Eudoxo de Cnido ( en griego antiguo : Εὔδοξος ὁ Κνίδιος , Eúdoxos ho Knídios ; c . 390 – c. 340 a. C. ) fue un astrónomo , matemático , médico y legislador de la antigua Grecia . [ 1 ] Fue alumno de Arquitas y Platón . Todas sus obras originales se han perdido, aunque algunos fragmentos se conservan en los Comentarios sobre los fenómenos de Arato y Eudoxo de Hiparco . [2] La obra Esferas de Teodosio de Bitinia puede estar basada en una obra de Eudoxo.
Eudoxo, hijo de Esquines, nació y murió en Cnido (también transliterado Cnido), una ciudad en la costa suroeste de Anatolia . [3] Los años de nacimiento y muerte de Eudoxo no se conocen completamente, pero Diógenes Laercio dio varios detalles biográficos, mencionó que Apolodoro dijo que alcanzó su apogeo en la 103.ª Olimpiada (368-365 a. C. ) y afirmó que murió a los 53 años. A partir de esto, los historiadores matemáticos del siglo XIX reconstruyeron las fechas de 408-355 a. C. , [4] pero los eruditos del siglo XX encontraron sus elecciones contradictorias y prefieren un año de nacimiento de c. 390 a. C. [5] Su nombre Eudoxo significa "honrado" o "de buena reputación" ( εὔδοξος , de eu "bueno" y doxa "opinión, creencia, fama", análogo al latín Benedictus ).
Según Diógenes Laercio, que atribuye el mérito a Pinakes de Calímaco , Eudoxo estudió matemáticas con Arquitas (de Tarento , Magna Grecia ) y medicina con Filistón el Siciliano . A los 23 años viajó con el médico Teomedonte (que era su patrón y posiblemente su amante ) a Atenas para estudiar con los seguidores de Sócrates . Pasó dos meses allí (viviendo en El Pireo y caminando 11 km de ida y vuelta todos los días para asistir a las conferencias de los sofistas ) y luego regresó a su casa en Cnido. Sus amigos pagaron para enviarlo a Heliópolis , Egipto , durante 16 meses, para continuar sus estudios de astronomía y matemáticas. Desde Egipto, viajó al norte a Cícico , ubicado en la costa sur del mar de Mármara, el Propontis . Viajó al sur a la corte de Mausolo . Durante sus viajes reunió a muchos de sus propios estudiantes. [ cita requerida ]
Alrededor de 368 a. C. , Eudoxo regresó a Atenas con sus estudiantes. Según algunas fuentes, [ cita requerida ] alrededor de 367 asumió la jefatura ( scholarch ) de la Academia durante el período de Platón en Siracusa, y enseñó a Aristóteles . [ cita requerida ] Finalmente regresó a su Cnido natal, donde sirvió en la asamblea de la ciudad. Mientras estuvo en Cnido, construyó un observatorio y continuó escribiendo y dando conferencias sobre teología , astronomía y meteorología . Tuvo un hijo, Aristágoras, y tres hijas, Actis, Filtis y Delfos.
En astronomía matemática, su fama se debe a la introducción de las esferas concéntricas y a sus tempranas contribuciones a la comprensión del movimiento de los planetas .
Su trabajo sobre proporciones muestra una comprensión de los números irracionales y del continuo lineal : permite un tratamiento riguroso de cantidades continuas y no solo de números enteros o incluso números racionales . Cuando fue revivido por Tartaglia y otros en el siglo XVI [ cita requerida ] , se convirtió en la base para el trabajo cuantitativo en ciencia e inspiró el trabajo de Richard Dedekind sobre los números reales . [7]
Los cráteres de Marte y la Luna llevan su nombre en su honor. Una curva algebraica (la Kampyle de Eudoxo ) también lleva su nombre.
