible) E de X × X dado por pares ( x , y ) con x < y es contable en cada línea horizontal y tiene complemento contable en cada línea vertical. Si f es la función característica de E entonces las dos integrales iteradas de f están definidas y tienen valores diferentes 1 y 0. La función f no es medible. Esto demuestra que el teorema de Tonelli puede fallar para funciones no medibles.

Fallo del teorema de Fubini para funciones no medibles

Una variación del ejemplo anterior muestra que el teorema de Fubini puede fallar para funciones no medibles incluso si | f | es integrable y ambas integrales repetidas están bien definidas: si tomamos f como 1 en E y –1 en el complemento de E , entonces | f | es integrable en el producto con integral 1, y ambas integrales repetidas están bien definidas, pero tienen valores diferentes 1 y –1.

Suponiendo la hipótesis del continuo, se puede identificar X con el intervalo unitario I , por lo que hay una función no negativa acotada en I × I cuyas dos integrales iteradas (usando la medida de Lebesgue) están definidas pero son desiguales. Este ejemplo fue encontrado por Wacław Sierpiński  (1920). ^[7] Las versiones más fuertes del teorema de Fubini sobre un producto de dos intervalos unitarios con medida de Lebesgue, donde ya no se supone que la función sea medible sino simplemente que las dos integrales iteradas están bien definidas y existen, son independientes de los axiomas estándar de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos . Tanto la hipótesis del continuo como el axioma de Martin implican que existe una función en el cuadrado unitario cuyas integrales iteradas no son iguales, mientras que Harvey Friedman  (1980) demostró que es consistente con ZFC que se cumple un teorema fuerte de tipo Fubini para [0,1], y siempre que existan las dos integrales iteradas son iguales. ^[8] Véase Lista de enunciados indecidibles en ZFC .

Fallo del teorema de Fubini para funciones no integrables

El teorema de Fubini nos dice que (para funciones medibles en un producto de espacios de medida σ-finitos) si la integral del valor absoluto es finita, entonces el orden de integración no importa; si integramos primero respecto de x y luego respecto de y , obtenemos el mismo resultado que si integramos primero respecto de y y luego respecto de x . El supuesto de que la integral del valor absoluto es finita es " integrabilidad de Lebesgue ", y sin ella las dos integrales repetidas pueden tener valores diferentes.

Un ejemplo sencillo para demostrar que las integrales repetidas pueden ser diferentes en general es tomar los dos espacios de medida como los números enteros positivos y tomar la función f ( x , y ) como 1 si x = y , −1 si x  =  y  + 1 y 0 en caso contrario. Entonces las dos integrales repetidas tienen valores diferentes 0 y 1.

Otro ejemplo es el siguiente para la función Las integrales iteradas $${\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\,\partial y}}\arctan(y/x).}$$

$${\displaystyle \int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x={\frac {\pi }{4}}}$$y tienen valores diferentes. La integral doble correspondiente no converge de manera absoluta (en otras palabras, la integral del valor absoluto no es finita): $${\displaystyle \int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {\pi }{4}}}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right|\,{\text{d}}y\,{\text{d}}x=\infty .}$$

Teorema de Fubini en multiplicaciones de integrales

Producto de dos integrales

Para el producto de dos integrales con límite inferior cero y límite superior común tenemos la siguiente fórmula:

Prueba

Sean y son funciones primitivas de las funciones y respectivamente, que pasan por el origen: ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle w(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x=V(u),\quad \quad \int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x=W(u)}$

Por lo tanto, tenemos

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=V(u)W(u)}$$

Por la regla del producto , la derivada del lado derecho es

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigl [}V(x)W(x){\bigr ]}=V(x)w(x)+v(x)W(x)}$$

y al integrar tenemos:

$${\displaystyle \int _{0}^{u}V(x)w(x)+v(x)W(x)\,\mathrm {d} x=V(u)W(u)}$$

Así, la ecuación desde el principio la obtenemos:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}V(x)w(x)+v(x)W(x)\,\mathrm {d} x}$$

Ahora, introducimos un segundo parámetro de integración para la descripción de las antiderivadas y : ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle W(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x\,v(xy)\,\mathrm {d} y={\biggl [}V(xy){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=V(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x\,w(xy)\,\mathrm {d} y={\biggl [}W(xy){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=W(x)}$

