Évariste Galois ( / ɡælˈwɑː / ; [1] francés: [ evaʁist ɡalwa ] ; 25 de octubre de 1811 - 31 de mayo de 1832) fue un matemático y activista político francés . Siendo todavía un adolescente, fue capaz de determinar una condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea solucionable por radicales , resolviendo así un problema que había estado abierto durante 350 años. Su trabajo sentó las bases de la teoría de Galois y la teoría de grupos , [2] dos ramas principales del álgebra abstracta .
Galois era un republicano acérrimo y estuvo muy involucrado en la agitación política que rodeó la Revolución Francesa de 1830. Como resultado de su activismo político, fue arrestado en repetidas ocasiones y cumplió una condena de prisión de varios meses. Por razones que siguen siendo oscuras, poco después de su liberación de prisión, Galois luchó en un duelo y murió a causa de las heridas que sufrió. [3]
Galois nació el 25 de octubre de 1811, hijo de Nicolas-Gabriel Galois y Adélaïde-Marie (de soltera Demante). [2] [4] Su padre era republicano y encabezaba el partido liberal de Bourg-la-Reine . Su padre se convirtió en alcalde del pueblo [2] después de que Luis XVIII regresara al trono en 1814. Su madre, hija de un jurista , era una lectora fluida de latín y literatura clásica y fue responsable de la educación de su hijo durante sus primeros doce años.
En octubre de 1823 ingresó en el Liceo Louis-le-Grand, donde su maestro Louis Paul Émile Richard reconoció su brillantez. [5] A los 14 años comenzó a interesarse seriamente por las matemáticas . [5]
Galois encontró una copia de Elementos de geometría de Adrien-Marie Legendre , que, según se dice, leyó "como una novela" y dominó a la primera lectura. A los 15 años, estaba leyendo los artículos originales de Joseph-Louis Lagrange , como las Reflexiones sobre la resolución algebrica de las ecuaciones , que probablemente motivaron su trabajo posterior sobre la teoría de ecuaciones, [6] y Lecciones sobre el cálculo de las funciones , obra destinada a los matemáticos profesionales, pero su trabajo en clase seguía siendo poco inspirador y sus profesores lo acusaron de darse aires de genio. [4]
En 1828, Galois intentó el examen de ingreso a la École Polytechnique , la institución de matemáticas más prestigiosa de Francia en ese momento, sin la preparación habitual en matemáticas, y fracasó por falta de explicaciones en el examen oral. Ese mismo año, ingresó en la École Normale (entonces conocida como l'École préparatoire), una institución de estudios matemáticos muy inferior en ese momento, donde encontró algunos profesores que simpatizaban con él. [ cita requerida ]
Al año siguiente se publicó el primer artículo de Galois, sobre fracciones continuas , [7] . Fue aproximadamente en la misma época cuando comenzó a hacer descubrimientos fundamentales en la teoría de ecuaciones polinómicas . Presentó dos artículos sobre este tema a la Academia de Ciencias . Augustin-Louis Cauchy revisó estos artículos, pero se negó a aceptarlos para su publicación por razones que aún no están claras. Sin embargo, a pesar de muchas afirmaciones en contra, se sostiene ampliamente que Cauchy reconoció la importancia del trabajo de Galois, y que simplemente sugirió combinar los dos artículos en uno solo para presentarlo en la competencia por el Gran Premio de Matemáticas de la academia. Cauchy, un matemático eminente de la época, aunque con opiniones políticas diametralmente opuestas a las de Galois, consideró que el trabajo de Galois era un ganador probable. [8]
El 28 de julio de 1829, el padre de Galois se suicidó tras una amarga disputa política con el cura del pueblo. [9] Un par de días después, Galois hizo su segundo y último intento de entrar en la Politécnica y fracasó una vez más. [9] Es indiscutible que Galois estaba más que calificado; los relatos difieren sobre por qué fracasó. Los relatos más plausibles afirman que Galois hizo demasiados saltos lógicos y desconcertó al examinador incompetente, lo que enfureció a Galois. La reciente muerte de su padre también puede haber influido en su comportamiento. [4]
Tras serle negada la admisión en la École polytechnique , Galois se presentó a los exámenes de bachillerato para entrar en la École normale . [9] Aprobó, recibiendo su título el 29 de diciembre de 1829. [9] Su examinador en matemáticas informó: "Este alumno a veces es oscuro al expresar sus ideas, pero es inteligente y muestra un notable espíritu de investigación".
