Cometa (geometría)

Cuadrilátero simétrico en diagonal

En la geometría euclidiana , una cometa es un cuadrilátero con simetría de reflexión a través de una diagonal . Debido a esta simetría, una cometa tiene dos ángulos iguales y dos pares de lados adyacentes de igual longitud. Las cometas también se conocen como deltoides , ^[1] pero la palabra deltoide también puede referirse a una curva deltoidea , un objeto geométrico no relacionado que a veces se estudia en conexión con los cuadriláteros. ^{[2] [3]} Una cometa también puede llamarse dardo , ^[4] particularmente si no es convexa. ^{[5] [6]}

Toda cometa es un cuadrilátero ortodiagonal (sus diagonales forman ángulos rectos) y, cuando es convexa, un cuadrilátero tangencial (sus lados son tangentes a un círculo inscrito). Las cometas convexas son exactamente los cuadriláteros que son a la vez ortodiagonales y tangenciales. Incluyen como casos especiales las cometas rectas , con dos ángulos rectos opuestos; los rombos , con dos ejes de simetría diagonales; y los cuadrados , que también son casos especiales tanto de cometas rectas como de rombos.

El cuadrilátero con la mayor razón entre el perímetro y el diámetro es una cometa, con ángulos de 60°, 75° y 150°. Las cometas de dos formas (una convexa y otra no convexa) forman los prototipos de una de las formas del mosaico de Penrose . Las cometas también forman las caras de varios poliedros y teselaciones con simetría de caras , y se han estudiado en relación con el billar exterior , un problema en las matemáticas avanzadas de los sistemas dinámicos .

Definición y clasificación

Cometas convexas y cóncavas

Una cometa es un cuadrilátero con simetría de reflexión en una de sus diagonales. Equivalentemente, es un cuadrilátero cuyos cuatro lados se pueden agrupar en dos pares de lados adyacentes de igual longitud. ^{[1] [7]} Una cometa se puede construir a partir de los centros y puntos de cruce de dos círculos cualesquiera que se intersequen . ^[8] Las cometas como se describen aquí pueden ser convexas o cóncavas , aunque algunas fuentes restringen la palabra cometa a las cometas convexas. Un cuadrilátero es una cometa si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• Los cuatro lados se pueden dividir en dos pares de lados adyacentes de igual longitud. ^[7]
• Una diagonal cruza el punto medio de la otra diagonal en un ángulo recto, formando su bisectriz perpendicular . ^[9] (En el caso cóncavo, la línea que pasa por una de las diagonales biseca a la otra).
• Una diagonal es una línea de simetría. Divide el cuadrilátero en dos triángulos congruentes que son imágenes especulares entre sí. ^[7]
• Una diagonal biseca ambos ángulos en sus dos extremos. ^[7]

Los cuadriláteros de cometa reciben su nombre de las cometas que vuelan y arrastran el viento , que a menudo tienen esta forma ^{[10] [11]} y que a su vez reciben su nombre de un pájaro que flota y el sonido que produce. ^{[12] [13]} Según Olaus Henrici , el nombre "cometa" fue dado a estas formas por James Joseph Sylvester . ^[14]

Los cuadriláteros se pueden clasificar jerárquicamente , lo que significa que algunas clases de cuadriláteros incluyen otras clases, o particionalmente , lo que significa que cada cuadrilátero está en una sola clase. Clasificados jerárquicamente, las cometas incluyen los rombos (cuadriláteros con cuatro lados iguales) y los cuadrados . Todas las cometas equiláteras son rombos, y todas las cometas equiangulares son cuadrados. Cuando se clasifican particionalmente, los rombos y los cuadrados no serían cometas, porque pertenecen a una clase diferente de cuadriláteros; de manera similar, las cometas rectas analizadas a continuación no serían cometas. El resto de este artículo sigue una clasificación jerárquica; los rombos, los cuadrados y las cometas rectas se consideran cometas. Al evitar la necesidad de considerar casos especiales, esta clasificación puede simplificar algunos hechos sobre las cometas. ^[15]

Al igual que las cometas, un paralelogramo también tiene dos pares de lados de igual longitud, pero son opuestos entre sí en lugar de adyacentes. Cualquier cuadrilátero que no se cruza consigo mismo y que tenga un eje de simetría debe ser o bien una cometa, con un eje de simetría diagonal; o bien un trapezoide isósceles , con un eje de simetría que pase por los puntos medios de dos lados. Estos incluyen como casos especiales el rombo y el rectángulo respectivamente, y el cuadrado, que es un caso especial de ambos. ^[1] Los cuadriláteros que se cruzan consigo mismos incluyen otra clase de cuadriláteros simétricos, los antiparalelogramos . ^[16]