Por inserción aparece una integral doble:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}{\biggl [}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}w(x)+v(x){\biggl [}\int _{0}^{1}x\,w(xy)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}$$

Las funciones que son ajenas al parámetro de integración en cuestión se pueden importar a la función interna como un factor:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}{\biggl [}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,w(x)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}+{\biggl [}\int _{0}^{1}x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}$$

En el siguiente paso, se aplica la regla de la suma a las integrales:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}$$

Y finalmente, utilizamos el teorema de Fubini

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{u}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$$

Ejemplos de cálculo

Integral de arcoseno

La integral del arcoseno, también llamada integral del seno inverso, es una función que no se puede representar mediante funciones elementales . Sin embargo, la integral del arcoseno sí tiene algunos valores de función elemental. Estos valores se pueden determinar integrando la derivada de la integral del arcoseno, que es el cociente del arcoseno dividido por la función identidad , el arcoseno cardinalizado. La integral del arcoseno es exactamente la antiderivada original del arcoseno cardinalizado. Para integrar esta función, el teorema de Fubini sirve como clave, ya que desbloquea la integral intercambiando el orden de los parámetros de integración. Cuando se aplica correctamente, el teorema de Fubini conduce directamente a una función antiderivada que se puede integrar de forma elemental, que se muestra en cian en la siguiente cadena de ecuaciones:

$${\displaystyle \operatorname {Si} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\arcsin(x)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}=}$$ $${\displaystyle ={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\ ,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}{\color {blue}\,\mathrm {d} x}{\color {green}\,\mathrm {d} y}=\int _{0}^{1}{\frac {\pi \,y}{2{\sqrt {1-y^{2}}}(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,)}}\,\mathrm {d} y=}$$ $${\displaystyle ={\color {RoyalBlue}{\biggl \{}{\frac {\pi }{2}}\ln {\bigl [}2{\bigl (}1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\biggr \}}_{y=0}^{y=1}}={\frac {\pi }{2}}\ln(2)}$$

Función Eta de Dirichlet

La serie de Dirichlet define la función Eta de Dirichlet de la siguiente manera:

$${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{6^{s}}}\pm \cdots }$$

El valor η(2) es igual a π²/12 y esto se puede demostrar con el teorema de Fubini ^{[ dudoso – discutir ]} de esta manera:

$${\displaystyle \eta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\ln(x+1)\,\mathrm {d} x}$$

La integral del producto de la función recíproca por el logaritmo natural de la función sucesora es una integral polilogarítmica y no se puede representar mediante expresiones de funciones elementales. El teorema de Fubini vuelve a desbloquear esta integral de forma combinatoria. Esto funciona llevando a cabo una doble integración sobre la base del teorema de Fubini utilizado en una combinación aditiva de funciones fraccionariamente racionales con fracciones de denominadores lineales y cuadrados:

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\ln(x+1)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}=}$$

$${\displaystyle ={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=\int _{0}^{1}{\frac {2\arccos(y)}{3{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle ={\color {RoyalBlue}{\biggl [}{\frac {\pi ^{2}}{12}}-{\frac {1}{3}}\arccos(y)^{2}{\biggr ]}_{y=0}^{y=1}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$$

Esta forma de calcular la integral del logaritmo natural cardinalizado de la función sucesora fue descubierta por James Harper y se describe en su obra Otra prueba simple de 1 + 1/2² + 1/3² + ... = π²/6 con precisión.

La antiderivada original, mostrada aquí en cian, conduce directamente al valor de η(2):

${\displaystyle \eta (2)={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

Integrales de integrales elípticas completas

La integral impropia de la Integral Elíptica Completa de primer tipo K toma con exactitud el valor del doble de la constante de Catalan . La antiderivada de esa integral K pertenece a los llamados Polilogaritmos Elípticos . La constante de Catalan sólo se puede obtener mediante la Integral de Arcotangente , que resulta de la aplicación del teorema de Fubini:

$${\displaystyle \int _{0}^{1}K(x)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=}$$

$${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(y)}{y{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y={\color {RoyalBlue}{\biggl \{}2\,\mathrm {Ti} _{2}{\bigl [}y{\bigl (}1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\biggr \}}_{y=0}^{y=1}}=2\,\mathrm {Ti} _{2}(1)=2\beta (2)=2\,C}$$

Esta vez, la expresión ahora en tono de color cian real no es elemental, sino que conduce directamente al valor igualmente no elemental de la “constante catalana” utilizando la Integral de Arcotangente, también llamada Integral de Tangente Inversa.