Galois presentó sus memorias sobre teoría de ecuaciones varias veces, pero nunca se publicaron durante su vida. Aunque Cauchy rechazó su primer intento, en febrero de 1830, siguiendo la sugerencia de Cauchy, las presentó al secretario de la academia, Joseph Fourier , [9] para que se consideraran para el Gran Premio de la academia. Desafortunadamente, Fourier murió poco después, [9] y las memorias se perdieron. [9] El premio se otorgaría ese año a Niels Henrik Abel póstumamente y también a Carl Gustav Jacob Jacobi . A pesar de las memorias perdidas, Galois publicó tres artículos ese año. Uno sentó las bases de la teoría de Galois . [10] El segundo trataba sobre la resolución numérica de ecuaciones ( búsqueda de raíces en la terminología moderna). [11] El tercero fue importante en la teoría de números , en el que se articuló por primera vez el concepto de un cuerpo finito . [12]
Galois vivió una época de agitación política en Francia. Carlos X había sucedido a Luis XVIII en 1824, pero en 1827 su partido sufrió un importante revés electoral y en 1830 el partido liberal de oposición se convirtió en mayoría . Carlos, enfrentado a la oposición política de las cámaras, dio un golpe de estado y emitió sus famosas Ordenanzas de julio , desencadenando la Revolución de julio [9] que terminó con Luis Felipe convirtiéndose en rey. Mientras sus homólogos de la Politécnica hacían historia en las calles, Galois, en la École Normale , fue encerrado por el director de la escuela. Galois se enfureció y escribió una carta mordaz criticando al director, que presentó a la Gazette des Écoles , firmando la carta con su nombre completo. Aunque el editor de la Gazette omitió la firma para su publicación, Galois fue expulsado. [13]
Aunque su expulsión se habría hecho efectiva formalmente el 4 de enero de 1831, Galois abandonó la escuela inmediatamente y se unió a la unidad de artillería de la Guardia Nacional , firmemente republicana . Dividió su tiempo entre su trabajo matemático y sus afiliaciones políticas. Debido a la controversia que rodeaba a la unidad, poco después de que Galois se convirtiera en miembro, el 31 de diciembre de 1830, la artillería de la Guardia Nacional se disolvió por temor a que pudiera desestabilizar al gobierno. Casi al mismo tiempo, diecinueve oficiales de la antigua unidad de Galois fueron arrestados y acusados de conspiración para derrocar al gobierno.
En abril de 1831, los oficiales fueron absueltos de todos los cargos y el 9 de mayo de 1831 se celebró un banquete en su honor, al que asistieron muchas personas ilustres, como Alejandro Dumas . La reunión se volvió desenfrenada. En un momento dado, Galois se puso de pie y propuso un brindis en el que dijo: «Por Luis Felipe », con una daga sobre su copa. Los republicanos presentes en el banquete interpretaron el brindis de Galois como una amenaza contra la vida del rey y aplaudieron. Fue arrestado al día siguiente en casa de su madre y recluido en la prisión de Sainte-Pélagie hasta el 15 de junio de 1831, cuando fue juzgado. [8] El abogado defensor de Galois afirmó astutamente que Galois en realidad dijo: «Por Luis Felipe, si traiciona », pero que el calificativo quedó ahogado por los vítores. El fiscal hizo algunas preguntas más y, tal vez influenciado por la juventud de Galois, el jurado lo absolvió ese mismo día. [8] [9] [13] [14]
El siguiente día de la Bastilla (14 de julio de 1831), Galois encabezó una protesta, vistiendo el uniforme de la artillería disuelta, y llegó fuertemente armado con varias pistolas, un fusil cargado y una daga. Fue arrestado nuevamente. [9] Durante su estancia en prisión, Galois bebió alcohol por primera vez a instancias de sus compañeros de prisión. Uno de estos reclusos, François-Vincent Raspail , registró lo que Galois dijo mientras estaba borracho en una carta del 25 de julio. Extracto de la carta: [8]
Y te digo que moriré en un duelo por una coqueta de bajo rango . ¿Por qué? Porque me invitará a vengar su honor, que otro ha comprometido.
