En filosofía y lógica , la paradoja clásica del mentiroso o paradoja del mentiroso o antinomia del mentiroso es la afirmación de un mentiroso de que está mintiendo: por ejemplo, declarando que "estoy mintiendo". Si el mentiroso realmente miente, entonces está diciendo la verdad, lo que significa que simplemente mintió. En "esta frase es una mentira", la paradoja se refuerza para hacerla susceptible de un análisis lógico más riguroso. Todavía se la llama generalmente la "paradoja del mentiroso", aunque la abstracción se hace precisamente a partir del mentiroso que hace la afirmación. Intentar asignar a esta afirmación, del mentiroso fortalecido, un valor de verdad binario clásico conduce a una contradicción .
Si "esta oración es falsa" es verdadera, entonces es falsa, pero la oración dice que es falsa, y si es falsa, entonces debe ser verdadera, y así sucesivamente.
La paradoja de Epiménides (c. 600 a. C.) se ha sugerido como un ejemplo de la paradoja del mentiroso, pero no son lógicamente equivalentes. El vidente semimítico Epiménides , un cretense , supuestamente afirmó que "todos los cretenses son mentirosos". [1] Sin embargo, la afirmación de Epiménides de que todos los cretenses son mentirosos puede resolverse como falsa, dado que conoce al menos a otro cretense que no miente (alternativamente, puede tomarse simplemente como una afirmación de que todos los cretenses mienten, no es que sólo digan mentiras).
El nombre de la paradoja se traduce como pseudómenos lógos (ψευδόμενος λόγος) en griego antiguo . Una versión de la paradoja del mentiroso se atribuye al filósofo griego Eubulides de Mileto , que vivió en el siglo IV a.C. Según se informa, Eubulides preguntó: "Un hombre dice que miente. ¿Lo que dice es verdadero o falso?" [2]
Jerónimo de Estridón discutió una vez la paradoja en un sermón:
" Dije en mi alarma: ¡Todo hombre es un mentiroso! " ¿Está David diciendo la verdad o está mintiendo? Si es cierto que todo hombre es mentiroso, y la afirmación de David: "Todo hombre es mentiroso" es cierta, entonces David también miente; él también es un hombre. Pero si él también miente, su afirmación de que "todo hombre es un mentiroso" no es cierta. Cualquiera que sea el sentido que se le dé a la proposición, la conclusión es una contradicción. Puesto que el propio David es un hombre, se sigue que él también miente; pero si miente porque todo hombre es mentiroso, su mentira es de diferente clase. [3]
El gramático y filósofo indio Bhartrhari (finales del siglo V d. C.) era muy consciente de una paradoja del mentiroso que formuló como "todo lo que digo es falso" (sarvam mithyā bravīmi). Analiza esta afirmación junto con la paradoja de la "insignificabilidad" y explora la frontera entre afirmaciones que no son problemáticas en la vida cotidiana y las paradojas. [4] [5]
Hubo discusión sobre la paradoja del mentiroso en la tradición islámica temprana durante al menos cinco siglos, a partir de finales del siglo IX, y aparentemente sin estar influenciado por ninguna otra tradición. Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī podría haber sido el primer lógico en identificar la paradoja del mentiroso como autorreferencial . [6]
El problema de la paradoja del mentiroso es que parece mostrar que las creencias comunes sobre la verdad y la falsedad en realidad conducen a una contradicción . Se pueden construir oraciones a las que no se les puede asignar consistentemente un valor de verdad a pesar de que estén completamente de acuerdo con las reglas gramaticales y semánticas .
La versión más simple de la paradoja es la oración:
Si (A) es verdadera, entonces "Esta afirmación es falsa" es verdadera. Por tanto, (A) debe ser falsa. La hipótesis de que (A) es verdadera lleva a la conclusión de que (A) es falsa, una contradicción.
Si (A) es falso, entonces "Esta afirmación es falsa" es falsa. Por tanto, (A) debe ser verdadera. La hipótesis de que (A) es falsa lleva a la conclusión de que (A) es verdadera, otra contradicción. De cualquier manera, (A) es a la vez verdadero y falso, lo cual es una paradoja.
Sin embargo, el hecho de que se pueda demostrar que la frase mentirosa es verdadera si es falsa y falsa si es verdadera ha llevado a algunos a concluir que no es "ni verdadera ni falsa". [7] Esta respuesta a la paradoja es, en efecto, el rechazo de la afirmación de que todo enunciado tiene que ser verdadero o falso, también conocido como principio de bivalencia , concepto relacionado con la ley del tercero excluido .
