Estado de Fock

Número-estado en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , un estado de Fock o estado numérico es un estado cuántico que es un elemento de un espacio de Fock con un número bien definido de partículas (o cuantos ). Estos estados reciben su nombre del físico soviético Vladimir Fock . Los estados de Fock desempeñan un papel importante en la segunda formulación de cuantificación de la mecánica cuántica.

La representación de partículas fue tratada en detalle por primera vez por Paul Dirac para los bosones y por Pascual Jordan y Eugene Wigner para los fermiones . ^{[1] : 35} Los estados de Fock de bosones y fermiones obedecen a relaciones útiles con respecto a los operadores de creación y aniquilación del espacio de Fock .

Definición

Se especifica un estado multipartícula de N partículas idénticas que no interactúan escribiendo el estado como una suma de productos tensoriales de N estados de una partícula. Además, dependiendo de la integralidad del espín de las partículas , los productos tensoriales deben ser productos alternados (antisimétricos) o simétricos del espacio de Hilbert de una partícula subyacente . Específicamente:

• Los fermiones , que tienen espín semientero y obedecen el principio de exclusión de Pauli , corresponden a productos tensoriales antisimétricos.
• Los bosones , que poseen espín entero (y no están regidos por el principio de exclusión) corresponden a productos tensoriales simétricos.

Si el número de partículas es variable, se construye el espacio de Fock como la suma directa de los espacios de Hilbert de productos tensoriales para cada número de partículas . En el espacio de Fock, es posible especificar el mismo estado en una nueva notación, la notación de número de ocupación, especificando el número de partículas en cada posible estado de una partícula.

Sea una base ortonormal de estados en el espacio de Hilbert de una partícula subyacente. Esto induce una base correspondiente del espacio de Fock llamada "base del número de ocupación". Un estado cuántico en el espacio de Fock se denomina estado de Fock si es un elemento de la base del número de ocupación. ${\textstyle \left\{\mathbf {k} _{i}\right\}_{i\in I}}$

Un estado de Fock satisface un criterio importante: para cada i , el estado es un estado propio del operador de número de partículas correspondiente al i -ésimo estado elemental k _i . El valor propio correspondiente proporciona el número de partículas en el estado. Este criterio define prácticamente los estados de Fock (además, hay que seleccionar un factor de fase). ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}$

Un estado de Fock dado se denota por . En esta expresión, denota el número de partículas en el estado i-ésimo k _i , y el operador de número de partículas para el estado i-ésimo, , actúa sobre el estado de Fock de la siguiente manera: ${\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$ ${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$ ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}$

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{i}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$

Por lo tanto, el estado de Fock es un estado propio del operador numérico con valor propio . ^{[2] : 478} ${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$

Los estados de Fock suelen formar la base más conveniente de un espacio de Fock. Los elementos de un espacio de Fock que son superposiciones de estados de diferente número de partículas (y, por lo tanto, no estados propios del operador numérico) no son estados de Fock. Por este motivo, no todos los elementos de un espacio de Fock se denominan "estados de Fock".

Si definimos el operador de número de partículas agregadas como ${\textstyle {\widehat {N}}}$

${\displaystyle {\widehat {N}}=\sum _{i}{\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}},}$

La definición del estado de Fock garantiza que la varianza de la medición , es decir, medir el número de partículas en un estado de Fock, siempre devuelva un valor definido sin fluctuaciones. ${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\widehat {N}}\right)=0}$

Ejemplo utilizando dos partículas

Para cualquier estado final , cualquier estado de Fock de dos partículas idénticas dado por y cualquier operador , tenemos la siguiente condición de indistinguibilidad : ^{[3] : 191} ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle |1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\rangle }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$

${\displaystyle \left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \right|^{2}=\left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \right|^{2}}$.