Casos especiales

Las cometas rectas tienen dos ángulos rectos opuestos . ^{[15] [16]} Las cometas rectas son exactamente las cometas que son cuadriláteros cíclicos , lo que significa que hay un círculo que pasa por todos sus vértices. ^[17] Los cuadriláteros cíclicos pueden definirse de manera equivalente como los cuadriláteros en los que dos ángulos opuestos son suplementarios (suman 180°); si un par es suplementario, el otro también lo es. ^[9] Por lo tanto, las cometas rectas son las cometas con dos ángulos suplementarios opuestos, para cualquiera de los dos pares opuestos de ángulos. Debido a que las cometas rectas circunscriben un círculo y están inscritas en otro círculo, son cuadriláteros bicéntricos (en realidad tricéntricos, ya que también tienen un tercer círculo externamente tangente a las extensiones de sus lados ). ^[16] Si los tamaños de un círculo inscrito y uno circunscrito son fijos, la cometa recta tiene el área más grande de cualquier cuadrilátero atrapado entre ellos. ^[18]

Entre todos los cuadriláteros, la figura que tiene la mayor razón entre su perímetro y su diámetro (distancia máxima entre dos puntos cualesquiera) es una cometa equidiagonal con ángulos de 60°, 75°, 150°, 75°. Sus cuatro vértices se encuentran en las tres esquinas y en uno de los puntos medios de los lados del triángulo de Reuleaux . ^{[19] [20]} Cuando una cometa equidiagonal tiene longitudes de lados menores o iguales a sus diagonales, como esta o el cuadrado, es uno de los cuadriláteros con la mayor razón entre el área y el diámetro . ^[21]

Una cometa con tres ángulos de 108° y un ángulo de 36° forma la carcasa convexa del laúd de Pitágoras , un fractal hecho de pentagramas anidados . ^[22] Los cuatro lados de esta cometa se encuentran en cuatro de los lados de un pentágono regular , con un triángulo dorado pegado en el quinto lado. ^[16]

Parte de un mosaico aperiódico con prototipos hechos a partir de ocho cometas

Sólo hay ocho polígonos que pueden teselar el plano de tal manera que al reflejar cualquier teselación a través de cualquiera de sus bordes se produzca otra teselación; esta disposición se denomina teselación de bordes . Uno de ellos es un teselado por una cometa recta, con ángulos de 60°, 90° y 120°. Produce el teselado trihexagonal deltoidal (véase § Teselados y poliedros). ^[23] Un prototipo de teselado hecho con ocho de estas cometas tesela el plano sólo de forma aperiódica , clave para una supuesta solución del problema de Einstein . ^[24]

En la geometría no euclidiana , una cometa puede tener tres ángulos rectos y un ángulo no recto, formando un caso especial de cuadrilátero de Lambert . El cuarto ángulo es agudo en la geometría hiperbólica y obtuso en la geometría esférica . ^[25]

Propiedades

Diagonales, ángulos y área

Toda cometa es un cuadrilátero ortodiagonal , lo que significa que sus dos diagonales forman ángulos rectos entre sí. Además, una de las dos diagonales (el eje de simetría) es la bisectriz perpendicular de la otra, y también es la bisectriz angular de los dos ángulos que la unen. ^[1] Debido a su simetría, los otros dos ángulos de la cometa deben ser iguales. ^{[10] [11]} El eje de simetría diagonal de una cometa convexa la divide en dos triángulos congruentes ; la otra diagonal la divide en dos triángulos isósceles . ^[1]

Como es cierto de manera más general para cualquier cuadrilátero ortodiagonal, el área de una cometa se puede calcular como la mitad del producto de las longitudes de las diagonales y : ^[10] Alternativamente, el área se puede calcular dividiendo la cometa en dos triángulos congruentes y aplicando la fórmula SAS para su área. Si y son las longitudes de dos lados de la cometa, y es el ángulo entre ellos, entonces el área es ^[26] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle A={\frac {p\cdot q}{2}}.}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \displaystyle A=ab\cdot \sin \theta .}$$

Círculo inscrito

Dos círculos tangentes a los lados y a los lados prolongados de una cometa convexa (arriba), una cometa no convexa (centro) y un antiparalelogramo (abajo). Las cuatro líneas que pasan por los lados de cada cuadrilátero son bitangentes de los círculos.