La propuesta de que el enunciado no es ni verdadero ni falso ha dado lugar a la siguiente versión reforzada de la paradoja:
Si (B) no es ni verdadero ni falso, entonces no debe ser verdadero . Dado que esto es lo que afirma (B), significa que (B) debe ser verdadero . Como inicialmente (B) no era cierta y ahora lo es, surge otra paradoja.
Otra reacción a la paradoja de (A) es postular, como lo ha hecho Graham Priest , que el enunciado es a la vez verdadero y falso. Sin embargo, incluso el análisis de Priest es susceptible a la siguiente versión del mentiroso:
Si (C) es a la vez verdadero y falso, entonces (C) sólo es falso. Pero claro, no es cierto . Dado que inicialmente (C) era verdadera y ahora no lo es , es una paradoja. Sin embargo, se ha argumentado que al adoptar una semántica relacional de dos valores (a diferencia de la semántica funcional ), el enfoque dialeteico puede superar esta versión del Mentiroso. [8]
También existen versiones de varias frases de la paradoja del mentiroso. La siguiente es la versión de dos oraciones:
Supongamos que (D1) es cierto. Entonces (D2) es verdadera. Esto significaría que (D1) es falso. Por tanto, (D1) es a la vez verdadero y falso.
Supongamos que (D1) es falso. Entonces (D2) es falso. Esto significaría que (D1) es verdadera. Por tanto (D1) es a la vez verdadero y falso. De cualquier manera, (D1) es a la vez verdadero y falso: la misma paradoja que (A) arriba.
La versión de oraciones múltiples de la paradoja del mentiroso se generaliza a cualquier secuencia circular de tales afirmaciones (en las que la última afirmación afirma la verdad/falsedad de la primera), siempre que haya un número impar de afirmaciones que afirmen la falsedad de su sucesora; la siguiente es una versión de tres oraciones, y cada declaración afirma la falsedad de su sucesora:
Supongamos que (E1) es cierto. Entonces (E2) es falso, lo que significa que (E3) es verdadero y, por tanto, (E1) es falso, lo que lleva a una contradicción.
Supongamos que (E1) es falso. Entonces (E2) es verdadera, lo que significa que (E3) es falsa y, por tanto, (E1) es verdadera. De cualquier manera, (E1) es a la vez verdadero y falso: la misma paradoja que con (A) y (D1).
Hay muchas otras variantes y muchos complementos posibles. En la construcción normal de oraciones, la versión más simple del complemento es la oración:
Si se supone que F tiene un valor de verdad, entonces se presenta el problema de determinar el objeto de ese valor. Pero es posible una versión más simple, asumiendo que la sola palabra "verdadero" tiene un valor de verdad. La analogía de la paradoja es suponer que la sola palabra "falso" también tiene un valor de verdad, es decir, que es falsa. Esto revela que la paradoja puede reducirse al acto mental de suponer que la idea misma de falacia tiene un valor de verdad, es decir, que la idea misma de falacia es falsa: un acto de tergiversación. Entonces, la versión simétrica de la paradoja sería:
En lógica difusa , el valor de verdad de una declaración puede ser cualquier número real entre 0 y 1 ambos inclusive, a diferencia de la lógica booleana , donde los valores de verdad solo pueden ser los valores enteros 0 o 1. En este sistema, la declaración "Esto "La afirmación es falsa" ya no es paradójica, ya que se le puede asignar un valor de verdad de 0,5, [9] [10], lo que la convierte precisamente en mitad verdadera y mitad falsa. A continuación se muestra una explicación simplificada.
Denotemos el valor de verdad de la afirmación "Esta afirmación es falsa" por x. La declaración se convierte
Al generalizar el operador NOT al operador Zadeh equivalente de lógica difusa, la declaración se convierte en
de lo cual se deduce que
Alfred Tarski diagnosticó que la paradoja surge sólo en lenguas que están "semánticamente cerradas", es decir, una lengua en la que es posible que una oración predique la verdad (o la falsedad) de otra oración en la misma lengua (o incluso de sí misma). ). Para evitar la autocontradicción, cuando se analizan valores de verdad es necesario imaginar niveles de lenguajes, cada uno de los cuales puede predicar la verdad (o la falsedad) sólo de lenguajes de un nivel inferior. Entonces, cuando una oración se refiere al valor de verdad de otra, es semánticamente más alto. La oración a la que se hace referencia es parte del "lenguaje objeto", mientras que la oración de referencia se considera parte de un "metalenguaje" con respecto al lenguaje objeto. Es legítimo que oraciones en "lenguajes" superiores en la jerarquía semántica se refieran a oraciones inferiores en la jerarquía "lengua", pero no al revés. Esto evita que un sistema se vuelva autorreferencial.
