En geometría , una línea recta , normalmente abreviada como línea , es un objeto infinitamente largo sin ancho, profundidad ni curvatura , una idealización de objetos físicos como una regla , una cuerda tensa o un rayo de luz . Las líneas son espacios de dimensión uno, que pueden estar insertos en espacios de dimensión dos, tres o superior. La palabra línea también puede referirse, en la vida cotidiana, a un segmento de línea , que es una parte de una línea delimitada por dos puntos (sus extremos ).
Los Elementos de Euclides definen una línea recta como una "longitud sin anchura" que "se encuentra uniformemente con respecto a los puntos de ella misma", e introducen varios postulados como propiedades básicas indemostrables sobre las que se estableció el resto de la geometría. Línea euclidiana y geometría euclidiana son términos introducidos para evitar confusiones con generalizaciones introducidas desde finales del siglo XIX, como la geometría no euclidiana , proyectiva y afín .
En la geometría deductiva griega de los Elementos de Euclides , una línea general (ahora llamada curva ) se define como una "longitud sin anchura", y una línea recta (ahora llamada segmento de línea ) se definió como una línea "que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma". [1] : 291 Estas definiciones apelan a la experiencia física de los lectores, basándose en términos que no están definidos en sí mismos, y las definiciones nunca se referencian explícitamente en el resto del texto. En la geometría moderna, una línea generalmente se toma como una noción primitiva con propiedades dadas por axiomas , [1] : 95 o bien se define como un conjunto de puntos que obedecen a una relación lineal, por ejemplo cuando los números reales se toman como primitivos y la geometría se establece analíticamente en términos de coordenadas numéricas .
En una formulación axiomática de la geometría euclidiana, como la de Hilbert (los matemáticos modernos añadieron a los axiomas originales de Euclides para llenar los vacíos lógicos percibidos), [1] : 108 se afirma que una línea tiene ciertas propiedades que la relacionan con otras líneas y puntos . Por ejemplo, para dos puntos distintos, hay una única línea que los contiene, y dos líneas distintas se intersecan como máximo en un punto. [1] : 300 En dos dimensiones (es decir, el plano euclidiano ), dos líneas que no se intersecan se denominan paralelas . En dimensiones superiores, dos líneas que no se intersecan son paralelas si están contenidas en un plano , o están oblicuas si no lo están.
En un plano euclidiano , una línea puede representarse como un límite entre dos regiones. [2] : 104 Cualquier colección de un número finito de líneas divide el plano en polígonos convexos (posiblemente ilimitados); esta partición se conoce como una disposición de líneas .
En el espacio tridimensional , una ecuación de primer grado en las variables x , y y z define un plano, por lo que dos ecuaciones de este tipo, siempre que los planos a los que dan lugar no sean paralelos, definen una línea que es la intersección de los planos. De manera más general, en el espacio n -dimensional, n −1 ecuaciones de primer grado en las n variables de coordenadas definen una línea en condiciones adecuadas.
En un espacio euclidiano más general , R n (y análogamente en cualquier otro espacio afín ), la línea L que pasa por dos puntos diferentes a y b es el subconjunto La dirección de la línea es desde un punto de referencia a ( t = 0) a otro punto b ( t = 1), o en otras palabras, en la dirección del vector b − a . Diferentes elecciones de a y b pueden dar como resultado la misma línea.
Se dice que tres o más puntos son colineales si se encuentran en la misma línea. Si tres puntos no son colineales, existe exactamente un plano que los contiene.
En coordenadas afines , en el espacio n -dimensional los puntos X = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2 , ..., y n ), y Z = ( z 1 , z 2 , ..., z n ) son colineales si la matriz tiene un rango menor que 3. En particular, para tres puntos en el plano ( n = 2 ), la matriz anterior es cuadrada y los puntos son colineales si y solo si su determinante es cero.
De manera equivalente, para tres puntos en un plano, los puntos son colineales si y solo si la pendiente entre un par de puntos es igual a la pendiente entre cualquier otro par de puntos (en cuyo caso la pendiente entre el par de puntos restante será igual a las otras pendientes). Por extensión, k puntos en un plano son colineales si y solo si cualesquiera ( k –1) pares de puntos tienen las mismas pendientes por pares.