Entonces, debemos tener ${\displaystyle \left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =e^{i\delta }\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$

donde para los bosones y para los fermiones . Como y son arbitrarios, podemos decir, ${\displaystyle e^{i\delta }=+1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \langle f|}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =+\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$para bosones y

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =-\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$para fermiones. ^{[3] : 191}

Obsérvese que el operador numérico no distingue entre bosones y fermiones; de hecho, solo cuenta partículas sin tener en cuenta su tipo de simetría. Para percibir alguna diferencia entre ellos, necesitamos otros operadores, a saber, los operadores de creación y aniquilación .

Estado de Fock bosónico

Los bosones , que son partículas con espín entero, siguen una regla simple: su estado propio compuesto es simétrico ^[4] bajo la acción de un operador de intercambio . Por ejemplo, en un sistema de dos partículas en la representación del producto tensorial tenemos . ${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }$

Operadores de creación y aniquilación de bosones

Deberíamos poder expresar la misma propiedad simétrica en esta nueva representación del espacio de Fock. Para ello, introducimos operadores de creación y aniquilación bosónicos no hermíticos , ^[4] denotados por y respectivamente. La acción de estos operadores sobre un estado de Fock se da mediante las dos ecuaciones siguientes: ${\displaystyle b^{\dagger }}$ ${\displaystyle b}$

• Operador de creación : ${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^[4]

• Operador de aniquilación : ${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$^[4]

La operación de los operadores de creación y aniquilación en los estados bosónicos de Fock.

No hermiticidad de los operadores de creación y aniquilación

Los operadores de creación y aniquilación de estados bosónicos de Fock no son operadores hermíticos . ^[4]

Prueba de que los operadores de creación y aniquilación no son hermíticos.

Para un estado Fock, , ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle &={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \\[6pt]\left(\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \right)^{*}&=\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}+1}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}+1\dots \right\rangle \end{aligned}}}$$

Por lo tanto, es claro que el operador adjunto de creación (aniquilación) no entra en sí mismo. Por lo tanto, no son operadores hermíticos.

Pero el operador adjunto del operador de creación (aniquilación) es el operador de aniquilación (creación). ^{[5] : 45}

Identidades del operador

Las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación en un sistema bosónico son

${\displaystyle \left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\right]\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }-b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$^[4]

${\displaystyle \left[b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\right]=\left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\right]=0,}$^[4]

¿Dónde está el conmutador y es el delta de Kronecker ? ${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

N estados base bosónicos

Acción sobre algunos estados específicos de Fock

• Para un estado de vacío (ninguna partícula está en ningún estado), expresado como , tenemos: ${\displaystyle |0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle =|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...1_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

  y, . ^[4] Es decir, el operador de creación l -ésimo crea una partícula en el estado l -ésimo k _l , y el estado de vacío es un punto fijo de operadores de aniquilación ya que no hay partículas para aniquilar. ${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{l}}|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},0_{\mathbf {k} _{3}}...0_{\mathbf {k} _{l}},...\rangle =0}$
• Podemos generar cualquier estado de Fock operando sobre el estado de vacío con un número apropiado de operadores de creación :

  ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}}...\rangle ={\frac {\left(b_{\mathbf {k} _{1}}^{\dagger }\right)^{n_{\mathbf {k} _{1}}}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{1}}!}}}{\frac {\left(b_{\mathbf {k} _{2}}^{\dagger }\right)^{n_{\mathbf {k} _{2}}}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{2}}!}}}...|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},...\rangle }$

• Para un estado de Fock de modo único, expresado como , ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} }\rangle }$
  ${\displaystyle b_{\mathbf {k} }^{\dagger }|n_{\mathbf {k} }\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} }+1}}|n_{\mathbf {k} }+1\rangle }$y,
  ${\displaystyle b_{\mathbf {k} }|n_{\mathbf {k} }\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} }}}|n_{\mathbf {k} }-1\rangle }$

Acción de los operadores numéricos

Los operadores numéricos para un sistema bosónico se dan por , donde ^[4] ${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$ ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }$

Los operadores numéricos son operadores hermíticos.