Sin embargo, este sistema está incompleto. A uno le gustaría poder hacer afirmaciones como "Por cada afirmación en el nivel α de la jerarquía, hay una afirmación en el nivel α +1 que afirma que la primera afirmación es falsa". Esta es una afirmación verdadera y significativa sobre la jerarquía que define Tarski, pero se refiere a declaraciones en cada nivel de la jerarquía, por lo que debe estar por encima de cada nivel de la jerarquía y, por lo tanto, no es posible dentro de la jerarquía (aunque las versiones limitadas de la sentencia son posibles). [11] [12] A Saul Kripke se le atribuye la identificación de esta incompletitud en la jerarquía de Tarski en su artículo muy citado "Esquema de una teoría de la verdad", [12] y se reconoce como un problema general en los lenguajes jerárquicos. [13] [12]
Arthur Prior afirma que no hay nada paradójico en la paradoja del mentiroso. Su afirmación (que atribuye a Charles Sanders Peirce y John Buridan ) es que cada afirmación incluye una afirmación implícita de su propia verdad. [14] Así, por ejemplo, la afirmación “Es cierto que dos más dos son cuatro” no contiene más información que la afirmación “dos más dos son cuatro”, porque la frase “es cierto que…” siempre es implícitamente allí. Y en el espíritu autorreferencial de la Paradoja del Mentiroso, la frase "es verdad que..." equivale a "toda esta afirmación es verdadera y...".
Por tanto, las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:
Esta última es una simple contradicción de la forma "A y no A" y, por tanto, es falsa. Por lo tanto, no hay paradoja porque la afirmación de que este mentiroso de dos conjuntos es falso no conduce a una contradicción. Eugene Mills [15] presenta una respuesta similar.
Saul Kripke argumentó que el hecho de que una oración sea paradójica o no puede depender de hechos contingentes. [11] : 6 Si lo único que dice Smith sobre Jones es
y Jones dice sólo estas tres cosas sobre Smith:
Si Smith realmente gasta mucho pero no es blando con el crimen, entonces tanto el comentario de Smith sobre Jones como el último comentario de Jones sobre Smith son paradójicos.
Kripke propone una solución de la siguiente manera. Si el valor de verdad de una afirmación está en última instancia ligado a algún hecho evaluable sobre el mundo, esa afirmación está "fundamentada". En caso contrario, esa afirmación es "infundada". Las declaraciones infundadas no tienen valor de verdad. Las declaraciones mentirosas y las que parecen mentirosas no tienen fundamento y, por lo tanto, no tienen valor de verdad.
Jon Barwise y John Etchemendy proponen que la frase mentiroso (que interpretan como sinónimo de Mentiroso Fortalecido) es ambigua. Basan esta conclusión en una distinción que hacen entre "negación" y "negación". Si el mentiroso quiere decir: "No es cierto que esta afirmación sea verdadera", entonces se está negando a sí mismo. Si significa "Esta afirmación no es cierta", entonces se está negando a sí misma. Continúan argumentando, basándose en la semántica de la situación , que el "mentiroso negador" puede ser verdadero sin contradicción, mientras que el "mentiroso negador" puede ser falso sin contradicción. Su libro de 1987 hace un uso intensivo de la teoría de conjuntos no bien fundamentada . [dieciséis]
Graham Priest y otros lógicos, incluidos JC Beall y Bradley Armour-Garb, han propuesto que la oración mentirosa debe considerarse tanto verdadera como falsa, un punto de vista conocido como dialeteísmo . El dialeteísmo es la opinión de que existen verdaderas contradicciones. El dialeteísmo plantea sus propios problemas. La principal de ellas es que, dado que el dialeteísmo reconoce la paradoja del mentiroso, una contradicción intrínseca, como verdadera, debe descartar el largamente reconocido principio de explosión , que afirma que cualquier proposición puede deducirse de una contradicción, a menos que el dialeteista esté dispuesto a aceptarla. trivialismo: la opinión de que todas las proposiciones son verdaderas. Dado que el trivialismo es una visión intuitivamente falsa, los dialeteístas casi siempre rechazan el principio de explosión. Las lógicas que lo rechazan se denominan paraconsistentes .