En geometría euclidiana , la distancia euclidiana d ( a , b ) entre dos puntos a y b puede usarse para expresar la colinealidad entre tres puntos mediante: [3] [4]
Sin embargo, existen otras nociones de distancia (como la distancia de Manhattan ) para las que esta propiedad no es verdadera.
En las geometrías donde el concepto de línea es una noción primitiva , como puede ser el caso en algunas geometrías sintéticas , se necesitan otros métodos para determinar la colinealidad.
En cierto sentido, [a] todas las líneas en la geometría euclidiana son iguales, en el sentido de que, sin coordenadas, no se pueden distinguir unas de otras. Sin embargo, las líneas pueden desempeñar papeles especiales con respecto a otros objetos de la geometría y dividirse en tipos según esa relación. Por ejemplo, con respecto a una cónica (un círculo , una elipse , una parábola o una hipérbola ), las líneas pueden ser:
En el contexto de la determinación del paralelismo en la geometría euclidiana, una transversal es una línea que interseca otras dos líneas que pueden ser o no paralelas entre sí.
Para curvas algebraicas más generales , las líneas también podrían ser:
Con respecto a los triángulos tenemos:
Para un cuadrilátero convexo con como máximo dos lados paralelos, la línea de Newton es la línea que conecta los puntos medios de las dos diagonales . [7]
Para un hexágono con vértices sobre una cónica tenemos la recta de Pascal y, en el caso especial donde la cónica es un par de rectas, tenemos la recta de Pappus .
Las líneas paralelas son líneas que se encuentran en el mismo plano y que nunca se cruzan. Las líneas que se intersecan comparten un único punto en común. Las líneas coincidentes coinciden entre sí: cada punto que se encuentra en una de ellas también se encuentra en la otra.
Las líneas perpendiculares son líneas que se intersecan en ángulos rectos . [8]
En el espacio tridimensional , las líneas oblicuas son líneas que no están en el mismo plano y, por lo tanto, no se intersecan entre sí.
El concepto de línea se considera a menudo en geometría como una noción primitiva en sistemas axiomáticos , [1] : 95 lo que significa que no está definido por otros conceptos. [9] En aquellas situaciones en las que una línea es un concepto definido, como en la geometría de coordenadas , algunas otras ideas fundamentales se toman como primitivas. Cuando el concepto de línea es un primitivo, las propiedades de las líneas están dictadas por los axiomas que deben satisfacer.
En un tratamiento no axiomático o axiomático simplificado de la geometría, el concepto de una noción primitiva puede ser demasiado abstracto para ser abordado. En esta circunstancia, es posible proporcionar una descripción o imagen mental de una noción primitiva, para dar una base para construir la noción sobre la que se basaría formalmente en los axiomas (no enunciados). Algunos autores pueden referirse a las descripciones de este tipo como definiciones en este estilo informal de presentación. Estas no son definiciones verdaderas y no podrían usarse en pruebas formales de enunciados. La "definición" de línea en los Elementos de Euclides cae en esta categoría. [1] : 95 Incluso en el caso en que se esté considerando una geometría específica (por ejemplo, la geometría euclidiana ), no hay un acuerdo generalmente aceptado entre los autores sobre cuál debería ser una descripción informal de una línea cuando el tema no se está tratando formalmente.
Las rectas en un plano cartesiano o, más generalmente, en coordenadas afines , se caracterizan por ecuaciones lineales. Más precisamente, toda recta (incluidas las verticales) es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas ( x , y ) satisfacen una ecuación lineal; es decir, donde a , b y c son números reales fijos (llamados coeficientes ) tales que a y b no son ambos cero. Usando esta forma, las rectas verticales corresponden a ecuaciones con b = 0.
Se puede suponer además que c = 1 o c = 0 , dividiendo todo por c si no es cero.
Existen muchas formas de escribir la ecuación de una línea, todas las cuales pueden convertirse de una a otra mediante manipulación algebraica. La forma anterior a veces se denomina forma estándar . Si el término constante se coloca a la izquierda, la ecuación se convierte en y a esto a veces se lo denomina forma general de la ecuación. Sin embargo, esta terminología no es universalmente aceptada y muchos autores no distinguen entre estas dos formas.
Estas formas generalmente se nombran según el tipo de información (datos) sobre la línea que se necesita para escribir la forma. Algunos de los datos importantes de una línea son su pendiente, la intersección con el eje x , los puntos conocidos en la línea y la intersección con el eje y.
