Espacio salchicha clásica

Norberto Wiener

En matemáticas , el espacio de Wiener clásico es la colección de todas las funciones continuas en un dominio dado (normalmente un subintervalo de la recta real ), tomando valores en un espacio métrico (normalmente un espacio euclidiano de n dimensiones ). El espacio de Wiener clásico es útil en el estudio de procesos estocásticos cuyas trayectorias muestrales son funciones continuas. Lleva el nombre del matemático estadounidense Norbert Wiener .

Definición

Considere E ⊆ R ⁿ y un espacio métrico ( M , d ). El espacio de Wiener clásico C ( E ; M ) es el espacio de todas las funciones continuas f  : E → M. Es decir, para cada t fija en E ,

${\displaystyle d(f(s),f(t))\to 0}$como ${\displaystyle |s-t|\to 0.}$

En casi todas las aplicaciones, se toma E = [0,  T  ] o [0, +∞) y M = R ⁿ para algún n en N . Para abreviar, escriba C para C ([0,  T  ]; R ⁿ ); este es un espacio vectorial . Escriba C ₀ para el subespacio lineal que consta únicamente de aquellas funciones que toman el valor cero en el mínimo del conjunto E. Muchos autores se refieren a C ₀ como "espacio de Wiener clásico".

Para un proceso estocástico y el espacio de todas las funciones desde hasta , se mira el mapa . Luego se pueden definir los mapas de coordenadas o las versiones canónicas definidas por . La forma es otro proceso. La medida de Wiener es entonces la única medida tal que el proceso de coordenadas es un movimiento browniano. ^[1] ${\displaystyle \{X_{t},t\in T\}:(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\to (E,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(T,E)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varphi :\Omega \to {\mathcal {F}}(T,E)\cong E^{T}}$ ${\displaystyle Y_{t}:E^{T}\to E}$ ${\displaystyle Y_{t}(\omega )=\omega (t)}$ ${\displaystyle \{Y_{t},t\in T\}}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )}$

Propiedades del espacio de Wiener clásico

Topología uniforme

El espacio vectorial C puede equiparse con la norma uniforme

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in [0,\,T]}|f(t)|}$

convirtiéndolo en un espacio vectorial normado (de hecho, un espacio de Banach ). Esta norma induce una métrica sobre C de la forma habitual: . La topología generada por los conjuntos abiertos en esta métrica es la topología de convergencia uniforme en [0,  T  ], o la topología uniforme . ${\displaystyle d(f,g):=\|f-g\|}$

Pensando en el dominio [0,  T  ] como "tiempo" y el rango R ⁿ como "espacio", una visión intuitiva de la topología uniforme es que dos funciones están "cercas" si podemos "mover ligeramente el espacio" y obtener la gráfica. de f se encuentre en la parte superior de la gráfica de g , dejando el tiempo fijo. Compare esto con la topología de Skorokhod , que nos permite "mover" tanto el espacio como el tiempo.

Separabilidad e integridad

Con respecto a la métrica uniforme, C es un espacio separable y completo :

• la separabilidad es una consecuencia del teorema de Stone-Weierstrass ;
• la completitud es una consecuencia del hecho de que el límite uniforme de una secuencia de funciones continuas es en sí mismo continuo.

Dado que es separable y completo, C es un espacio polaco .

Estanqueidad en el espacio clásico de Wiener

Recuerde que el módulo de continuidad para una función f  : [0,  T  ] → R ⁿ está definido por

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ):=\sup \left\{|f(s)-f(t)|:s,t\in [0,T],\,|s-t|\leq \delta \right\}.}$

Esta definición tiene sentido incluso si f no es continua, y se puede demostrar que f es continua si y sólo si su módulo de continuidad tiende a cero cuando δ → 0:

${\displaystyle f\in C\iff \omega _{f}(\delta )\to 0{\text{ as }}\delta \to 0}$.

Mediante una aplicación del teorema de Arzelà-Ascoli , se puede demostrar que una secuencia de medidas de probabilidad en el espacio C de Wiener clásico es ajustada si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C\mid |f(0)|\geq a\}=0,}$y

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C\mid \omega _{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0}$para todo ε > 0.

Medida de salchicha clásica

Existe una medida "estándar" en C ₀ , conocida como medida de Wiener clásica (o simplemente medida de Wiener ). La medida de Wiener tiene (al menos) dos caracterizaciones equivalentes:

Si se define el movimiento browniano como un proceso estocástico de Markov B  : [0,  T  ] × Ω → R ⁿ , comenzando en el origen, con trayectorias casi seguramente continuas e incrementos independientes

${\displaystyle B_{t}-B_{s}\sim \,\mathrm {Normal} \left(0,|t-s|\right),}$

entonces la medida clásica de Wiener γ es la ley del proceso B.

Alternativamente, se puede utilizar la construcción abstracta del espacio de Wiener , en la que la medida de Wiener clásica γ es la radonificación de la medida canónica del conjunto de cilindros gaussianos en el espacio de Cameron-Martin Hilbert correspondiente a C ₀ .

La medida de Wiener clásica es una medida gaussiana : en particular, es una medida de probabilidad estrictamente positiva .

Dada la medida clásica de Wiener γ en C ₀ , la medida del producto γ ⁿ × γ es una medida de probabilidad en C , donde γ ⁿ denota la medida gaussiana estándar en R ⁿ .

Ver también

• Espacio salchicha abstracto
• Espacio de Skorokhod , una generalización del espacio de Wiener clásico, que permite que las funciones sean discontinuas
• proceso de salchicha

Referencias

1. Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Martingalas continuas y movimiento browniano . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 293. Saltador. págs. 33–37.