Toda cometa convexa es también un cuadrilátero tangente , un cuadrilátero que tiene un círculo inscrito . Es decir, existe un círculo que es tangente a los cuatro lados. Además, si una cometa convexa no es un rombo, existe un círculo fuera de la cometa que es tangente a las prolongaciones de los cuatro lados; por lo tanto, toda cometa convexa que no sea un rombo es un cuadrilátero ex-tangente . Las cometas convexas que no son rombos son exactamente los cuadriláteros que son a la vez tangentes y ex-tangentes. ^[16] Para cada cometa cóncava existen dos círculos tangentes a dos de los lados y a las prolongaciones de los otros dos: uno es interior a la cometa y toca los dos lados opuestos al ángulo cóncavo, mientras que el otro círculo es exterior a la cometa y toca a la cometa en las dos aristas incidentes al ángulo cóncavo. ^[27]

Para una cometa convexa con longitudes diagonales y y longitudes laterales y , el radio del círculo inscrito es y el radio del círculo ex-tangencial es ^[16] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle r={\frac {pq}{2(a+b)}},}$$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle \rho ={\frac {pq}{2|a-b|}}.}$$

Un cuadrilátero tangencial también es una cometa si y sólo si se cumple alguna de las siguientes condiciones: ^[28]

• El área es la mitad del producto de las diagonales .
• Las diagonales son perpendiculares . (Por lo tanto, las cometas son exactamente los cuadriláteros que son a la vez tangenciales y ortodiagonales ).
• Los dos segmentos de línea que conectan puntos de tangencia opuestos tienen la misma longitud.
• Las longitudes de las tangentes , distancias desde un punto de tangencia a un vértice adyacente del cuadrilátero, son iguales en dos vértices opuestos del cuadrilátero. (En cada vértice, hay dos puntos de tangencia adyacentes, pero están a la misma distancia entre sí desde el vértice, por lo que cada vértice tiene una única longitud de tangente).
• Los dos bimedianos , segmentos de línea que conectan puntos medios de bordes opuestos, tienen la misma longitud.
• Los productos de las longitudes de lados opuestos son iguales.
• El centro del círculo inscrito se encuentra en una línea de simetría que también es una diagonal.

Si las diagonales de un cuadrilátero tangencial se intersecan en , y los círculos inscritos de los triángulos , , , tienen radios , , , y respectivamente, entonces el cuadrilátero es una cometa si y solo si ^[28] Si los círculos exscritos de los mismos cuatro triángulos opuestos al vértice tienen radios , , , y respectivamente, entonces el cuadrilátero es una cometa si y solo si ^[28] ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABP}$ ${\displaystyle BCP}$ ${\displaystyle CDP}$ ${\displaystyle DAP}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle r_{4}}$ $${\displaystyle r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}.}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{3}}$ ${\displaystyle R_{4}}$ $${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.}$$

Dualidad

Una cometa y su trapezoide isósceles doble

Las cometas y los trapecios isósceles son duales entre sí, lo que significa que existe una correspondencia entre ellos que invierte la dimensión de sus partes, tomando vértices a lados y lados a vértices. Desde cualquier cometa, el círculo inscrito es tangente a sus cuatro lados en los cuatro vértices de un trapezoide isósceles. Para cualquier trapezoide isósceles, las líneas tangentes al círculo circunscrito en sus cuatro vértices forman los cuatro lados de una cometa. Esta correspondencia también puede verse como un ejemplo de reciprocidad polar , un método general para corresponder puntos con líneas y viceversa dado un círculo fijo. Aunque no tocan el círculo, los cuatro vértices de la cometa son recíprocos en este sentido a los cuatro lados del trapezoide isósceles. ^[29] Las características de las cometas y los trapecios isósceles que se corresponden entre sí bajo esta dualidad se comparan en la siguiente tabla. ^[7]

Disección

El problema de la equidisección se refiere a la subdivisión de polígonos en triángulos que tienen todas áreas iguales. En este contexto, el espectro de un polígono es el conjunto de números tales que el polígono tiene una equidisección en triángulos de áreas iguales. Debido a su simetría, el espectro de una cometa contiene todos los números pares. Algunas cometas especiales también contienen algunos números impares en sus espectros. ^{[30] [31]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Todo triángulo puede subdividirse en tres cometas rectas que se encuentran en el centro de su círculo inscrito. En términos más generales, se puede utilizar un método basado en el empaquetamiento de círculos para subdividir cualquier polígono cuyos lados se encuentren en cometas que se encuentren borde con borde. ^[32] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle O(n)}$