Comportamiento simétrico de los estados bosónicos de Fock

Las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación garantizan que los estados de Fock bosónicos tengan el comportamiento simétrico apropiado en caso de intercambio de partículas. Aquí, el intercambio de partículas entre dos estados (por ejemplo, l y m ) se realiza aniquilando una partícula en el estado l y creando una en el estado m . Si empezamos con un estado de Fock y queremos cambiar una partícula de un estado a otro , entonces operamos el estado de Fock de la siguiente manera: ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$ ${\displaystyle k_{l}}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }b_{\mathbf {k} _{l}}}$

Usando la relación de conmutación tenemos, ${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle &=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle \end{aligned}}}$

Por lo tanto, el estado de Fock bosónico se comporta de manera simétrica bajo la operación del operador de intercambio.

• 
  Función de Wigner de ${\displaystyle |0\rangle }$
• 
  Función de Wigner de ${\displaystyle |1\rangle }$
• 
  Función de Wigner de ${\displaystyle |2\rangle }$
• 
  Función de Wigner de ${\displaystyle |3\rangle }$
• 
  Función de Wigner de ${\displaystyle |4\rangle }$

Estado de Fock fermiónico

Operadores de creación y aniquilación de fermiones

Para poder conservar el comportamiento antisimétrico de los fermiones , para los estados de Fock fermiónicos introducimos operadores de creación y aniquilación de fermiones no hermíticos, ^[4] definidos para un estado de Fock fermiónico como: ^[4] ${\displaystyle |\psi \rangle =|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

• El operador de creación actúa como: ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$

  ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^[4]

• El operador de aniquilación actúa como: ${\textstyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

  ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$

Estas dos acciones se realizan de forma antisimétrica, como veremos más adelante.

Identidades del operador

Las relaciones de anticonmutación de los operadores de creación y aniquilación en un sistema fermiónico son,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\dagger }\right\}\equiv c_{i}^{\,}c_{j}^{\dagger }+c_{j}^{\dagger }c_{i}^{\,}&=\delta _{ij},\\\left\{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\right\}=\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\,}\right\}&=0,\end{aligned}}}$ ^[4]

donde es el anticonmutador y es el delta de Kronecker . Estas relaciones de anticonmutación se pueden utilizar para mostrar el comportamiento antisimétrico de los estados de Fock fermiónicos . ${\displaystyle {\{\ ,\ \}}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Acción de los operadores numéricos

Los operadores numéricos para fermiones se dan por . ${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }$^[4]

Número máximo de ocupantes

La acción del operador de número, así como la de los operadores de creación y aniquilación, puede parecer la misma que la de los bosónicos, pero el verdadero giro surge del número máximo de ocupación de cada estado en el estado de Fock fermiónico. Extendiendo el ejemplo fermiónico de 2 partículas anterior, primero debemos convencernos de que un estado de Fock fermiónico se obtiene aplicando una cierta suma de operadores de permutación al producto tensorial de los eigenkets, como sigue: ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle =S_{-}\left|i_{1},i_{2},i_{3}...i_{l}...\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\left|i_{1}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{1}\right\rangle _{N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left|i_{N}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{N}\right\rangle _{N}\end{vmatrix}}}$^{[7] : 16}

Este determinante se denomina determinante de Slater . ^{[ cita requerida ]} Si cualquiera de los estados de las partículas individuales es el mismo, dos filas del determinante de Slater serían iguales y, por lo tanto, el determinante sería cero. Por lo tanto, dos fermiones idénticos no deben ocupar el mismo estado (una declaración del principio de exclusión de Pauli ). Por lo tanto, el número de ocupación de cualquier estado individual es 0 o 1. El valor propio asociado al estado de Fock fermiónico debe ser 0 o 1. ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$

N estados base fermiónicos | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l , . . . ⟩ {\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle }

Acción sobre algunos estados específicos de Fock

El funcionamiento de los operadores de creación y aniquilación en estados de Fock fermiónicos.