¿Sabes lo que me falta, amigo mío? Sólo a ti puedo confesártelo: alguien a quien pueda amar y amar sólo en espíritu. He perdido a mi padre y nadie lo ha reemplazado jamás, ¿me oyes?
Raspail continúa diciendo que Galois, todavía en estado de delirio, intentó suicidarse y que lo habría logrado si sus compañeros de prisión no lo hubieran impedido por la fuerza. [8] Meses después, cuando se celebró el juicio de Galois el 23 de octubre, fue condenado a seis meses de prisión por llevar uniforme ilegalmente. [9] [15] [16] Mientras estuvo en prisión, continuó desarrollando sus ideas matemáticas. Fue liberado el 29 de abril de 1832.
Galois volvió a las matemáticas después de su expulsión de la École Normale , aunque continuó dedicando tiempo a actividades políticas. Después de que su expulsión se hiciera oficial en enero de 1831, intentó iniciar una clase privada de álgebra avanzada que atrajo cierto interés, pero este se desvaneció, ya que parecía que su activismo político tenía prioridad. [4] [8] Siméon Denis Poisson le pidió que presentara su trabajo sobre la teoría de ecuaciones , lo que hizo el 17 de enero de 1831. Alrededor del 4 de julio de 1831, Poisson declaró que el trabajo de Galois era "incomprensible", declarando que "el argumento [de Galois] no es ni lo suficientemente claro ni lo suficientemente desarrollado como para permitirnos juzgar su rigor"; sin embargo, el informe de rechazo termina con una nota alentadora: "Sugerimos entonces que el autor publique la totalidad de su trabajo para formarse una opinión definitiva". [17] Si bien el informe de Poisson se realizó antes del arresto de Galois el 14 de julio, tardó hasta octubre en llegar a manos de Galois en prisión. No es sorprendente, a la luz de su carácter y situación en ese momento, que Galois reaccionara violentamente a la carta de rechazo y decidiera abandonar la publicación de sus artículos a través de la academia y, en su lugar, publicarlos en forma privada a través de su amigo Auguste Chevalier. Sin embargo, aparentemente Galois no ignoró el consejo de Poisson, ya que comenzó a recopilar todos sus manuscritos matemáticos mientras todavía estaba en prisión y continuó puliendo sus ideas hasta su liberación el 29 de abril de 1832, [13] después de lo cual, de alguna manera, lo convencieron de batirse en duelo. [9]
El duelo fatal de Galois tuvo lugar el 30 de mayo. [18] Los verdaderos motivos del duelo son oscuros. Se ha especulado mucho sobre ellos. Lo que se sabe es que, cinco días antes de su muerte, escribió una carta a Chevalier en la que claramente alude a una relación amorosa rota. [8]
Algunas investigaciones de archivo sobre las cartas originales sugieren que la mujer de la que Galois se enamoró era Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, [19] hija del médico del albergue donde Galois se alojó durante los últimos meses de su vida. Se encuentran disponibles fragmentos de cartas de ella, copiadas por el propio Galois (con muchas partes, como su nombre, borradas u omitidas deliberadamente). [20] Las cartas insinúan que Poterin du Motel le había confiado algunos de sus problemas a Galois, y esto podría haberlo impulsado a provocar el duelo él mismo en su nombre. Esta conjetura también está respaldada por otras cartas que Galois escribió posteriormente a sus amigos la noche antes de morir. El primo de Galois, Gabriel Demante, cuando se le preguntó si conocía la causa del duelo, mencionó que Galois "se encontró en presencia de un supuesto tío y un supuesto prometido, cada uno de los cuales provocó el duelo". El propio Galois exclamó: "Soy víctima de una coqueta infame y sus dos incautos". [13]
En cuanto a su oponente en el duelo, Alexandre Dumas nombra a Pescheux d'Herbinville, [14] que en realidad era uno de los diecinueve oficiales de artillería cuya absolución se celebró en el banquete que ocasionó el primer arresto de Galois. [21] Sin embargo, Dumas es el único que afirma esto y, si estuviera en lo cierto, no está claro por qué D'Herbinville habría estado involucrado. Se ha especulado que era el "supuesto prometido" de Poterin du Motel en ese momento (ella finalmente se casó con otra persona), pero no se han encontrado pruebas claras que respalden esta conjetura. Por otro lado, recortes de periódico existentes de solo unos días después del duelo dan una descripción de su oponente (identificado por las iniciales "LD") que parece aplicarse con mayor precisión a uno de los amigos republicanos de Galois, muy probablemente Ernest Duchatelet, que fue encarcelado con Galois por los mismos cargos. [22] Dada la información contradictoria disponible, la verdadera identidad de su asesino bien puede haberse perdido en la historia.