La ecuación de la línea que pasa por dos puntos diferentes puede escribirse como Si x 0 ≠ x 1 , esta ecuación puede reescribirse como o En dos dimensiones , la ecuación para líneas no verticales a menudo se da en la forma pendiente-intersección :
dónde:
La pendiente de la línea que pasa por los puntos y , cuando , está dada por y la ecuación de esta línea se puede escribir .
Como nota, las líneas en tres dimensiones también pueden describirse como las soluciones simultáneas de dos ecuaciones lineales tales que y no son proporcionales (las relaciones implican ). Esto se deduce de que en tres dimensiones una sola ecuación lineal describe típicamente un plano y una línea es lo que es común a dos planos distintos que se intersecan.
Las ecuaciones paramétricas también se utilizan para especificar líneas, particularmente en aquellas de tres dimensiones o más, porque en más de dos dimensiones las líneas no se pueden describir mediante una sola ecuación lineal.
En tres dimensiones las líneas se describen frecuentemente mediante ecuaciones paramétricas: donde:
Las ecuaciones paramétricas para líneas en dimensiones superiores son similares en que se basan en la especificación de un punto en la línea y un vector de dirección.
La forma normal (también llamada forma normal de Hesse , [10] en honor al matemático alemán Ludwig Otto Hesse ), se basa en el segmento normal de una línea dada, que se define como el segmento de línea trazado desde el origen perpendicular a la línea. Este segmento une el origen con el punto más cercano de la línea al origen. La forma normal de la ecuación de una línea recta en el plano está dada por: donde es el ángulo de inclinación del segmento normal (el ángulo orientado desde el vector unitario del eje x a este segmento), y p es la longitud (positiva) del segmento normal. La forma normal se puede derivar de la forma estándar dividiendo todos los coeficientes por
A diferencia de las formas pendiente-intersección e intersección, esta forma puede representar cualquier línea pero también requiere que se especifiquen solo dos parámetros finitos, y p . Si p > 0 , entonces está definida de forma única módulo 2 π . Por otro lado, si la línea pasa por el origen ( c = p = 0 ), se omite el término c /| c | para calcular y , y se deduce que está definida solo módulo π .
La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A y B está dada por (donde λ es un escalar ).
Si a es el vector OA y b es el vector OB , entonces la ecuación de la recta se puede escribir: .
Un rayo que comienza en el punto A se describe limitando λ. Se obtiene un rayo si λ ≥ 0 y el rayo opuesto proviene de λ ≤ 0.
En un plano cartesiano , las coordenadas polares ( r , θ ) están relacionadas con las coordenadas cartesianas mediante las ecuaciones paramétricas: [11]
En coordenadas polares, la ecuación de una recta que no pasa por el origen —el punto con coordenadas (0, 0) —se puede escribir con r > 0 y Aquí, p es la longitud (positiva) del segmento de recta perpendicular a la recta y delimitado por el origen y la recta, y es el ángulo (orientado) desde el eje x hasta este segmento.
Puede ser útil expresar la ecuación en términos del ángulo entre el eje x y la línea. En este caso, la ecuación se convierte en r > 0 y
Estas ecuaciones se pueden derivar de la forma normal de la ecuación de línea estableciendo y luego aplicando la identidad de diferencia de ángulos para seno o coseno.
Estas ecuaciones también se pueden demostrar geométricamente aplicando las definiciones de seno y coseno del triángulo rectángulo al triángulo rectángulo que tiene un punto de la recta y el origen como vértices, y la recta y su perpendicular a través del origen como lados.
Las formas anteriores no se aplican para una línea que pasa por el origen, pero se puede escribir una fórmula más simple: las coordenadas polares de los puntos de una línea que pasa por el origen y forma un ángulo con el eje x , son los pares tales que
En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente ligado a la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica , una línea en el plano se define a menudo como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada , pero en un contexto más abstracto, como la geometría de incidencia , una línea puede ser un objeto independiente, distinto del conjunto de puntos que se encuentran sobre ella.