Eudoxo es considerado por algunos como el más grande de los matemáticos griegos clásicos , y en toda la Antigüedad sólo superado por Arquímedes . [8] Eudoxo fue probablemente la fuente de la mayor parte del libro V de los Elementos de Euclides . [9] Desarrolló rigurosamente el método de exhaución de Antifón , un precursor del cálculo integral que también fue utilizado de manera magistral por Arquímedes en el siglo siguiente. Al aplicar el método, Eudoxo demostró afirmaciones matemáticas tales como: las áreas de los círculos son entre sí como los cuadrados de sus radios, los volúmenes de las esferas son entre sí como los cubos de sus radios, el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma con la misma base y altura, y el volumen de un cono es un tercio del del cilindro correspondiente. [10]
Eudoxo introdujo la idea de magnitud matemática no cuantificada para describir y trabajar con entidades geométricas continuas como líneas, ángulos, áreas y volúmenes, evitando así el uso de números irracionales . Al hacerlo, revirtió el énfasis pitagórico en los números y la aritmética, centrándose en cambio en los conceptos geométricos como base de las matemáticas rigurosas. Algunos pitagóricos, como el maestro de Eudoxo, Arquitas , habían creído que solo la aritmética podía proporcionar una base para las demostraciones. Inducido por la necesidad de comprender y operar con cantidades inconmensurables , Eudoxo estableció lo que puede haber sido la primera organización deductiva de las matemáticas sobre la base de axiomas explícitos . El cambio de enfoque de Eudoxo estimuló una división en las matemáticas que duró dos mil años. En combinación con una actitud intelectual griega despreocupada por los problemas prácticos, se produjo un retroceso significativo en el desarrollo de técnicas en aritmética y álgebra. [10]
Los pitagóricos habían descubierto que la diagonal de un cuadrado no tiene una unidad de medida común con los lados del cuadrado; este es el famoso descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 no puede expresarse como el cociente de dos números enteros. Este descubrimiento había anunciado la existencia de cantidades inconmensurables más allá de los números enteros y las fracciones racionales, pero al mismo tiempo puso en tela de juicio la idea de la medición y los cálculos en geometría en su conjunto. Por ejemplo, Euclides proporciona una elaborada demostración del teorema de Pitágoras ( Elementos I.47), utilizando la adición de áreas y solo mucho más tarde ( Elementos VI.31) una demostración más sencilla a partir de triángulos similares, que se basa en las proporciones de los segmentos de línea.
Los matemáticos de la antigua Grecia no calculaban con cantidades y ecuaciones como lo hacemos hoy, sino que una proporcionalidad expresaba una relación entre magnitudes geométricas. La razón entre dos magnitudes no era un valor numérico, como lo entendemos hoy, sino una relación primitiva entre ellas.
A Eudoxo se le atribuye la definición de la igualdad entre dos razones, tema del Libro V de los Elementos .
En la Definición 5 del Libro V de Euclides leemos:
Se dice que las magnitudes están en la misma razón, la primera con respecto a la segunda y la tercera con respecto a la cuarta, cuando, si se toman cualesquiera múltiplos equitativos de la primera y la tercera, y cualesquiera múltiplos equitativos de la segunda y la cuarta, los primeros igualmente exceden, son igualmente iguales o igualmente inferiores a los últimos equimúltiplos, tomados respectivamente en el orden correspondiente.
Usando la notación moderna , esto se puede hacer más explícito. Dadas cuatro cantidades , , , y , tome la razón de la primera a la segunda, , y la razón de la tercera a la cuarta, . Que las dos razones sean proporcionales, , se puede definir por la siguiente condición:
Para dos enteros positivos cualesquiera y , formen los múltiplos iguales y del primero y del tercero; formen asimismo los múltiplos iguales y del segundo y del cuarto . Si sucede que , entonces también . Si en cambio , entonces también . Finalmente , si , entonces también .
Esto significa que si y solo si las razones que son mayores que son las mismas que las que son mayores que , y lo mismo para "igual" y "menor". Esto se puede comparar con los cortes de Dedekind que definen un número real por el conjunto de números racionales que son mayores, iguales o menores que el número a definir.