Cualquiera que sean las razones detrás del duelo, Galois estaba tan convencido de su muerte inminente que se quedó despierto toda la noche escribiendo cartas a sus amigos republicanos y componiendo lo que se convertiría en su testamento matemático, la famosa carta a Auguste Chevalier en la que describía sus ideas, y tres manuscritos adjuntos. [23] El matemático Hermann Weyl dijo de este testamento: "Esta carta, a juzgar por la novedad y profundidad de las ideas que contiene, es quizás la pieza de escritura más sustancial de toda la literatura de la humanidad". Sin embargo, la leyenda de Galois volcando sus pensamientos matemáticos en el papel la noche antes de morir parece haber sido exagerada. [8] En estos documentos finales, esbozó las asperezas de un trabajo que había estado haciendo en análisis y anotó una copia del manuscrito presentado a la academia y otros documentos.
En la madrugada del 30 de mayo de 1832, recibió un disparo en el abdomen , [18] fue abandonado por sus oponentes y sus propios segundos, y fue encontrado por un granjero que pasaba por allí. Murió a la mañana siguiente [18] a las diez en punto en el Hôpital Cochin (probablemente de peritonitis ), después de negarse a los oficios de un sacerdote. Su funeral terminó en disturbios. [18] Hubo planes para iniciar un levantamiento durante su funeral, pero durante el mismo tiempo los líderes se enteraron de la muerte del general Jean Maximilien Lamarque y el levantamiento se pospuso sin que se produjera ningún levantamiento hasta el 5 de junio . Solo el hermano menor de Galois fue notificado de los eventos antes de la muerte de Galois. [24] Galois tenía 20 años. Sus últimas palabras a su hermano menor Alfred fueron:
"¡Ne pleure pas, Alfred! ¡J'ai besoin de tout mon Courage pour mourir à vingt ans!"
(¡No llores, Alfred! ¡Necesito todo mi coraje para morir a los veinte años!)
El 2 de junio, Évariste Galois fue enterrado en una fosa común del cementerio de Montparnasse , cuya ubicación exacta se desconoce. [18] [16] En el cementerio de su ciudad natal, Bourg-la-Reine , se erigió un cenotafio en su honor junto a las tumbas de sus familiares. [25]
Évariste Galois murió en 1832. Joseph Liouville comenzó a estudiar los documentos inéditos de Galois en 1842 y reconoció su valor en 1843. No está claro qué sucedió en los diez años entre 1832 y 1842 ni qué inspiró finalmente a Joseph Liouville a comenzar a leer los documentos de Galois. Jesper Lützen explora este tema con cierta extensión en el Capítulo XIV, Teoría de Galois, de su libro sobre Joseph Liouville, sin llegar a ninguna conclusión definitiva. [26]
Es posible que los matemáticos (incluido Liouville) no quisieran hacer públicos los trabajos de Galois porque Galois era un activista político republicano que murió cinco días antes de la Rebelión de Junio , una insurrección antimonárquica fallida de los republicanos parisinos. En el obituario de Galois, su amigo Auguste Chevalier casi acusó a los académicos de la Escuela Politécnica de haber asesinado a Galois ya que, si no hubieran rechazado su trabajo, se habría convertido en matemático y no se habría dedicado al activismo político republicano por el que algunos creían que fue asesinado. [26]
Dado que Francia todavía vivía a la sombra del Reinado del Terror y la era napoleónica , Liouville podría haber esperado hasta que la agitación política de la Rebelión de Junio se calmara antes de centrar su atención en los documentos de Galois. [26]
Liouville finalmente publicó los manuscritos de Galois en la edición de octubre-noviembre de 1846 del Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . [27] [28] La contribución más famosa de Galois fue una novedosa prueba de que no existe una fórmula quintica , es decir, que las ecuaciones de quinto grado y superiores no son generalmente solucionables por radicales. Aunque Niels Henrik Abel ya había demostrado la imposibilidad de una "fórmula quintica" por radicales en 1824 y Paolo Ruffini había publicado una solución en 1799 que resultó ser defectuosa, los métodos de Galois llevaron a una investigación más profunda en lo que ahora se llama teoría de Galois , que puede usarse para determinar, para cualquier ecuación polinómica, si tiene una solución por radicales.