Cuando una geometría se describe mediante un conjunto de axiomas , la noción de línea suele dejarse sin definir (un objeto denominado primitivo ). Las propiedades de las líneas quedan determinadas entonces por los axiomas que hacen referencia a ellas. Una ventaja de este enfoque es la flexibilidad que ofrece a los usuarios de la geometría. Así, en la geometría diferencial , una línea puede interpretarse como una geodésica (el camino más corto entre puntos), mientras que en algunas geometrías proyectivas , una línea es un espacio vectorial bidimensional (todas las combinaciones lineales de dos vectores independientes). Esta flexibilidad también se extiende más allá de las matemáticas y, por ejemplo, permite a los físicos pensar en la trayectoria de un rayo de luz como si fuera una línea.
En muchos modelos de geometría proyectiva , la representación de una línea rara vez se ajusta a la noción de la "curva recta" tal como se visualiza en la geometría euclidiana. En la geometría elíptica vemos un ejemplo típico de esto. [1] : 108 En la representación esférica de la geometría elíptica, las líneas se representan por grandes círculos de una esfera con puntos diametralmente opuestos identificados. En un modelo diferente de geometría elíptica, las líneas se representan por planos euclidianos que pasan por el origen. Aunque estas representaciones son visualmente distintas, satisfacen todas las propiedades (como, por ejemplo, dos puntos que determinan una línea única) que las hacen representaciones adecuadas para líneas en esta geometría.
La "cortitud" y "rectitud" de una línea, interpretadas como la propiedad de que la distancia a lo largo de la línea entre dos de sus puntos cualesquiera es mínima (véase desigualdad del triángulo ), se pueden generalizar y conducen al concepto de geodésicas en espacios métricos .
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Dada una línea y cualquier punto A sobre ella, podemos considerar que A descompone esta línea en dos partes. Cada una de esas partes se llama rayo y el punto A se llama su punto inicial . También se conoce como semirrecta , un semiespacio unidimensional . El punto A se considera un miembro del rayo. [b] Intuitivamente, un rayo consiste en aquellos puntos sobre una línea que pasa por A y procede indefinidamente, comenzando en A , en una sola dirección a lo largo de la línea. Sin embargo, para usar este concepto de rayo en demostraciones se requiere una definición más precisa.
Dados puntos distintos A y B , determinan un rayo único con punto inicial A . Como dos puntos definen una línea única, este rayo consiste en todos los puntos entre A y B (incluyendo A y B ) y todos los puntos C en la línea a través de A y B tales que B está entre A y C . [12] Esto, a veces, también se expresa como el conjunto de todos los puntos C en la línea determinada por A y B tales que A no está entre B y C . [13] Un punto D , en la línea determinada por A y B pero no en el rayo con punto inicial A determinado por B , determinará otro rayo con punto inicial A . Con respecto al rayo AB , el rayo AD se llama rayo opuesto .
Así, diríamos que dos puntos distintos, A y B , definen una recta y una descomposición de esta recta en la unión disjunta de un segmento abierto ( A , B ) y dos semirrectas, BC y AD (el punto D no está dibujado en el diagrama, pero está a la izquierda de A en la recta AB ). No se trata de semirrectas opuestas, ya que tienen puntos iniciales distintos.
En la geometría euclidiana, dos rayos con un punto final común forman un ángulo . [14]
La definición de un rayo depende de la noción de intermediación para los puntos de una línea. De ello se deduce que los rayos existen solo para geometrías para las que existe esta noción, típicamente la geometría euclidiana o la geometría afín sobre un cuerpo ordenado . Por otro lado, los rayos no existen en la geometría proyectiva ni en una geometría sobre un cuerpo no ordenado, como los números complejos o cualquier cuerpo finito .
Un segmento de línea es una parte de una línea que está delimitada por dos puntos finales distintos y contiene todos los puntos de la línea entre sus puntos finales. Dependiendo de cómo se defina el segmento de línea, cualquiera de los dos puntos finales puede o no ser parte del segmento de línea. Dos o más segmentos de línea pueden tener algunas de las mismas relaciones que las líneas, como ser paralelos, intersecarse o estar oblicuos, pero a diferencia de las líneas, pueden no ser ninguno de estos, si son coplanares y no se intersecan o son colineales .
Un punto en la línea numérica corresponde a un número real y viceversa. [15] Por lo general, los números enteros están espaciados de manera uniforme en la línea, con los números positivos a la derecha y los negativos a la izquierda. Como extensión del concepto, se puede dibujar una línea imaginaria que represente números imaginarios perpendicular a la línea numérica en cero. [16] Las dos líneas forman el plano complejo , una representación geométrica del conjunto de números complejos .