• Para un estado de Fock fermiónico monomodo, expresado como , ${\displaystyle \left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  y , como el número máximo de ocupación de cualquier estado es 1. No más de 1 fermión puede ocupar el mismo estado, como se establece en el principio de exclusión de Pauli . ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =0}$
• Para un estado de Fock fermiónico monomodo, expresado como , ${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  y , como el número de partículas no puede ser menor que cero. ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =0}$
• Para un estado de Fock fermiónico multimodo, expresado como, ${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle }$

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{\alpha }}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...,n_{\mathbf {k} _{\beta }},1-n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle }$,

  donde se denomina cadena de Jordan-Wigner , que depende del ordenamiento de los estados de partículas individuales involucrados y de la suma de los números de ocupación de fermiones de todos los estados anteriores. ^{[5] : 88} ${\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}$

Comportamiento antisimétrico del estado de Fock fermiónico

El comportamiento antisimétrico de los estados fermiónicos bajo el operador de intercambio se tiene en cuenta en las relaciones de anticonmutación. Aquí, el intercambio de partículas entre dos estados se realiza aniquilando una partícula en un estado y creando otra en otro. Si comenzamos con un estado de Fock y queremos cambiar una partícula de un estado a otro , entonces operamos el estado de Fock de la siguiente manera: ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$ ${\displaystyle k_{l}}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}}$

Usando la relación de anticonmutación tenemos

${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}=-c_{\mathbf {k} _{l}}.c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}$

${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle }$

pero, $${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{{\mathbf {k} }_{l}}.c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1}}{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1...\rangle \end{aligned}}}$$

Por lo tanto, los estados de Fock fermiónicos son antisimétricos bajo la operación de operadores de intercambio de partículas.

Los estados de Fock no son estados propios de energía en general

En la segunda teoría de cuantificación, la función de densidad hamiltoniana está dada por

${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)}$^{[3] : 189}

El hamiltoniano total viene dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\therefore {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}}$

En la teoría libre de Schrödinger, ^{[3] : 189}

${\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

y

${\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}}$

y

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$,

¿Dónde está el operador de aniquilación? ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

Sólo las partículas que no interactúan conmutan y conmutan; en general, no conmutan. Para partículas que no interactúan, ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}}$

Si no conmutan, el hamiltoniano no tendrá la expresión anterior. Por lo tanto, en general, los estados de Fock no son estados propios de energía de un sistema.

Fluctuaciones del vacío

El estado de vacío o es el estado de menor energía y los valores esperados de y se desvanecen en este estado: ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$

${\displaystyle a|0\rangle =0=\langle 0|a^{\dagger }}$

Los campos eléctrico y magnético y el potencial vectorial tienen la expansión modal de la misma forma general:

${\displaystyle F\left({\vec {r}},t\right)=\varepsilon ae^{i{\vec {k}}x-\omega t}+h.c.}$

Por lo tanto, es fácil ver que los valores esperados de estos operadores de campo desaparecen en el estado de vacío:

${\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0}$

Sin embargo, se puede demostrar que los valores esperados del cuadrado de estos operadores de campo no son cero. Por lo tanto, hay fluctuaciones en el campo alrededor del promedio del conjunto cero. Estas fluctuaciones del vacío son responsables de muchos fenómenos interesantes, incluido el desplazamiento de Lamb en la óptica cuántica.

Estados de Fock multimodo

En un campo multimodo, cada operador de creación y aniquilación opera en su propio modo. Por lo tanto , y operará solo en . Dado que los operadores correspondientes a diferentes modos operan en diferentes subespacios del espacio de Hilbert, el campo completo es un producto directo de todos los modos: ${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}}$ ${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{l}}\right\rangle }$ ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{l}}\rangle }$

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{3}}\right\rangle \ldots \equiv \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \equiv \left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

Los operadores de creación y aniquilación operan en el estado multimodo únicamente aumentando o disminuyendo el estado numérico de su propio modo:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle \\a_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle \end{aligned}}}$

También definimos el operador de número total para el campo, que es una suma de operadores de número de cada modo:

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }=\sum {\hat {n}}_{\mathbf {k} _{l}}}$

El estado de Fock multimodo es un vector propio del operador de número total cuyo valor propio es el número total de ocupación de todos los modos.