El mismo procedimiento también funciona para la Integral Elíptica Completa de segundo tipo E de la siguiente manera:

$${\displaystyle \int _{0}^{1}E(x)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=}$$ $${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin(y)}{2y{\sqrt {1-y^{2}}}}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} y={\color {RoyalBlue}{\biggl \{}\mathrm {Ti} _{2}{\bigl [}y{\bigl (}1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}+{\frac {1}{2}}y{\biggr \}}_{y=0}^{y=1}}=\mathrm {Ti} _{2}(1)+{\frac {1}{2}}=\beta (2)+{\frac {1}{2}}=C+{\frac {1}{2}}}$$

Doble ejecución para la Función Integral Exponencial

La constante de Euler-Mascheroni surge como la Integral Impropia de cero a infinito en la integración sobre el producto del Logaritmo Natural negativo y el Recíproco exponencial . Pero también es la integral impropia dentro de los mismos límites sobre la Diferencia Cardinalizada del recíproco de la Función Sucesora y el Recíproco exponencial :

$${\displaystyle \gamma ={\color {WildStrawberry}\int _{0}^{\infty }{\frac {-\ln(x)}{\exp(x)}}\,\mathrm {d} x}={\color {cornflowerblue}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x}}$$

La concordancia de estas dos integrales se puede demostrar ejecutando sucesivamente el Teorema de Fubini dos veces y llevando esta doble ejecución de ese teorema sobre la identidad a una integral de la Función Integral Exponencial complementaria :

Así se define la función exponencial integral complementaria:

${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)=\exp(-x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y+1}}\,\mathrm {d} y}$

Esta es la derivada de esa función:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {E} _{1}(x)=-{\frac {1}{x}}\exp(-x)}$

Primera implementación del teorema de Fubini:

Esta integral de una construcción de la función exponencial integral conduce a la integral del logaritmo natural negativo y el recíproco exponencial:

$${\displaystyle \gamma ={\color {WildStrawberry}\int _{0}^{\infty }-\exp(-y)\ln(y)\,\mathrm {d} y}={\color {green}\int _{0}^{\infty }}{\color {blue}\int _{0}^{\infty }}\exp(-y){\bigl (}{\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}{\bigr )}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=}$$ $${\displaystyle ={\color {blue}\int _{0}^{\infty }}{\color {green}\int _{0}^{\infty }}\exp(-y){\bigl (}{\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}{\bigr )}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}={\color {Dandelion}\int _{0}^{\infty }{\biggl [}\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}}$$

Segunda implementación del teorema de Fubini:

La integral descrita anteriormente a partir de la diferencia cardinalizada descrita conduce a la integral mencionada anteriormente a partir de la función Integral Exponencial:

$${\displaystyle \gamma ={\color {Dandelion}\int _{0}^{\infty }{\biggl [}\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}={\color {blue}\int _{0}^{\infty }}{\color {blueviolet}\int _{0}^{\infty }}\exp(-xz){\biggl [}{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z){\biggr ]}\,{\color {blueviolet}\mathrm {d} z}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}=}$$ $${\displaystyle ={\color {blueviolet}\int _{0}^{\infty }}{\color {blue}\int _{0}^{\infty }}\exp(-xz){\biggl [}{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z){\biggr ]}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {blueviolet}\mathrm {d} z}={\color {cornflowerblue}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{z}}{\biggl [}{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z){\biggr ]}\,\mathrm {d} z}}$$

En principio, los productos de funciones exponenciales y funciones racionales fraccionarias se pueden integrar de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\frac {\exp(-ax)}{bx+c}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}-{\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl [}{\frac {a}{b}}{\bigl (}bx+c{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-ax)}{bx+c}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}-{\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl [}{\frac {a}{b}}{\bigl (}bx+c{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }={\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}}$$

De esta manera se demuestra con precisión, utilizando dos veces el teorema de Fubini , que estas integrales son de hecho idénticas entre sí.