Andrew Irvine ha argumentado a favor de una solución no cognitivista a la paradoja, sugiriendo que algunas oraciones aparentemente bien formadas resultarán ni verdaderas ni falsas y que "los criterios formales por sí solos inevitablemente resultarán insuficientes" para resolver la paradoja. [7]
El gramático y filósofo indio Bhartrhari (finales del siglo V d.C.) abordó paradojas como la del mentiroso en una sección de uno de los capítulos de su obra maestra Vākyapadīya. [ cita necesaria ] La solución de Bhartrhari encaja en su enfoque general del lenguaje, el pensamiento y la realidad, que algunos han caracterizado como "relativista", "evasivo" o "perspectivista". [17] Con respecto a la paradoja del mentiroso ( sarvam mithyā bravīmi "todo lo que digo es falso") Bhartrhari identifica un parámetro oculto que puede convertir situaciones no problemáticas en la comunicación diaria en una obstinada paradoja. La solución de Bhartrhari puede entenderse en términos de la solución propuesta en 1992 por Julian Roberts: "Las paradojas se consumen a sí mismas. Pero podemos mantener separados los lados enfrentados de la contradicción mediante el simple recurso de la contextualización temporal: lo que es 'verdad' con respecto a uno momento en el tiempo no tiene por qué serlo en otro... La fuerza general del argumento "austiniano" no es simplemente que "las cosas cambian", sino que la racionalidad es esencialmente temporal en el sentido de que necesitamos tiempo para reconciliar y gestionar lo que de otra manera sería ser estados mutuamente destructivos." [18] Según la sugerencia de Robert, es el factor "tiempo" el que nos permite reconciliar las "partes del mundo" separadas el que juega un papel crucial en la solución de Barwise y Etchemendy. [16] : 188 La capacidad del tiempo para impedir una confrontación directa de las dos "partes del mundo" es aquí externa al "mentiroso". Sin embargo, a la luz del análisis de Bhartrhari, la extensión en el tiempo que separa dos perspectivas sobre el mundo o dos "partes del mundo" -la parte antes y la parte después de que la función cumpla su tarea- es inherente a cualquier "función": también la función de significar que subyace a cada afirmación, incluido el "mentiroso". [5] [ se necesita aclaración ] La paradoja irresoluble – una situación en la que tenemos contradicción ( virodha ) o regresión infinita ( anavasthā ) – surge, en el caso del mentiroso y otras paradojas como la paradoja de la insignificancia ( paradoja de Bhartrhari ), cuando Se hace abstracción de esta función ( vyāpāra ) y su extensión en el tiempo, aceptando una función simultánea, opuesta ( apara vyāpāra ), deshaciendo la anterior.
Para comprender mejor la paradoja del mentiroso, es útil escribirla de una forma más formal. Si "esta afirmación es falsa" se denota por A y se busca su valor de verdad, es necesario encontrar una condición que restrinja la elección de los posibles valores de verdad de A. Debido a que A es autorreferencial, es posible dar la condición por una ecuación.