La definición de Eudoxo depende de la comparación de las cantidades similares y , y las cantidades similares y , y no depende de la existencia de una unidad común para medir estas cantidades.
La complejidad de la definición refleja la profunda innovación conceptual y metodológica que implica. La definición eudoxiana de proporcionalidad utiliza el cuantificador "para cada ..." para aprovechar lo infinito y lo infinitesimal, de manera similar a las definiciones modernas épsilon-delta de límite y continuidad.
La propiedad arquimediana , definición 4 del Libro V de los Elementos , fue atribuida a Eudoxo por Arquímedes. [11]
En la antigua Grecia , la astronomía era una rama de las matemáticas; los astrónomos buscaban crear modelos geométricos que pudieran imitar la apariencia de los movimientos celestes. Por lo tanto, identificar la obra astronómica de Eudoxo como una categoría separada es una conveniencia moderna. Algunos de los textos astronómicos de Eudoxo cuyos nombres han sobrevivido incluyen:
Estamos bastante bien informados sobre el contenido de los Fenómenos , pues el texto en prosa de Eudoxo fue la base de un poema del mismo nombre de Arato . Hiparco citó el texto de Eudoxo en su comentario sobre Arato.
Una idea general del contenido de Sobre las velocidades se puede obtener de la Metafísica de Aristóteles XII, 8, y de un comentario de Simplicio de Cilicia (siglo VI d. C.) sobre De caelo , otra obra de Aristóteles. Según una historia relatada por Simplicio, Platón planteó una pregunta a los astrónomos griegos: "¿Mediante la suposición de qué movimientos uniformes y ordenados pueden explicarse los movimientos aparentes de los planetas?" [12] Platón propuso que los movimientos errantes aparentemente caóticos de los planetas podrían explicarse mediante combinaciones de movimientos circulares uniformes centrados en una Tierra esférica, aparentemente una idea novedosa en el siglo IV a. C.
En la mayoría de las reconstrucciones modernas del modelo eudoxano, a la Luna se le asignan tres esferas:
Al Sol también se le asignan tres esferas. La segunda completa su movimiento en un año en lugar de un mes. La inclusión de una tercera esfera implica que Eudoxo creyó erróneamente que el Sol se movía en latitud.
A los cinco planetas visibles ( Mercurio , Venus , Marte , Júpiter y Saturno ) se les asignan cuatro esferas a cada uno:
Calipo , un astrónomo griego del siglo IV, añadió siete esferas a las 27 originales de Eudoxo (además de las esferas planetarias, Eudoxo incluyó una esfera para las estrellas fijas). Aristóteles describió ambos sistemas, pero insistió en añadir esferas "desenrollables" entre cada conjunto de esferas para cancelar los movimientos del conjunto exterior. A Aristóteles le preocupaba la naturaleza física del sistema; sin desenrolladores, los movimientos exteriores se transferirían a los planetas interiores.
Un defecto importante del sistema eudoxiano es su incapacidad para explicar los cambios en el brillo de los planetas vistos desde la Tierra. Como las esferas son concéntricas, los planetas siempre permanecerán a la misma distancia de la Tierra. Este problema fue señalado en la Antigüedad por Autólico de Pitane . Los astrónomos respondieron introduciendo el deferente y el epiciclo , que hacían que un planeta variara su distancia. Sin embargo, la importancia de Eudoxo para la astronomía y en particular para la astronomía griega es considerable.
Aristóteles , en la Ética a Nicómaco , [13] atribuye a Eudoxo un argumento a favor del hedonismo , es decir, que el placer es el bien último que la actividad tiende a alcanzar. Según Aristóteles, Eudoxo esgrimió los siguientes argumentos para apoyar esta postura:
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Laërtius, Diogenes (1925). . Vidas de los filósofos eminentes . Vol. 2:8. Traducido por Hicks, Robert Drew (edición en dos volúmenes). Biblioteca Clásica Loeb.