Integral de la curva de Gauss

Ahora queda establecida esta fórmula para elevar al cuadrado una integral:

Esta cadena de ecuaciones se puede generar en consecuencia:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\exp(-x^{2})\exp(-x^{2}y^{2})\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\exp {\bigl [}-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl \{}{\frac {1}{y^{2}+1}}-{\frac {1}{y^{2}+1}}\exp {\biggl [}-x^{2}(y^{2}+1){\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}$$

Para la integral de la curva de Gauss se puede generar este valor:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$

Dilogaritmo de uno

Ahora se plantea nuevamente otra fórmula para elevar al cuadrado una integral:

Así que esta cadena de ecuaciones se aplica como un nuevo ejemplo:

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{4}}=\arcsin(1)^{2}={\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {2x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-x^{2}y^{2})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} (y)-{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} {\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}{\biggr )}{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} (y)\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle ={\biggl [}2\,\mathrm {Li} _{2}(y)-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}={\frac {3}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}(1)}$$

Para el Dilogaritmo de uno aparece este valor:

${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

De esta manera se puede resolver el problema de Basilea .

Relación de Legendre

En este siguiente ejemplo, se utiliza nuevamente la forma más generalizada de la ecuación como molde:

Las siguientes integrales se pueden calcular utilizando las integrales elípticas incompletas de primer y segundo tipo como antiderivadas y estas integrales tienen valores que se pueden representar con integrales elípticas completas :

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=}$

$${\displaystyle {\biggl \{}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}}$$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=}$

$${\displaystyle {\biggl \{}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}-{\sqrt {2}}\,E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}}$$

Insertando estas dos integrales en la forma anterior obtenemos:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl \{}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}{\biggl [}{\text{artanh}}{\bigl (}y^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\,\mathrm {artanh} {\bigl (}y^{2}{\bigr )}\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle ={\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2\,y}}\,\mathrm {artanh} {\bigl (}y^{2}{\bigr )}{\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}$$

Para el caso especial lemniscático de la relación de Legendre , surge este resultado:

${\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}}$

Véase también

• Principio de Cavalieri  – Concepto geométrico que relaciona área y volumen – un caso particular temprano
• Fórmula de Coarea : generalización a la teoría de la medida geométrica
• Teorema de desintegración : teorema de la teoría de la medida: una contraposición restringida al teorema de Fubini
• Teorema de Fubini para distribuciones  : término de análisis matemático similar a función generalizadaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de Kuratowski-Ulam : análogo del teorema de Fubini para segundos espacios de Baire contables arbitrarios
• Simetría de las derivadas segundas : análogo a la diferenciación
• La pesadilla de Fubini  : aparente violación del teorema de Fubini

Referencias

1. Tao, Terence (2016), Análisis I , Springer, pág. 188, ISBN 9789811017896
2. ET Whittaker; GN Watson (1902). Un curso de análisis moderno . Cambridge University Press.
3. Royden, Halsey (2010), Análisis real , Prentice Hall, pág. 34, ISBN 9780131437470
4. Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctionsprimitives, París: Gauthier-Villars
5. Fubini, Guido (1907), "Sugli integrali multiplicai", Rom. Acc. L. Rend. (5) , 16 (1): 608–614, JFM  38.0343.02Reimpreso en Fubini, G. (1958), Opere scelte , vol. 2, Cremonese, págs. 243-249
6. Tonelli, Leonida (1909). "Sull'integrazione per parti". Atti della Accademia Nazionale dei Lincei . (5). 18 (2): 246–253.
7. Sierpiński, Wacław (1920), "Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement", Fundamenta Mathematicae , 1 (1): 112–115, doi : 10.4064/fm-1-1-112-115
8. Friedman, Harvey (1980), "Un teorema de Fubini-Tonelli consistente para funciones no mensurables", Illinois Journal of Mathematics , 24 (3): 390–395, doi : 10.1215/ijm/1256047607 , MR  0573474

Lectura adicional

• Billingsley, Patrick (1995), "La medida del producto y el teorema de Fubini", Probability and Measure , Nueva York: Wiley, págs. 231-240, ISBN 0-471-00710-2
• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Análisis real , Birkhäuser Textos avanzados: Basler Lehrbücher, Boston: Birkhäuser, doi :10.1007/978-1-4612-0117-5, ISBN 0-8176-4231-5, Sr.  1897317
• Fremlin, DH (2003), Teoría de la medida , vol. 2, Colchester: Torres Fremlin, ISBN 0-9538129-2-8, Sr.  2462280
• Weir, Alan J. (1973), "Teorema de Fubini", Integración y medida de Lebesgue , Cambridge: Cambridge University Press, págs. 83–92, ISBN 0-521-08728-7

Enlaces externos

• Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Teorema de Fubini", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press