Si se supone que alguna afirmación, B, es falsa, se escribe "B = falso". La afirmación (C) de que la afirmación B es falsa se escribiría como "C = 'B = falso ' ". Ahora, la paradoja del mentiroso se puede expresar como la afirmación A, que A es falsa:
Ésta es una ecuación a partir de la cual se podría obtener el valor de verdad de A = "esta afirmación es falsa". En el dominio booleano, "A = falso" equivale a "no A" y, por lo tanto, la ecuación no tiene solución. Ésta es la motivación para la reinterpretación de A. El enfoque lógico más simple para hacer que la ecuación tenga solución es el enfoque dialeteísta, en cuyo caso la solución es que A sea tanto "verdadero" como "falso". Otras resoluciones incluyen en su mayoría algunas modificaciones de la ecuación; Arthur Prior afirma que la ecuación debería ser "A = 'A = falso y A = verdadero ' " y, por tanto, A es falso. En lógica verbal computacional, la paradoja del mentiroso se extiende a declaraciones como "Escucho lo que él dice; él dice lo que yo no escucho", donde se debe usar la lógica verbal para resolver la paradoja. [19]
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos teoremas fundamentales de la lógica matemática que establecen limitaciones inherentes de sistemas axiomáticos suficientemente potentes para las matemáticas. Los teoremas fueron demostrados por Kurt Gödel en 1931 y son importantes en la filosofía de las matemáticas. En términos generales, al demostrar el primer teorema de incompletitud , Gödel utilizó una versión modificada de la paradoja del mentiroso, reemplazando "esta oración es falsa" por "esta oración no es demostrable", llamada "oración G de Gödel". Su prueba mostró que para cualquier teoría suficientemente poderosa T, G es verdadera, pero no demostrable en T. El análisis de la verdad y demostrabilidad de G es una versión formalizada del análisis de la verdad de la oración mentirosa. [20]
Para demostrar el primer teorema de incompletitud, Gödel representó enunciados mediante números . Entonces la teoría en cuestión, que se supone prueba ciertos hechos sobre los números, también prueba hechos sobre sus propios enunciados. Las preguntas sobre la demostrabilidad de enunciados se representan como preguntas sobre las propiedades de los números, que serían decidibles por la teoría si fuera completa. En estos términos, la frase de Gödel afirma que no existe ningún número natural con una propiedad determinada y extraña. Un número con esta propiedad codificaría una prueba de la inconsistencia de la teoría. Si existiera tal número, entonces la teoría sería inconsistente, contrariamente a la hipótesis de consistencia. Entonces, bajo el supuesto de que la teoría es consistente, no existe tal número.
No es posible reemplazar "no demostrable" por "falso" en una oración de Gödel porque el predicado "Q es el número de Gödel de una fórmula falsa" no puede representarse como una fórmula aritmética. Este resultado, conocido como teorema de indefinibilidad de Tarski , fue descubierto de forma independiente por Gödel (cuando trabajaba en la demostración del teorema de incompletitud) y por Alfred Tarski .
Desde entonces, George Boolos ha esbozado una prueba alternativa del primer teorema de incompletitud que utiliza la paradoja de Berry en lugar de la paradoja del mentiroso para construir una fórmula verdadera pero no demostrable.
La paradoja del mentiroso se utiliza ocasionalmente en la ficción para desactivar las inteligencias artificiales, que se presentan como incapaces de procesar la frase. En el episodio de Star Trek: The Original Series " Yo, Mudd ", el Capitán Kirk y Harry Mudd utilizan la paradoja del mentiroso para confundir y, en última instancia, desactivar a un androide que los mantiene cautivos. En la serie de Doctor Who de 1973 , The Green Death , el Doctor deja perplejo temporalmente al demente BOSS de la computadora preguntándole: "Si te dijera que lo siguiente que diría sería verdad, pero que lo último que dije fue una mentira, ¿tú me crees?" BOSS intenta resolverlo pero no puede y finalmente decide que la pregunta es irrelevante y llama a seguridad.
En el videojuego Portal 2 de 2011 , la inteligencia artificial GLaDOS intenta utilizar la paradoja de "esta frase es falsa" para matar a otra inteligencia artificial, Wheatley . Sin embargo, al carecer de la inteligencia para darse cuenta de que la afirmación es una paradoja, simplemente responde: "Um, cierto. Iré con verdadero. Eso fue fácil". y no se ve afectado. Con humor, todas las demás IA presentes, excepto GLaDOS, todas las cuales son significativamente menos sensibles y lúcidas que ella y Wheatley, aún mueren al escuchar la paradoja. Sin embargo, GLaDOS luego señala que casi se suicida en su propio intento de matar a Wheatley.
La canción de Devo , Enough Said , incluye la letra Lo próximo que te digo será verdad / Lo último que dije fue falso.
En el séptimo episodio de Minecraft: Story Mode , titulado "Acceso denegado", el personaje principal Jesse y sus amigos son capturados por una supercomputadora llamada PAMA. Después de que PAMA controla a dos de los amigos de Jesse, Jesse descubre que PAMA se detiene al procesar y usa una paradoja para confundirlo y escapar con su último amigo. Una de las paradojas que el jugador puede hacerle decir a Jesse es la paradoja del mentiroso.
La canción de 1994 de Rollins Band , " Liar ", aludía a la paradoja cuando el narrador termina la canción diciendo "Mentiré una y otra vez y seguiré mintiendo, lo prometo".
La canción de Robert Earl Keen "The Road Goes On and On" alude a la paradoja. Se cree ampliamente que la canción fue escrita como parte de la disputa de Keen con Toby Keith, quien presumiblemente es el "mentiroso" al que se refiere Keen. [21]
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