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle =\left(\sum n_{\mathbf {k} _{l}}\right)|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle }$

En el caso de partículas que no interactúan, el operador numérico y el hamiltoniano conmutan entre sí y, por lo tanto, los estados de Fock multimodo se convierten en estados propios del hamiltoniano multimodo.

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle =\left(\sum \hbar \omega \left(n_{\mathbf {k} _{l}}+{\frac {1}{2}}\right)\right)\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

Fuente del estado de fotón único

Habitualmente se generan fotones individuales utilizando emisores individuales (átomos, iones, moléculas, centro de nitrógeno vacante , ^[8] punto cuántico ^[9] ). Sin embargo, estas fuentes no siempre son muy eficientes, a menudo presentan una baja probabilidad de obtener realmente un solo fotón cuando se lo necesita y, a menudo, son complejas e inadecuadas para un entorno de laboratorio.

Se utilizan comúnmente otras fuentes que superan estos problemas a expensas de un comportamiento no determinista. Las fuentes de fotón único anunciadas son fuentes probabilísticas de dos fotones de las cuales el par se divide y la detección de un fotón anuncia la presencia del restante. Estas fuentes generalmente se basan en la no linealidad óptica de algunos materiales como el niobato de litio periódicamente polarizado ( conversión descendente paramétrica espontánea ) o el silicio (mezcla espontánea de cuatro ondas ), por ejemplo.

Comportamiento no clásico

La representación P de Glauber-Sudarshan de los estados de Fock muestra que estos estados son puramente mecánico-cuánticos y no tienen una contrapartida clásica. La ^{[ aclaración necesaria ]} de estos estados en la representación es una derivada 'ésima de la función delta de Dirac y, por lo tanto, no una distribución de probabilidad clásica. ${\displaystyle \scriptstyle \varphi (\alpha )\,}$ ${\displaystyle 2n}$

Véase también

• Estados coherentes
• Límite de Heisenberg
• Luz no clásica

Referencias

1. Friedrichs, KO (1953). Aspectos matemáticos de la teoría cuántica de campos . Interscience Publishers. ASIN  B0006ATGK4.
2. Mandel, Wolf (1995). Coherencia óptica y óptica cuántica . Cambridge University Press. ISBN 0521417112.
3. Gross, Franz (1999). Mecánica cuántica relativista y teoría de campos . Wiley-VCH. ISBN 0471353868.
4. "Notas de clase de Mecánica Cuántica 1 sobre partículas idénticas, TIFR, Mumbai" (PDF) .
5. Altland, Alexander; Simons, Ben (2006). Teoría de campos de materia condensada. Cambridge University Press. ISBN 0521769752.
6. Bruus, Flensberg (2003). Teoría cuántica de muchos cuerpos en física de la materia condensada: una introducción . OUP Oxford. ISBN 0198566336.
7. Schwabl, Hilton, Lahee (2008). Mecánica cuántica avanzada . Springer. ISBN 978-3540850618.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. C. Kurtsiefer, S. Mayer, P. Zarda, Patrick y H. Weinfurter, (2000), "Fuente de fotones individuales en estado sólido estable", Phys. Rev. Lett. 85 (2) 290--293, doi 10.1103/PhysRevLett.85.290
9. C. Santori, M. Pelton, G. Solomon, Y. Dale y Y. Yamamoto (2001), "Fotones individuales activados a partir de un punto cuántico", Phys. Rev. Lett. 86 (8):1502--1505 DOI 10.1103/PhysRevLett.86.1502

Enlaces externos

• Vladan Vuletic del MIT ha utilizado un conjunto de átomos para producir una fuente de estado de Fock (también conocida como fotón único) (PDF)
• Producir y medir un solo estado de fotón (estado de Fock) con un experimento interactivo QuantumLab