En geometría algebraica , una variedad de Fano , introducida por Gino Fano ( Fano 1934, 1942), es una variedad algebraica que generaliza ciertos aspectos de intersecciones completas de hipersuperficies algebraicas cuya suma de grados es como máximo la dimensión total del espacio proyectivo ambiental . Tales intersecciones completas tienen aplicaciones importantes en geometría y teoría de números , porque típicamente admiten puntos racionales , un caso elemental de los cuales es el teorema de Chevalley-Warning . Las variedades de Fano proporcionan una generalización abstracta de estos ejemplos básicos para los cuales las cuestiones de racionalidad a menudo aún son manejables.
Formalmente, una variedad de Fano es una variedad completa X cuyo fibrado anticanónico K X * es amplio . En esta definición, se podría suponer que X es suave sobre un cuerpo, pero el programa de modelos mínimos también ha llevado al estudio de variedades de Fano con varios tipos de singularidades, como singularidades terminales o klt . Recientemente, se han aplicado técnicas de geometría diferencial al estudio de variedades de Fano sobre los números complejos , y se ha tenido éxito en la construcción de espacios de módulos de variedades de Fano y en la prueba de la existencia de métricas de Kähler–Einstein sobre ellos a través del estudio de la K-estabilidad de variedades de Fano .
La existencia de algún fibrado lineal amplio en X es equivalente a que X sea una variedad proyectiva , por lo que una variedad de Fano siempre es proyectiva. Para una variedad de Fano X sobre los números complejos, el teorema de evanescencia de Kodaira implica que los grupos de cohomología de haces de la estructura haz se anulan para . En particular, el género Todd automáticamente es igual a 1. Los casos de esta afirmación evanescente también nos dicen que la primera clase de Chern induce un isomorfismo .
Por la solución de Yau de la conjetura de Calabi , una variedad compleja suave admite métricas de Kähler de curvatura de Ricci positiva si y solo si es Fano. Por lo tanto, el teorema de Myers nos dice que la cobertura universal de una variedad de Fano es compacta y, por lo tanto, solo puede ser una cobertura finita. Sin embargo, acabamos de ver que el género de Todd de una variedad de Fano debe ser igual a 1. Como esto también se aplicaría a la cobertura universal de la variedad, y como el género de Todd es multiplicativo bajo coberturas finitas, se deduce que cualquier variedad de Fano es simplemente conexa .
Un hecho mucho más fácil es que cada variedad de Fano tiene dimensión Kodaira −∞.
Campana y Kollár – Miyaoka – Mori demostraron que una variedad Fano suave sobre un cuerpo algebraicamente cerrado está racionalmente conexa en cadena ; es decir, dos puntos cerrados cualesquiera pueden estar conectados por una cadena de curvas racionales . [1] Kollár–Miyaoka–Mori también demostró que las variedades Fano suaves de una dimensión dada sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero forman una familia acotada, lo que significa que se clasifican por los puntos de un número finito de variedades algebraicas. [2] En particular, solo hay un número finito de clases de deformación de variedades Fano de cada dimensión. En este sentido, las variedades Fano son mucho más especiales que otras clases de variedades, como las variedades de tipo general .
La siguiente discusión se refiere a las variedades suaves de Fano sobre los números complejos.
Una curva de Fano es isomorfa a la línea proyectiva .
Una superficie de Fano también se denomina superficie de Del Pezzo . Toda superficie de Del Pezzo es isomorfa a P 1 × P 1 o al plano proyectivo ampliado en un máximo de ocho puntos, que deben estar en posición general. Como resultado, todas son racionales .
En dimensión 3, hay variedades Fano complejas suaves que no son racionales, por ejemplo, 3-pliegues cúbicos en P 4 (por Clemens - Griffiths ) y 3-pliegues cuárticos en P 4 (por Iskovskikh - Manin ). Iskovskih (1977, 1978, 1979) clasificó los 3-pliegues Fano suaves con segundo número de Betti 1 en 17 clases, y Mori & Mukai (1981) clasificaron los suaves con segundo número de Betti al menos 2, encontrando 88 clases de deformación. Un resumen detallado de la clasificación de los 3-pliegues Fano suaves se da en Iskovskikh & Prokhorov (1999).