Teselación y poliedros

Todas las cometas teselan el plano mediante la reflexión puntual repetida alrededor de los puntos medios de sus bordes, como lo hacen de manera más general todos los cuadriláteros. ^[33] Las cometas y los dardos con ángulos de 72°, 72°, 72°, 144° y 36°, 72°, 36°, 216°, respectivamente, forman los prototipos de una versión del teselado de Penrose , un teselado aperiódico del plano descubierto por el físico matemático Roger Penrose . ^[5] Cuando una cometa tiene ángulos que, en su vértice y en un lado, suman para algún entero positivo , entonces se pueden usar copias escaladas de esa cometa para teselar el plano en una roseta fractal en la que anillos de cometas sucesivamente más grandes rodean un punto central. ^[34] Estas rosetas se pueden usar para estudiar el fenómeno del colapso inelástico, en el que un sistema de partículas en movimiento que se encuentran en colisiones inelásticas se fusionan todas en un punto común. ^[35] ${\displaystyle \pi (1-{\tfrac {1}{n}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Una cometa con ángulos de 60°, 90°, 120°, 90° también puede teselar el plano mediante reflexión repetida a través de sus bordes; la teselación resultante, la teselación trihexagonal deltoidal , superpone una teselación del plano mediante hexágonos regulares y triángulos isósceles. ^[16] El icositetraedro deltoidal , el hexecontaedro deltoidal y el trapezoedro son poliedros con caras congruentes en forma de cometa , ^[36] que alternativamente pueden considerarse como teselación de la esfera mediante cometas esféricas congruentes. ^[37] Hay infinitas teselación simétrica de caras del plano hiperbólico mediante cometas. ^[38] Estos poliedros (equivalentemente, teselas esféricas), las teselas cuadradas y trihexagonales deltoidales del plano euclidiano y algunas teselas del plano hiperbólico se muestran en la tabla siguiente, etiquetados por configuración de caras (la cantidad de vecinos de cada uno de los cuatro vértices de cada tesela). Algunos poliedros y teselas aparecen dos veces, bajo dos configuraciones de caras diferentes.

Dados de diez caras

Los trapezoedros son otra familia de poliedros que tienen caras congruentes en forma de cometa. En estos poliedros, los bordes de una de las dos longitudes de los lados de la cometa se encuentran en dos vértices "polares", mientras que los bordes de la otra longitud forman un camino en zigzag ecuatorial alrededor del poliedro. Son los poliedros duales de los antiprismas uniformes . ^[36] Un ejemplo que se ve comúnmente es el trapezoedro pentagonal , utilizado para los dados de diez caras . ^[16]

Billar exterior

El matemático Richard Schwartz ha estudiado el billar exterior en cometas. El billar exterior es un sistema dinámico en el que, desde un punto fuera de un conjunto compacto convexo dado en el plano, se traza una línea tangente al conjunto convexo, se viaja desde el punto de partida a lo largo de esta línea hasta otro punto igualmente alejado del punto de tangencia y luego se repite el mismo proceso. Desde la década de 1950, había estado abierto si cualquier sistema definido de esta manera podría producir trayectorias que se alejaran arbitrariamente de su punto de partida, y en un artículo de 2007, Schwartz resolvió este problema al encontrar trayectorias de billar ilimitadas para la cometa con ángulos de 72°, 72°, 72°, 144°, el mismo que el utilizado en el mosaico de Penrose. ^[39] Más tarde escribió una monografía que analizaba el billar exterior para formas de cometas de manera más general. Para este problema, cualquier transformación afín de una cometa conserva las propiedades dinámicas de los billares exteriores sobre ella, y es posible transformar cualquier cometa en una forma donde tres vértices están en los puntos y , con el cuarto en con en el intervalo unitario abierto . El comportamiento de los billares exteriores sobre cualquier cometa depende fuertemente del parámetro y en particular de si es racional . Para el caso de la cometa de Penrose, , un número irracional, donde es la proporción áurea . ^[40] ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (0,\pm 1)}$ ${\displaystyle (\alpha ,0)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1/\varphi ^{3}}$ ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$

Referencias

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Enlaces externos

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• Fórmulas de área con animación interactiva en Mathopenref.com