De las líneas finales de una carta de Galois a su amigo Auguste Chevalier, fechada el 29 de mayo de 1832, dos días antes de la muerte de Galois: [23]
Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.
Después de eso, el y aura, j'espère, des gens qui trouveront leurprofit à déchiffrer tout ce gâchis.
(Pidamos públicamente a Jacobi o a Gauss que den su opinión, no sobre la verdad, sino sobre la importancia de estos teoremas. Más adelante habrá, espero, algunas personas que encontrarán provechoso descifrar todo este lío.)
En las aproximadamente 60 páginas de las obras completas de Galois hay muchas ideas importantes que han tenido consecuencias de largo alcance para casi todas las ramas de las matemáticas. [29] [30] Su trabajo ha sido comparado con el de Niels Henrik Abel (1802-1829), un matemático contemporáneo que también murió a una edad muy joven, y gran parte de su trabajo tuvo una superposición significativa.
Aunque muchos matemáticos antes de Galois dieron consideración a lo que ahora se conoce como grupos , fue Galois quien fue el primero en utilizar la palabra grupo (en francés groupe ) en un sentido cercano al sentido técnico que se entiende hoy, lo que lo convierte en uno de los fundadores de la rama del álgebra conocida como teoría de grupos . Llamó a la descomposición de un grupo en sus clases laterales izquierda y derecha una descomposición propia si las clases laterales izquierda y derecha coinciden, lo que conduce a la noción de lo que hoy se conoce como un subgrupo normal . [23] También introdujo el concepto de un cuerpo finito (también conocido como un cuerpo de Galois en su honor) en esencialmente la misma forma en que se entiende hoy. [12]
En su última carta a Chevalier [23] y manuscritos adjuntos, la segunda de tres, realizó estudios básicos de grupos lineales sobre cuerpos finitos:
La contribución más significativa de Galois a las matemáticas es su desarrollo de la teoría de Galois. Se dio cuenta de que la solución algebraica de una ecuación polinómica está relacionada con la estructura de un grupo de permutaciones asociadas con las raíces del polinomio, el grupo de Galois del polinomio. Descubrió que una ecuación podía resolverse en radicales si se puede encontrar una serie de subgrupos de su grupo de Galois, cada uno normal en su sucesor con cociente abeliano , es decir, su grupo de Galois es resoluble . Esto resultó ser un enfoque fértil, que matemáticos posteriores adaptaron a muchos otros campos de las matemáticas además de la teoría de ecuaciones a la que Galois lo aplicó originalmente. [29]
Galois también hizo algunas contribuciones a la teoría de integrales abelianas y fracciones continuas .
Como escribe en su última carta, [23] Galois pasó del estudio de las funciones elípticas a la consideración de las integrales de las diferenciales algebraicas más generales, hoy llamadas integrales abelianas. Clasificó estas integrales en tres categorías.
En su primer artículo de 1828, [7] Galois demostró que la fracción continua regular que representa un irracional cuadrático ζ es puramente periódica si y solo si ζ es un irracional reducido , es decir, y su conjugado satisface .
De hecho, Galois demostró más que esto. También demostró que si ζ es una fracción cuadrática irracional reducida y η es su conjugado, entonces las fracciones continuas para ζ y para (−1/ η ) son ambas puramente periódicas, y el bloque repetitivo en una de esas fracciones continuas es la imagen especular del bloque repetitivo en la otra. En símbolos tenemos
donde ζ es cualquier radical cuadrático reducido, y η es su conjugado.
De estos dos teoremas de Galois se puede deducir un resultado ya conocido por Lagrange. Si r > 1 es un número racional que no es un cuadrado perfecto, entonces
En particular, si n es cualquier entero positivo no cuadrado, la expansión en fracción continua regular de √ n contiene un bloque repetitivo de longitud m , en el que los primeros m − 1 denominadores parciales forman una cadena palindrómica .
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad42d868f957d98f565b3fa2442554fa972c369)
![{\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96014b1d7c3160fce08815bd192061eacd4f0d64)
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